#задачаналогику
Однажды на лестнице была найдена странная тетрадь. В ней было записано сто утверждений:
        "В этой тетради ровно одно неверное утверждение";
        "В этой тетради ровно два неверных утверждения";
        "В этой тетради ровно три неверных утверждения";
...
        "В этой тетради ровно сто неверных утверждений".

Есть ли среди этих утверждений верные, и если да, то какие?

#задачаналогику
Решение!
То, что в тетради записано 100 утверждений, каждые два из которых противоречат друг другу, означает, что если среди них и есть верные утверждения, то их не может быть более одного. Посмотрим, может ли здесь быть хотя бы одно верное утверждение. Если верно ровно одно утверждение, то ровно девяносто девять неверных. А такое утверждение в тетради есть: "В этой тетради ровно девяносто девять неверных утверждений". Итак, в тетради записано ровно одно верное утверждение.

#задачаналогику
В чашке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко не в чашке; сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом; в банке не лимонад и не вода; стакан стоит около банки и сосуда с молоком. В какой сосуд налита каждая из жидкостей?

#задачаналогику
Решение!
В банке может быть только квас, ибо из условия следует, что там не лимонад, не вода и не молоко. В чашке  — лимонад, так как известно, что там не молоко, не вода и не квас. Поскольку в стакане не молоко, не квас, не лимонад  — значит, вода, а в кувшине  — то, что осталось, т.е. молоко.

#олимпиаднаязадача
Изменятся ли частное и остаток, если делимое и делитель увеличить в 3 раза?

#олимпиаднаязадача
Решение!
Частное не изменится, остаток изменится, если он был отличен от нуля.

#олимпиаднаязадача
Куб со стороной 1 м распилили на кубики со стороной 1 см и положили их в ряд (по прямой). Какой длины оказался ряд?

#олимпиаднаязадача
Решение!
Получим 100 × 100 × 100 = 1000000 (см) или 10000 м = 10 км.

#задачаналогику
В Стране Чудес проводилось следствие по делу об украденном бульоне. На суде Мартовский Заяц заявил, что бульон украл Болванщик. Соня и Болванщик тоже дали показания, но что они сказали, никто не запомнил, а запись смыло алисиными слезами. В ходе судебного заседания выяснилось, что бульон украл лишь один из подсудимых и что только он дал правдивые показания. Так кто украл бульон?

#задачаналогику
Вором не может быть Мартовский Заяц, потому что вор сказал правду, а Заяц, в этом случае, соврал. Вором не может быть Болванщик, потому что, в этом случае, Заяц сказал правду, а правду сказал только вор. Значит, вор  — Соня.

#задачаналогику
Можно ли доску размером 5×5 заполнить доминошками размером 1×2?

#задачаналогику
Решение!
Общее количество клеток (25) не делится на 2, а каждая доминошка покрывает две клетки.

#олимпиаднаязадача
Найти последнюю цифру числа  1·2 + 2·3 + ... + 999·1000.

#олимпиаднаязадача
Решение!
1·2 + 2·3 + ... + 999·1000 ≡ 1·2 + 2·3 + ... + 999·1000 + 1000·1001 ≡ 100(1·2 + ... + 10·11) ≡ 0 (mod 10).

#задачаналогику
Имеется три кучки камней: в первой – 10, во второй – 15, в третьей – 20. За ход разрешается разбить любую кучку на две меньшие. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет?