#олимпиаднаязадача
Решение!
Индукцией по m легко доказать, что m прямых разбивают плоскость на 1 + m + x частей, где x — количество точек пересечения этих прямых с учётом их кратностей (это означает, что точка пересечения k прямых считается за k - 1 точек пересечения). Используя эту формулу и индукцию по m, можно доказать, что если среди данных m прямых есть три прямые, пересекающиеся в трёх различных точках, то эти m прямых разбивают плоскость по крайней мере на 2m + 1 частей. База индукции: m = 3; далее мы пользуемся тем, что проведение каждой новой прямой добавляет по крайней мере две новые части. Обращаясь к условию задачи, мы видим, что нас интересуют только конфигурации прямых, среди которых нет троек прямых, пересекающихся в трёх разных точках. Таким образом, либо все 99 прямых параллельны, либо все 99 прямых пересекаются в одной точке, либо 98 прямых параллельны и одна прямая их пересекает. Первая конфигурация разбивает плоскость на 100 частей, а обе остальные — на 198 частей.

#детскиезадачи
В корзине 25 кг моркови, а в ящике в три раза  больше. За зиму израсходовали 82 кг моркови. Сколько килограммов моркови осталось?

Ответ: 18

#задачаналогику
Во время бала каждый юноша танцевал вальс с девушкой либо более красивой, чем на предыдущем танце, либо более умной, а один – с девушкой одновременно более красивой и более умной. Могло ли такое быть? (Юношей и девушек на балу было поровну.)

#задачаналогику
Решение!
Пусть на балу присутствовали три девушки – Анна, Вера и Светлана – в порядке возрастания красоты. При этом порядок возрастания ума таков: Вера – Светлана – Анна (Анна – самая умная). Тогда юноша, танцевавший с Анной, может пригласить на следующий танец Веру (более красивую), танцевавший со Светланой – Анну (более умную), танцевавший с Верой – Светлану (более красивую и более умную).

#детскиезадачи
Учитель физики Евгений Борисович принес в школу 9 металлических листов для проведения опытов. Некоторые из них он распилил на 5 частей. После этого у Евгения Борисовича стало 33 металлических листа. Сколько листов они распилили?

Ответ: 6 листов

#детскиезадачи
Пятеро молодых рабочих получили на всех зарплату - 1500 рублей. Каждый из них хочет купить себе магнитофон ценой 320 рублей. Докажите, что кому-то из них придется подождать с покупкой до следующей зарплаты.

#детскиезадачи
Решение!
Если бы каждый из рабочих мог купить магнитофон, то у них в сумме было бы не менее 5 · 320 = 1600 рублей.

#детскиезадачи
Мальчик Стёпа говорит: позавчера мне было 10 лет, а в следующем году мне исполнится 13. Может ли такое быть?

Решение:
да, если день рождения Степы 31 декабря, а эту фразу он произнес 1 января.

#задачаналогику
Путешественник, сняв в гостинице комнату на неделю, предложил хозяину в уплату цепочку из семи серебряных колец  — по кольцу за день, с тем, однако, условием, что будет рассчитываться ежедневно. Хозяин согласился, оговорив со своей стороны, что можно распилить только одно кольцо. Как путешественнику удалось расплатиться с хозяином гостиницы?

#задачаналогику
Решение!
Путешественник должен распилить 3е кольцо. Тогда он получит три звена: первое  — из одного кольца, второе  — из двух, третье  — из четырех. В первый день путешественник даст хозяину гостиницы 1 кольцо. Во второй  — даст 2 кольца, заберёт 1. В третий  — даст 1 кольцо. В четвёртый  — даст 4, заберёт 2 и 1 кольцо. В пятый  — даст 1 кольцо. В шестой  — даст 2 кольца, заберёт 1. В последний (седьмой) день даст 1 кольцо.

#олимпиаднаязадача
В турнире по олимпийской системе (проигравший выбывает) участвует 50 боксеров. Какое наименьшее количество боев надо провести, чтобы выявить победителя?

#олимпиаднаязадача
Решение!
После каждого боя из соревнований выбывает один боксер – проигравший в этом бою. Поскольку всего к концу соревнований выбыть должны все, кроме победителя, всего должно быть 49 боев, независимо от того, как составляется расписание.

#олимпиаднаязадача
По аллее длиной 100 метров идут три человека со скоростями 1, 2 и 3 км/ч. Дойдя до конца аллеи, каждый из них поворачивает и идёт назад с той же скоростью. Доказать, что найдётся отрезок времени в 1 минуту, когда все трое будут идти в одном направлении.

#олимпиаднаязадача
Решение!
Будем измерять время в минутах. Первый пешеход проходит, аллею за 6 минут, второй – за 3, третий – за 2. Покажем сначала, что найдётся отрезок времени длины 3, когда первый и второй пешеходы двигались в одном направлении.   Пусть t1 – произвольный поворот первого пешехода. Рассмотрим ближайший момент  t2 > t1,  когда произошёл поворот второго пешехода. Ясно, что в течении отрезка времени  [t2, t2 + 3],  когда второй пешеход проходил целиком всю аллею, первый также не успел повернуть. Если при этом два пешехода двигались в одном направлении, то отрезок  [t2, t2 + 3]  – искомый. Иначе искомый отрезок –  [t2 + 6, t2 + 9].  Будем считать, что реализуется первая из этих ситуаций (иначе заменим t2 на  t2 + 6).   Докажем теперь утверждение задачи. Пусть  t3 > t2  – ближайший момент, когда повернул третий пешеход. Рассуждая аналогично предыдущему, мы видим, что один из отрезков  [t3, t3 + 1],  [t3 + 4, t3 + 5]  или  [t3 + 9, t3 + 10] – искомый.

#задачаналогику
Первый вторник месяца Митя провёл в Смоленске, а первый вторник после первого понедельника  — в Вологде. В следующем месяце Митя первый вторник провёл во Пскове, а первый вторник после первого понедельника  — во Владимире. Сможете ли вы определить, какого числа и какого месяца Митя был в каждом из городов?

#задачаналогику
Решение!
Поскольку Митя не мог провести один и тот же день и в Смоленске и в Вологде, значит, месяц начинался во вторник (ведь иначе первый вторник и первый вторник после первого понедельника совпали бы). Аналогично заключаем, что и второй месяц должен начинаться во вторник. Это возможно только в случае, когда один месяц  — февраль, а другой  — март, причём год не високосный. Отсюда уже легко получить, что в Смоленске Митя был 1 февраля, в Вологде  — 8 февраля, во Пскове  — 1 марта, во Владимире  — 8 марта.

#олимпиаднаязадача
Найдите наибольшее шестизначное число, у которого каждая цифра, начиная с третьей, равна сумме двух предыдущих цифр.

#олимпиаднаязадача
Решение!
Если первая буква была a, а вторая  — b, то третья будет (a + b), четвёртая  — (a + 2b), пятая  — (2a + 3b), шестая  — (3a + 5b). Нам надо подобрать максимальное возможное значение a, чтобы при этом шестая цифра оставалась "цифрой", т.е. чтобы выполнялось неравенство 3a + 5b < 10. Это возможно при a = 3, b = 0, т.е. искомое число будет 303369.

#детскиезадачи
Как при помощи 5-ти литрового и 9-ти литрового ведра набрать из реки 3 литра воды?

Ответ: Заполняем водой из реки 9-ти литровое и переливаем из него воду в 5-ти литровое (в 9-ти литровом остается 4 литра). Освобождаем 5-ти литровое ведро и переливаем в него 4 литра из 9-ти литрового. Еще раз заполняем водой из реки 9-ти литровое и из него доливаем в 5-ти литровое 1 литр воды (в 9-ти литровом остается 8 литров). Освобождаем 5-ти литровое и переливаем в него из 9-ти литрового 5 литра воды. В 9-ти литровом ведре останется 3 литра воды.

#олимпиаднаязадача
Найдите двузначное число, которое в 5 раз больше суммы своих цифр.

#олимпиаднаязадача
Решение!
Число, которое в 5 раз больше суммы своих цифр, должно делиться на 5. Значит, оно оканчивается на 0 или на 5. Однако на 0 оно оканчиваться не может, ибо в этом случае будет в 10 раз больше суммы своих цифр. Итак, искомое число можно записать в виде 10a + 5. Сумма цифр этого чиста равна a + 5. Значит, можно составить уравнение

10a + 5 = 5(a + 5).

Решив его, получим: a = 4, искомое же число 45.