#олимпиаднаязадача
Решение!
После каждого боя из соревнований выбывает один боксер – проигравший в этом бою. Поскольку всего к концу соревнований выбыть должны все, кроме победителя, всего должно быть 49 боев, независимо от того, как составляется расписание.

#олимпиаднаязадача
В каждой клетке прямоугольной таблицы размером M×K написано число. Сумма чисел в каждой строке и в каждом столбце равна 1. Докажите, что  M = K.

#олимпиаднаязадача
Решение!
Найдём сумму всех чисел таблицы двумя способами. Поскольку таблица содержит M строк и сумма чисел каждой строки равна 1, то вся сумма равна M. Аналогично, считая эту же сумму по столбцам, получим в результате K.

#задачаналогику
В течение года цены на штрюдели два раза поднимали на 50%, а перед Новым Годом их стали продавать за полцены. Сколько стоит сейчас один штрюдель, если в начале года он стоил 80 рублей?

#задачаналогику
Решение!
После первого повышения цен штрюдель стал стоить  80·1,5 = 120  рублей; после второго повышения цен –  120·1,5 = 180  рублей; наконец, после двукратного снижения цены он стал стоить  180 : 2 = 90  рублей.

#задачаналогику
Вадим и Лёша спускались с горы. Вадим шёл пешком, а Лёша съезжал на лыжах в семь раз быстрее Вадима. На полпути Лёша упал, сломал лыжи и ногу и пошёл в два раза медленней Вадима. Кто первым спустится с горы?

#задачаналогику
Решение!
Леша шёл пешком с половины горы столько же времени, сколько Вадим спускался с вершины.

#олимпиаднаязадача
В какой системе счисления справедливо равенство 3 · 4 = 10?

#олимпиаднаязадача
Решение!
В 12-ричной.

#олимпиаднаязадача
Известно, что  35! = 10333147966386144929*66651337523200000000.  Найдите цифру, заменённую звездочкой.

#олимпиаднаязадача
Решение!
Поскольку 35! делится на 9, сумма цифр этого числа также делится на 9. Нетрудно подсчитать, что сумма цифр (за исключением звездочки) написанного числа даёт остаток 3 при делении на 9. Отсюда следует, что цифра, замененная звездочкой, равна 6.

#олимпиаднаязадача
n рыцарей из двух враждующих стран сидят за круглым столом. Число пар соседей-друзей равно числу пар соседей-врагов. Доказать, что n делится на 4.

#олимпиаднаязадача
Решение!
Количество всех пар соседей равно n. По условию ровно половину от него составляют пары соседей-врагов. Разобьём всех рыцарей на группы рядом сидящих друзей. Эти группы чередуются, поэтому их количество чётно. Но пары соседей-врагов сидят только на "стыках" этих групп. Следовательно, количество пар соседей-врагов тоже чётно. Умножив чётное число на 2, получим число, кратное 4.

#задачаналогику
В автобусе n мест, и все билеты проданы n пассажирам. Первым в автобус заходит Рассеянный Учёный и, не посмотрев на билет, занимает первое попавшееся место. Далее пассажиры входят по одному. Если вошедший видит, что его место свободно, он занимает свое место. Если же место занято, то вошедший занимает первое попавшееся свободное место. Найдите вероятность того, что пассажир, вошедший последним, займет место согласно своему билету?