#олимпиаднаязадача
Нескольким детям дали по карандашу одного из трех цветов. Дети как-то поменялись карандашами, после чего у каждого оказался не тот карандаш, который был у него вначале. Докажите, что цвета карандашей могли быть такими, что у каждого вначале и в конце карандаши были разных цветов.

#олимпиаднаязадача
Решение!
Пусть карандаш, который был вначале у некоторого ребенка А, достался в конце ребенку B, карандаш, который был вначале у некоторого ребенка B, достался в конце ребенку C и т.д. Таким образом, когда-нибудь мы дойдем до ребенка Z, карандаш которого достался в конце ребенку А. Таким образом, группа детей A, B, C, ... , Z совершила циклический обмен карандашами; можно считать, что остальные дети в этом обмене не участвовали. Если есть дети помимо A, B, C, ... , Z, начнем новый цикл и т.д. Таким образом, каждый обмен представляется в виде нескольких циклических обменов. Теперь достаточно решить задачу для циклического обмена. Если в цикле A, B, C, ... , Z четное число детей, то раздадим вначале через одного красные карандаши, а затем оставшимся - синие. После циклического обмена каждый получит карандаш цвета, отличного от того, что был вначале. Если в цикле A, B, C, ... , Z нечетное число детей, то дадим ребенку А зеленый карандаш, дальше раздадим через одного, начиная с B, красные карандаши, а затем оставшимся - синие. Как нетрудно видеть, снова после циклического обмена каждый получит карандаш цвета, отличного от того, что был вначале.

#олимпиаднаязадача
Найдите наибольшее число, у которого каждая цифра, начиная с третьей, равна сумме двух предыдущих цифр.

#олимпиаднаязадача
Решение!
Казалось бы, эта задача очень похожа на предыдущую, однако решение совсем другое. Число будет тем больше, чем больше в нём цифр. А всего цифр будет тем больше, чем меньше первые две цифры. Проверим. Если первые цифры 1 и 0, то получаем 10112358. Если первые цифры будут 1 и 1, то получим 112358, если 2 и 0, то получим 202246. Итак, искомое число 10112358.

#задачаналогику
В равенстве 101 – 102 = 1 передвиньте одну цифру так, чтобы оно стало верным.

#задачаналогику
Решение!
Если цифру 2 в числе 102 передвинуть вверх, на место показателя степени, то исходное равенство примет вид 101 – 102 = 1 и будет верным.

#олимпиаднаязадача
Попробуйте найти все натуральные числа, которые больше своей последней цифры в 5 раз.

#олимпиаднаязадача
Решение!
При умножении на 5 последняя цифра не изменилась, значит, она была 0 или 5. Если бы последняя цифра была 0, то всё число было бы 0, а мы ищем натуральные числа. Значит, последняя цифра была 5. А всё число 25. Естественно, больше 25 это число быть не может, поскольку оно в 5 раз больше цифры, т.е. не может превышать 45.

#задачаналогику
Однажды на лестнице была найдена странная тетрадь. В ней было записано сто утверждений:
        "В этой тетради ровно одно неверное утверждение";
        "В этой тетради ровно два неверных утверждения";
        "В этой тетради ровно три неверных утверждения";
...
        "В этой тетради ровно сто неверных утверждений".

Есть ли среди этих утверждений верные, и если да, то какие?

#задачаналогику
Решение!
То, что в тетради записано 100 утверждений, каждые два из которых противоречат друг другу, означает, что если среди них и есть верные утверждения, то их не может быть более одного. Посмотрим, может ли здесь быть хотя бы одно верное утверждение. Если верно ровно одно утверждение, то ровно девяносто девять неверных. А такое утверждение в тетради есть: "В этой тетради ровно девяносто девять неверных утверждений". Итак, в тетради записано ровно одно верное утверждение.

#задачаналогику
В чашке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко не в чашке; сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом; в банке не лимонад и не вода; стакан стоит около банки и сосуда с молоком. В какой сосуд налита каждая из жидкостей?

#задачаналогику
Решение!
В банке может быть только квас, ибо из условия следует, что там не лимонад, не вода и не молоко. В чашке  — лимонад, так как известно, что там не молоко, не вода и не квас. Поскольку в стакане не молоко, не квас, не лимонад  — значит, вода, а в кувшине  — то, что осталось, т.е. молоко.

#олимпиаднаязадача
Изменятся ли частное и остаток, если делимое и делитель увеличить в 3 раза?

#олимпиаднаязадача
Решение!
Частное не изменится, остаток изменится, если он был отличен от нуля.

#олимпиаднаязадача
Куб со стороной 1 м распилили на кубики со стороной 1 см и положили их в ряд (по прямой). Какой длины оказался ряд?

#олимпиаднаязадача
Решение!
Получим 100 × 100 × 100 = 1000000 (см) или 10000 м = 10 км.

#задачаналогику
В Стране Чудес проводилось следствие по делу об украденном бульоне. На суде Мартовский Заяц заявил, что бульон украл Болванщик. Соня и Болванщик тоже дали показания, но что они сказали, никто не запомнил, а запись смыло алисиными слезами. В ходе судебного заседания выяснилось, что бульон украл лишь один из подсудимых и что только он дал правдивые показания. Так кто украл бульон?