#олимпиаднаязадача
n рыцарей из двух враждующих стран сидят за круглым столом. Число пар соседей-друзей равно числу пар соседей-врагов. Доказать, что n делится на 4.

#олимпиаднаязадача
Решение!
Количество всех пар соседей равно n. По условию ровно половину от него составляют пары соседей-врагов. Разобьём всех рыцарей на группы рядом сидящих друзей. Эти группы чередуются, поэтому их количество чётно. Но пары соседей-врагов сидят только на "стыках" этих групп. Следовательно, количество пар соседей-врагов тоже чётно. Умножив чётное число на 2, получим число, кратное 4.

#задачаналогику
В автобусе n мест, и все билеты проданы n пассажирам. Первым в автобус заходит Рассеянный Учёный и, не посмотрев на билет, занимает первое попавшееся место. Далее пассажиры входят по одному. Если вошедший видит, что его место свободно, он занимает свое место. Если же место занято, то вошедший занимает первое попавшееся свободное место. Найдите вероятность того, что пассажир, вошедший последним, займет место согласно своему билету?

#задачаналогику
Решение!
Пронумеруем всех пассажиров, начиная с Учёного, в том порядке, в каком они заходили в автобус. Последний пассажир имеет номер n. Для простоты места пронумеруем так же. Пусть все, кроме последнего пассажира, уже вошли и заняли места. Осталось одно свободное место. Если бы это было второе место, то второй пассажир (или Учёный) уже занял бы его. То же верно для мест номерами 3, 4, 5, ...,  n – 1.  Значит, это место принадлежит либо последнему пассажиру, либо Рассеянному Учёному.   Ясно, что оно с равными шансами может принадлежать как первому, так и последнему. В первом случае последний пассажир сядет не на своё место, а во втором – на своё. Значит, вероятности обоих событий равны ½.

#олимпиаднаязадача
Попробуйте найти все натуральные числа, которые больше своей последней цифры в 5 раз.

#олимпиаднаязадача
Решение!
При умножении на 5 последняя цифра не изменилась, значит, она была 0 или 5. Если бы последняя цифра была 0, то всё число было бы 0, а мы ищем натуральные числа. Значит, последняя цифра была 5. А всё число 25. Естественно, больше 25 это число быть не может, поскольку оно в 5 раз больше цифры, т.е. не может превышать 45.

#задачаналогику
Какое наименьшее число гирь необходимо для того, чтобы иметь возможность взвесить любое число граммов от 1 до 100 на чашечных весах, если гири можно класть на обе чашки весов?

#задачаналогику
Решение
При решении этой задачи нам понадобится следующее интересное свойство троичной системы счисления:
любое натуральное число можно представить в виде разности двух чисел, запись которых в троичной системе счисления содержит только 0 и 1.
Для доказательства нужно записать исходное число в троичной системе счисления и построить требуемые числа поразрядно справа налево. При этом если у получившихся чисел в каких-то одноименных разрядах стоят единицы, то их можно заменить нулями.
Теперь понятно, что достаточно иметь 5 гирь с весами 1, 3, 9, 27, 81 (подумайте, почему не нужна гиря весом 243 грамма).
Четырех же гирь явно недостаточно, так как с их помощью можно взвесить не более 34 - 1 = 80 различных весов (каждая гиря либо на левой чашке весов, либо на правой, либо не участвует во взвешивании).

#задачаналогику
Изменятся ли частное и остаток, если делимое и делитель увеличить в 3 раза?

#задачаналогику
Решение!
Частное не изменится, а остаток увеличится втрое. При этом он не изменится, если был равен 0.

#олимпиаднаязадача
В какой системе счисления справедливо равенство 3 · 4 = 10?