#задачаналогику
Из стакана молока три ложки содержимого переливают в стакан с чаем и небрежно помешивают. Затем зачёрпывают три ложки полученной смеси и переливают их обратно в стакан с молоком. Чего теперь больше: чая в стакане с молоком или молока в стакане с чаем?

#задачаналогику
Решение!
После второго переливания в стакане с молоком оказывается ровно столько чая, сколько оттуда было взято молока: ведь объём жидкости не изменился. Значит, в итоге чая в молоке столько же, сколько молока в чае.

#олимпиаднаязадача
Буратино и Пьеро был велосипед, на котором они отправились в соседнюю деревню. Ехали по очереди, но всякий раз, когда один ехал, другой шёл пешком, а не бежал. При этом они ухитрились прибыть в деревню почти в 2 раза быстрее, чем если бы оба шли пешком. Как им это удалось?

#олимпиаднаязадача
Решение!
Буратино проехал на велосипеде полдороги, слез с него и дальше пошёл пешком. А Пьеро первую половину пути прошёл пешком, затем дошёл до велосипеда, сел на него и поехал. Таким образом они и сэкономили время.

#задачаналогику
На острове живут два племени  — аборигены и пришельцы. Известно, что аборигены всегда говорят правду, пришельцы  — всегда лгут. Путешественник нанял туземца-островитянина в проводники. По дороге они встретили какого-то человека. Путешественник попросил проводника узнать, к какому племени принадлежит этот человек. Проводник вернулся и сообщил, что человек назвался аборигеном. Кем был проводник  — аборигеном или пришельцем?

#задачаналогику
Решение!
Второй туземец, кем бы он ни был, на вопрос: "Абориген ли Вы?" ответит положительно. Значит, проводник не обманул путешественника, следовательно, и он тоже абориген.

#олимпиаднаязадача
99 прямых разбивают плоскость на n частей. Найдите все возможные значения n, меньшие 199.

#олимпиаднаязадача
Решение!
Индукцией по m легко доказать, что m прямых разбивают плоскость на 1 + m + x частей, где x — количество точек пересечения этих прямых с учётом их кратностей (это означает, что точка пересечения k прямых считается за k - 1 точек пересечения). Используя эту формулу и индукцию по m, можно доказать, что если среди данных m прямых есть три прямые, пересекающиеся в трёх различных точках, то эти m прямых разбивают плоскость по крайней мере на 2m + 1 частей. База индукции: m = 3; далее мы пользуемся тем, что проведение каждой новой прямой добавляет по крайней мере две новые части. Обращаясь к условию задачи, мы видим, что нас интересуют только конфигурации прямых, среди которых нет троек прямых, пересекающихся в трёх разных точках. Таким образом, либо все 99 прямых параллельны, либо все 99 прямых пересекаются в одной точке, либо 98 прямых параллельны и одна прямая их пересекает. Первая конфигурация разбивает плоскость на 100 частей, а обе остальные — на 198 частей.

#детскиезадачи
В корзине 25 кг моркови, а в ящике в три раза  больше. За зиму израсходовали 82 кг моркови. Сколько килограммов моркови осталось?

Ответ: 18

#задачаналогику
Во время бала каждый юноша танцевал вальс с девушкой либо более красивой, чем на предыдущем танце, либо более умной, а один – с девушкой одновременно более красивой и более умной. Могло ли такое быть? (Юношей и девушек на балу было поровну.)

#задачаналогику
Решение!
Пусть на балу присутствовали три девушки – Анна, Вера и Светлана – в порядке возрастания красоты. При этом порядок возрастания ума таков: Вера – Светлана – Анна (Анна – самая умная). Тогда юноша, танцевавший с Анной, может пригласить на следующий танец Веру (более красивую), танцевавший со Светланой – Анну (более умную), танцевавший с Верой – Светлану (более красивую и более умную).

#детскиезадачи
Учитель физики Евгений Борисович принес в школу 9 металлических листов для проведения опытов. Некоторые из них он распилил на 5 частей. После этого у Евгения Борисовича стало 33 металлических листа. Сколько листов они распилили?

Ответ: 6 листов

#детскиезадачи
Пятеро молодых рабочих получили на всех зарплату - 1500 рублей. Каждый из них хочет купить себе магнитофон ценой 320 рублей. Докажите, что кому-то из них придется подождать с покупкой до следующей зарплаты.

#детскиезадачи
Решение!
Если бы каждый из рабочих мог купить магнитофон, то у них в сумме было бы не менее 5 · 320 = 1600 рублей.

#детскиезадачи
Мальчик Стёпа говорит: позавчера мне было 10 лет, а в следующем году мне исполнится 13. Может ли такое быть?

Решение:
да, если день рождения Степы 31 декабря, а эту фразу он произнес 1 января.

#задачаналогику
Путешественник, сняв в гостинице комнату на неделю, предложил хозяину в уплату цепочку из семи серебряных колец  — по кольцу за день, с тем, однако, условием, что будет рассчитываться ежедневно. Хозяин согласился, оговорив со своей стороны, что можно распилить только одно кольцо. Как путешественнику удалось расплатиться с хозяином гостиницы?

#задачаналогику
Решение!
Путешественник должен распилить 3е кольцо. Тогда он получит три звена: первое  — из одного кольца, второе  — из двух, третье  — из четырех. В первый день путешественник даст хозяину гостиницы 1 кольцо. Во второй  — даст 2 кольца, заберёт 1. В третий  — даст 1 кольцо. В четвёртый  — даст 4, заберёт 2 и 1 кольцо. В пятый  — даст 1 кольцо. В шестой  — даст 2 кольца, заберёт 1. В последний (седьмой) день даст 1 кольцо.

#олимпиаднаязадача
В турнире по олимпийской системе (проигравший выбывает) участвует 50 боксеров. Какое наименьшее количество боев надо провести, чтобы выявить победителя?

#олимпиаднаязадача
Решение!
После каждого боя из соревнований выбывает один боксер – проигравший в этом бою. Поскольку всего к концу соревнований выбыть должны все, кроме победителя, всего должно быть 49 боев, независимо от того, как составляется расписание.

#олимпиаднаязадача
По аллее длиной 100 метров идут три человека со скоростями 1, 2 и 3 км/ч. Дойдя до конца аллеи, каждый из них поворачивает и идёт назад с той же скоростью. Доказать, что найдётся отрезок времени в 1 минуту, когда все трое будут идти в одном направлении.

#олимпиаднаязадача
Решение!
Будем измерять время в минутах. Первый пешеход проходит, аллею за 6 минут, второй – за 3, третий – за 2. Покажем сначала, что найдётся отрезок времени длины 3, когда первый и второй пешеходы двигались в одном направлении.   Пусть t1 – произвольный поворот первого пешехода. Рассмотрим ближайший момент  t2 > t1,  когда произошёл поворот второго пешехода. Ясно, что в течении отрезка времени  [t2, t2 + 3],  когда второй пешеход проходил целиком всю аллею, первый также не успел повернуть. Если при этом два пешехода двигались в одном направлении, то отрезок  [t2, t2 + 3]  – искомый. Иначе искомый отрезок –  [t2 + 6, t2 + 9].  Будем считать, что реализуется первая из этих ситуаций (иначе заменим t2 на  t2 + 6).   Докажем теперь утверждение задачи. Пусть  t3 > t2  – ближайший момент, когда повернул третий пешеход. Рассуждая аналогично предыдущему, мы видим, что один из отрезков  [t3, t3 + 1],  [t3 + 4, t3 + 5]  или  [t3 + 9, t3 + 10] – искомый.