#задачаналогику
Имеется 19 гирек весов 1, 2, 3, ..., 19 г: девять железных, девять бронзовых и одна золотая. Известно, что общий вес всех железных гирек на 90 г больше общего веса бронзовых. Найдите вес золотой гирьки.

#задачаналогику
Решение!
Разность между общим весом девяти самых тяжёлых гирь и общим весом девяти самых лёгких равна  (19 + 18 + ... + 11) – (9 + 8 + ... + 1) = 90 г.  Поэтому железные гири – самые тяжёлые, а бронзовые – самые лёгкие (иначе разность между общим весом железных гирь и общим весом бронзовых была бы меньше). Значит, золотая гирька весит 10 г.

#задачаналогику
Одного из близнецов зовут Ваня, другого – Витя. Один из братьев всегда говорит правду, а другой всегда лжет. Можно задать один вопрос одному из братьев, на который тот ответит "да" или "нет". Выясните, кого из близнецов как зовут.

#задачаналогику
Решение!
Для близнеца, которому мы задаём вопрос, имеется четыре возможности: он Ваня-лжец, Ваня-правдивец, Витя-лжец, либо Витя-правдивец. Попробуйте задать такой вопрос, положительный ответ на который означал бы, что выполнена одна из первых двух возможностей.

#олимпиаднаязадача
Вычислительная машина умеет выполнять только одну операцию: a*b=1-a/b. Как выполнить с помощью этой машины все четыре арифметических действия?

#олимпиаднаязадача
Решение!
Даны два числа a, b. 1) Еcли взять пару (a;a), то машина поставит ей в соответствие число 0. 2) Еcли взять пару (0;b), то машина поставит ей в соответствие число 1. 3) Еcли взять пару (1-a:b;1), то машина поставит ей в соответствие число a:b. Действительно указанной паре машина сопоставит число 1-(1-a:b):1=a:b. Итак, мы НАУЧИЛИСЬ ДЕЛИТЬ известные нам числа. 4)Так как мы научились уже делить, то можем получить число 1:b, а затем можем получить число a:(1:b)=a*b. Мы НАУЧИЛИСЬ УМНОЖАТЬ. 5)Разделив число 1-a:b на 1:b, получим число b-a. Нашли разность. 6)Вычитая числа b-a и b, получим число -a. Осталось от числа b отнять число -a, т.е. записать b-(-a)=b+a. Нашли сумму двух чисел.

#задачаналогику
В доме, который был заселён только супружескими парами с детьми, проводилась перепись населения. Человек, проводивший перепись, в отчёте указал: "Взрослых в доме больше, чем детей. У каждого мальчика есть сестра. Мальчиков больше, чем девочек. Бездетных семей нет". Этот отчёт был неверен. Почему?

#ярмарка сообщение участника @ZhidkovVO

Бесплатный тренажер для трудолюбивых учеников и целеустремленных родителей, поступающих в 5 класс математических школ https://minimath239.com

140 вступительных работ в 5-е классы
3500 публичных задач
2900 подсказок к неправильным ответам

Особенности тренажера тут:
https://www.minimath.ru/articles/osobennosti-trenazhera-minimath239

Летом ждем новых учеников на индивидуальные занятия с учителями minimath239

#задачаналогику
Решение!
В каждой семье обязательно есть девочка, так как если в семье есть мальчик, то у него, согласно отчёту, должна быть и сестра, а если мальчика в семье нет, должна быть девочка, поскольку бездетных семей нет. Это значит, что количество девочек не меньше количества семей. А поскольку мальчиков больше, чем девочек, то детей больше, чем удвоенное количество семей, т.е. чем число взрослых. Но в отчёте было написано, что взрослых больше, чем детей. Значит, в отчёте где то есть ошибка.

#детскиезадачи
С одной грядки собрали 25 баклажанов. Это на 6 баклажанов больше, чем с другой грядки. Из половины всех собранных баклажанов сделали икру, остальные положили в холодильник. Сколько баклажанов положили в холодильник?

Ответ: 22

#задачаналогику
Из стакана молока три ложки содержимого переливают в стакан с чаем и небрежно помешивают. Затем зачёрпывают три ложки полученной смеси и переливают их обратно в стакан с молоком. Чего теперь больше: чая в стакане с молоком или молока в стакане с чаем?

#задачаналогику
Решение!
После второго переливания в стакане с молоком оказывается ровно столько чая, сколько оттуда было взято молока: ведь объём жидкости не изменился. Значит, в итоге чая в молоке столько же, сколько молока в чае.

#олимпиаднаязадача
Буратино и Пьеро был велосипед, на котором они отправились в соседнюю деревню. Ехали по очереди, но всякий раз, когда один ехал, другой шёл пешком, а не бежал. При этом они ухитрились прибыть в деревню почти в 2 раза быстрее, чем если бы оба шли пешком. Как им это удалось?

#олимпиаднаязадача
Решение!
Буратино проехал на велосипеде полдороги, слез с него и дальше пошёл пешком. А Пьеро первую половину пути прошёл пешком, затем дошёл до велосипеда, сел на него и поехал. Таким образом они и сэкономили время.

#задачаналогику
На острове живут два племени  — аборигены и пришельцы. Известно, что аборигены всегда говорят правду, пришельцы  — всегда лгут. Путешественник нанял туземца-островитянина в проводники. По дороге они встретили какого-то человека. Путешественник попросил проводника узнать, к какому племени принадлежит этот человек. Проводник вернулся и сообщил, что человек назвался аборигеном. Кем был проводник  — аборигеном или пришельцем?

#задачаналогику
Решение!
Второй туземец, кем бы он ни был, на вопрос: "Абориген ли Вы?" ответит положительно. Значит, проводник не обманул путешественника, следовательно, и он тоже абориген.

#олимпиаднаязадача
99 прямых разбивают плоскость на n частей. Найдите все возможные значения n, меньшие 199.

#олимпиаднаязадача
Решение!
Индукцией по m легко доказать, что m прямых разбивают плоскость на 1 + m + x частей, где x — количество точек пересечения этих прямых с учётом их кратностей (это означает, что точка пересечения k прямых считается за k - 1 точек пересечения). Используя эту формулу и индукцию по m, можно доказать, что если среди данных m прямых есть три прямые, пересекающиеся в трёх различных точках, то эти m прямых разбивают плоскость по крайней мере на 2m + 1 частей. База индукции: m = 3; далее мы пользуемся тем, что проведение каждой новой прямой добавляет по крайней мере две новые части. Обращаясь к условию задачи, мы видим, что нас интересуют только конфигурации прямых, среди которых нет троек прямых, пересекающихся в трёх разных точках. Таким образом, либо все 99 прямых параллельны, либо все 99 прямых пересекаются в одной точке, либо 98 прямых параллельны и одна прямая их пересекает. Первая конфигурация разбивает плоскость на 100 частей, а обе остальные — на 198 частей.

#детскиезадачи
В корзине 25 кг моркови, а в ящике в три раза  больше. За зиму израсходовали 82 кг моркови. Сколько килограммов моркови осталось?

Ответ: 18

#задачаналогику
Во время бала каждый юноша танцевал вальс с девушкой либо более красивой, чем на предыдущем танце, либо более умной, а один – с девушкой одновременно более красивой и более умной. Могло ли такое быть? (Юношей и девушек на балу было поровну.)

#задачаналогику
Решение!
Пусть на балу присутствовали три девушки – Анна, Вера и Светлана – в порядке возрастания красоты. При этом порядок возрастания ума таков: Вера – Светлана – Анна (Анна – самая умная). Тогда юноша, танцевавший с Анной, может пригласить на следующий танец Веру (более красивую), танцевавший со Светланой – Анну (более умную), танцевавший с Верой – Светлану (более красивую и более умную).