#детскиезадачи
Мальчик Стёпа говорит: позавчера мне было 10 лет, а в следующем году мне исполнится 13. Может ли такое быть?
Решение:
да, если день рождения Степы 31 декабря, а эту фразу он произнес 1 января.
Мальчик Стёпа говорит: позавчера мне было 10 лет, а в следующем году мне исполнится 13. Может ли такое быть?
Решение:
👍2
#задачаналогику
Путешественник, сняв в гостинице комнату на неделю, предложил хозяину в уплату цепочку из семи серебряных колец — по кольцу за день, с тем, однако, условием, что будет рассчитываться ежедневно. Хозяин согласился, оговорив со своей стороны, что можно распилить только одно кольцо. Как путешественнику удалось расплатиться с хозяином гостиницы?
Путешественник, сняв в гостинице комнату на неделю, предложил хозяину в уплату цепочку из семи серебряных колец — по кольцу за день, с тем, однако, условием, что будет рассчитываться ежедневно. Хозяин согласился, оговорив со своей стороны, что можно распилить только одно кольцо. Как путешественнику удалось расплатиться с хозяином гостиницы?
👍2
#задачаналогику
Решение!
Путешественник должен распилить 3е кольцо. Тогда он получит три звена: первое — из одного кольца, второе — из двух, третье — из четырех. В первый день путешественник даст хозяину гостиницы 1 кольцо. Во второй — даст 2 кольца, заберёт 1. В третий — даст 1 кольцо. В четвёртый — даст 4, заберёт 2 и 1 кольцо. В пятый — даст 1 кольцо. В шестой — даст 2 кольца, заберёт 1. В последний (седьмой) день даст 1 кольцо.
Решение!
Путешественник должен распилить 3е кольцо. Тогда он получит три звена: первое — из одного кольца, второе — из двух, третье — из четырех. В первый день путешественник даст хозяину гостиницы 1 кольцо. Во второй — даст 2 кольца, заберёт 1. В третий — даст 1 кольцо. В четвёртый — даст 4, заберёт 2 и 1 кольцо. В пятый — даст 1 кольцо. В шестой — даст 2 кольца, заберёт 1. В последний (седьмой) день даст 1 кольцо.
👍5🔥3
#олимпиаднаязадача
В турнире по олимпийской системе (проигравший выбывает) участвует 50 боксеров. Какое наименьшее количество боев надо провести, чтобы выявить победителя?
В турнире по олимпийской системе (проигравший выбывает) участвует 50 боксеров. Какое наименьшее количество боев надо провести, чтобы выявить победителя?
❤3
#олимпиаднаязадача
Решение!
После каждого боя из соревнований выбывает один боксер – проигравший в этом бою. Поскольку всего к концу соревнований выбыть должны все, кроме победителя, всего должно быть 49 боев, независимо от того, как составляется расписание.
Решение!
После каждого боя из соревнований выбывает один боксер – проигравший в этом бою. Поскольку всего к концу соревнований выбыть должны все, кроме победителя, всего должно быть 49 боев, независимо от того, как составляется расписание.
❤3👎1
#олимпиаднаязадача
По аллее длиной 100 метров идут три человека со скоростями 1, 2 и 3 км/ч. Дойдя до конца аллеи, каждый из них поворачивает и идёт назад с той же скоростью. Доказать, что найдётся отрезок времени в 1 минуту, когда все трое будут идти в одном направлении.
По аллее длиной 100 метров идут три человека со скоростями 1, 2 и 3 км/ч. Дойдя до конца аллеи, каждый из них поворачивает и идёт назад с той же скоростью. Доказать, что найдётся отрезок времени в 1 минуту, когда все трое будут идти в одном направлении.
❤1
#олимпиаднаязадача
Решение!
Будем измерять время в минутах. Первый пешеход проходит, аллею за 6 минут, второй – за 3, третий – за 2. Покажем сначала, что найдётся отрезок времени длины 3, когда первый и второй пешеходы двигались в одном направлении. Пусть t1 – произвольный поворот первого пешехода. Рассмотрим ближайший момент t2 > t1, когда произошёл поворот второго пешехода. Ясно, что в течении отрезка времени [t2, t2 + 3], когда второй пешеход проходил целиком всю аллею, первый также не успел повернуть. Если при этом два пешехода двигались в одном направлении, то отрезок [t2, t2 + 3] – искомый. Иначе искомый отрезок – [t2 + 6, t2 + 9]. Будем считать, что реализуется первая из этих ситуаций (иначе заменим t2 на t2 + 6). Докажем теперь утверждение задачи. Пусть t3 > t2 – ближайший момент, когда повернул третий пешеход. Рассуждая аналогично предыдущему, мы видим, что один из отрезков [t3, t3 + 1], [t3 + 4, t3 + 5] или [t3 + 9, t3 + 10] – искомый.
Решение!
Будем измерять время в минутах. Первый пешеход проходит, аллею за 6 минут, второй – за 3, третий – за 2. Покажем сначала, что найдётся отрезок времени длины 3, когда первый и второй пешеходы двигались в одном направлении. Пусть t1 – произвольный поворот первого пешехода. Рассмотрим ближайший момент t2 > t1, когда произошёл поворот второго пешехода. Ясно, что в течении отрезка времени [t2, t2 + 3], когда второй пешеход проходил целиком всю аллею, первый также не успел повернуть. Если при этом два пешехода двигались в одном направлении, то отрезок [t2, t2 + 3] – искомый. Иначе искомый отрезок – [t2 + 6, t2 + 9]. Будем считать, что реализуется первая из этих ситуаций (иначе заменим t2 на t2 + 6). Докажем теперь утверждение задачи. Пусть t3 > t2 – ближайший момент, когда повернул третий пешеход. Рассуждая аналогично предыдущему, мы видим, что один из отрезков [t3, t3 + 1], [t3 + 4, t3 + 5] или [t3 + 9, t3 + 10] – искомый.
❤1
#задачаналогику
Первый вторник месяца Митя провёл в Смоленске, а первый вторник после первого понедельника — в Вологде. В следующем месяце Митя первый вторник провёл во Пскове, а первый вторник после первого понедельника — во Владимире. Сможете ли вы определить, какого числа и какого месяца Митя был в каждом из городов?
Первый вторник месяца Митя провёл в Смоленске, а первый вторник после первого понедельника — в Вологде. В следующем месяце Митя первый вторник провёл во Пскове, а первый вторник после первого понедельника — во Владимире. Сможете ли вы определить, какого числа и какого месяца Митя был в каждом из городов?
❤1
#задачаналогику
Решение!
Поскольку Митя не мог провести один и тот же день и в Смоленске и в Вологде, значит, месяц начинался во вторник (ведь иначе первый вторник и первый вторник после первого понедельника совпали бы). Аналогично заключаем, что и второй месяц должен начинаться во вторник. Это возможно только в случае, когда один месяц — февраль, а другой — март, причём год не високосный. Отсюда уже легко получить, что в Смоленске Митя был 1 февраля, в Вологде — 8 февраля, во Пскове — 1 марта, во Владимире — 8 марта.
Решение!
Поскольку Митя не мог провести один и тот же день и в Смоленске и в Вологде, значит, месяц начинался во вторник (ведь иначе первый вторник и первый вторник после первого понедельника совпали бы). Аналогично заключаем, что и второй месяц должен начинаться во вторник. Это возможно только в случае, когда один месяц — февраль, а другой — март, причём год не високосный. Отсюда уже легко получить, что в Смоленске Митя был 1 февраля, в Вологде — 8 февраля, во Пскове — 1 марта, во Владимире — 8 марта.
❤5
#олимпиаднаязадача
Найдите наибольшее шестизначное число, у которого каждая цифра, начиная с третьей, равна сумме двух предыдущих цифр.
Найдите наибольшее шестизначное число, у которого каждая цифра, начиная с третьей, равна сумме двух предыдущих цифр.
🔥2
#олимпиаднаязадача
Решение!
Если первая буква была a, а вторая — b, то третья будет (a + b), четвёртая — (a + 2b), пятая — (2a + 3b), шестая — (3a + 5b). Нам надо подобрать максимальное возможное значение a, чтобы при этом шестая цифра оставалась "цифрой", т.е. чтобы выполнялось неравенство 3a + 5b < 10. Это возможно при a = 3, b = 0, т.е. искомое число будет 303369.
Решение!
Если первая буква была a, а вторая — b, то третья будет (a + b), четвёртая — (a + 2b), пятая — (2a + 3b), шестая — (3a + 5b). Нам надо подобрать максимальное возможное значение a, чтобы при этом шестая цифра оставалась "цифрой", т.е. чтобы выполнялось неравенство 3a + 5b < 10. Это возможно при a = 3, b = 0, т.е. искомое число будет 303369.
❤1
#детскиезадачи
Как при помощи 5-ти литрового и 9-ти литрового ведра набрать из реки 3 литра воды?
Ответ:Заполняем водой из реки 9-ти литровое и переливаем из него воду в 5-ти литровое (в 9-ти литровом остается 4 литра). Освобождаем 5-ти литровое ведро и переливаем в него 4 литра из 9-ти литрового. Еще раз заполняем водой из реки 9-ти литровое и из него доливаем в 5-ти литровое 1 литр воды (в 9-ти литровом остается 8 литров). Освобождаем 5-ти литровое и переливаем в него из 9-ти литрового 5 литра воды. В 9-ти литровом ведре останется 3 литра воды.
Как при помощи 5-ти литрового и 9-ти литрового ведра набрать из реки 3 литра воды?
Ответ:
👍13❤1
#олимпиаднаязадача
Найдите двузначное число, которое в 5 раз больше суммы своих цифр.
Найдите двузначное число, которое в 5 раз больше суммы своих цифр.
❤1👍1
#олимпиаднаязадача
Решение!
Число, которое в 5 раз больше суммы своих цифр, должно делиться на 5. Значит, оно оканчивается на 0 или на 5. Однако на 0 оно оканчиваться не может, ибо в этом случае будет в 10 раз больше суммы своих цифр. Итак, искомое число можно записать в виде 10a + 5. Сумма цифр этого чиста равна a + 5. Значит, можно составить уравнение
10a + 5 = 5(a + 5).
Решив его, получим: a = 4, искомое же число 45.
Решение!
Число, которое в 5 раз больше суммы своих цифр, должно делиться на 5. Значит, оно оканчивается на 0 или на 5. Однако на 0 оно оканчиваться не может, ибо в этом случае будет в 10 раз больше суммы своих цифр. Итак, искомое число можно записать в виде 10a + 5. Сумма цифр этого чиста равна a + 5. Значит, можно составить уравнение
10a + 5 = 5(a + 5).
Решив его, получим: a = 4, искомое же число 45.
#задачаналогику
Среди 40 кувшинов, с которыми атаман разбойников приехал в гости к Али-Бабе, нашлись два кувшина разной формы и два кувшина разного цвета. Докажите, что среди них найдутся два кувшина одновременно и разной формы и разного цвета.
Среди 40 кувшинов, с которыми атаман разбойников приехал в гости к Али-Бабе, нашлись два кувшина разной формы и два кувшина разного цвета. Докажите, что среди них найдутся два кувшина одновременно и разной формы и разного цвета.
❤2
#задачаналогику
Решение!
Выберем два кувшина разной формы. Если они при этом различаются по цвету, то задача решена. Если же они оказались одного цвета, тогда возьмём любой кувшин, не совпадающий с ними по цвету. Этот третий кувшин не будет совпадать с одним из двух наших кувшинов и по форме. Эти два кувшина (третий и тот, который не совпадает с ним по форме) и будут искомыми кувшинами.
Решение!
Выберем два кувшина разной формы. Если они при этом различаются по цвету, то задача решена. Если же они оказались одного цвета, тогда возьмём любой кувшин, не совпадающий с ними по цвету. Этот третий кувшин не будет совпадать с одним из двух наших кувшинов и по форме. Эти два кувшина (третий и тот, который не совпадает с ним по форме) и будут искомыми кувшинами.
#детскиезадачи
Расставьте скобки и математические знаки так, чтобы равенство было верным:
9999999 = 100
Ответ:
Это можно сделать множеством способов, вот некоторые из них:
(99-9):9 + (99-9) = 100
(99-99)* 999 = 10*0
999/9-99/9=100
(9*9+9)/9+99-9=100
Расставьте скобки и математические знаки так, чтобы равенство было верным:
9999999 = 100
Ответ:
(99-9):9 + (99-9) = 100
(99-99)* 999 = 10*0
999/9-99/9=100
(9*9+9)/9+99-9=100
#задачаналогику
Замените в слове МАТЕМАТИКА буквы цифрами и знаками сложения и вычитания так, чтобы получилось числовое выражение, равное 2014. (Одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры или знаки, разными – разные. Достаточно привести пример.)
Замените в слове МАТЕМАТИКА буквы цифрами и знаками сложения и вычитания так, чтобы получилось числовое выражение, равное 2014. (Одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры или знаки, разными – разные. Достаточно привести пример.)
#олимпиаднаязадача
Нескольким детям дали по карандашу одного из трех цветов. Дети как-то поменялись карандашами, после чего у каждого оказался не тот карандаш, который был у него вначале. Докажите, что цвета карандашей могли быть такими, что у каждого вначале и в конце карандаши были разных цветов.
Нескольким детям дали по карандашу одного из трех цветов. Дети как-то поменялись карандашами, после чего у каждого оказался не тот карандаш, который был у него вначале. Докажите, что цвета карандашей могли быть такими, что у каждого вначале и в конце карандаши были разных цветов.
👍1
#олимпиаднаязадача
Решение!
Пусть карандаш, который был вначале у некоторого ребенка А, достался в конце ребенку B, карандаш, который был вначале у некоторого ребенка B, достался в конце ребенку C и т.д. Таким образом, когда-нибудь мы дойдем до ребенка Z, карандаш которого достался в конце ребенку А. Таким образом, группа детей A, B, C, ... , Z совершила циклический обмен карандашами; можно считать, что остальные дети в этом обмене не участвовали. Если есть дети помимо A, B, C, ... , Z, начнем новый цикл и т.д. Таким образом, каждый обмен представляется в виде нескольких циклических обменов. Теперь достаточно решить задачу для циклического обмена. Если в цикле A, B, C, ... , Z четное число детей, то раздадим вначале через одного красные карандаши, а затем оставшимся - синие. После циклического обмена каждый получит карандаш цвета, отличного от того, что был вначале. Если в цикле A, B, C, ... , Z нечетное число детей, то дадим ребенку А зеленый карандаш, дальше раздадим через одного, начиная с B, красные карандаши, а затем оставшимся - синие. Как нетрудно видеть, снова после циклического обмена каждый получит карандаш цвета, отличного от того, что был вначале.
Решение!
Пусть карандаш, который был вначале у некоторого ребенка А, достался в конце ребенку B, карандаш, который был вначале у некоторого ребенка B, достался в конце ребенку C и т.д. Таким образом, когда-нибудь мы дойдем до ребенка Z, карандаш которого достался в конце ребенку А. Таким образом, группа детей A, B, C, ... , Z совершила циклический обмен карандашами; можно считать, что остальные дети в этом обмене не участвовали. Если есть дети помимо A, B, C, ... , Z, начнем новый цикл и т.д. Таким образом, каждый обмен представляется в виде нескольких циклических обменов. Теперь достаточно решить задачу для циклического обмена. Если в цикле A, B, C, ... , Z четное число детей, то раздадим вначале через одного красные карандаши, а затем оставшимся - синие. После циклического обмена каждый получит карандаш цвета, отличного от того, что был вначале. Если в цикле A, B, C, ... , Z нечетное число детей, то дадим ребенку А зеленый карандаш, дальше раздадим через одного, начиная с B, красные карандаши, а затем оставшимся - синие. Как нетрудно видеть, снова после циклического обмена каждый получит карандаш цвета, отличного от того, что был вначале.
❤2