Сьогодні ми святкуємо не просто День Незалежності нашої країни, а день, коли ми ще раз нагадуємо собі, що майбутнє України — в наших руках. Справжня незалежність неможлива без освічених, талановитих та сміливих людей, які здатні приймати виклики часу та будувати нову Україну.

Ми віримо, що доступність освіти є ключем до майбутнього. Тому на честь свята оголошуємо акцію: до кінця літа ви можете придбати два місяці навчання за ціною одного! Це ваш шанс зробити перший крок до глибших знань і відкриття нових можливостей.

З Днем Незалежності! 🇺🇦

У шкільні роки математика часто сприймається як щось далеке й відірване від життя. Навіщо вивчати синуси й косинуси, якщо це не допомагає знайти знижки у супермаркеті чи розібратися в соціальних мережах? Та насправді, математика — це не набір абстрактних правил, а мова, якою описується світ. І навіть ті математичні інструменти, які здаються непотрібними, щоденно використовуються у багатьох професіях.

Кожен математичний розділ, вивчений вами у школі, знаходить своє місце у практичних застосуваннях. Наприклад, ті ж тригонометричні функції, які здавалися непотрібними, щоденно допомагають інженерам, програмістам і навіть дизайнерам відеоігор. Лінійні та квадратичні функції є невід'ємною частиною інструментарію економістів та соціологів. А алгебраїчні рівняння, які описують химерні фігури, вже давно стоять на озброєнні в архітекторів.

Розгляньмо приклад із відеоігор — рух персонажа похилою площиною. Уявімо, що персонаж стоїть на схилі, і гра має правильно відобразити, як він ковзає вниз або підіймається вгору залежно від кута нахилу.

Персонаж у грі підпорядковується законам фізики. На похилій площині на нього діє сила тяжіння (F), яку можна розкласти на дві складові:
1. Перпендикулярна до площини сила (R), що "притискає" персонажа до схилу;
2. Паралельна площині сила (Q), яка змушує персонажа ковзати вниз.

Обчислення цих складових базується на тригонометричних функціях:
P = F ⋅ cos(θ), Q = F ⋅ sin(θ),
де θ — кут нахилу поверхні до горизонту.

І це лише частина обчислень, кінцевий результат яких створює враження, ніби персонаж дійсно взаємодіє з поверхнею. Без них він би не рухався реалістично — наприклад, міг би "зависнути" у повітрі або проходити крізь схил.

Згадайте, як на уроках математики ви будували графіки: від прямої лінії до хитромудрих кривих. Але чи замислювалися ви про те, що окрім безумовно прекрасної абстракції, ці криві мають цілком реальні застосування?

Взяти, до прикладу, параболу. Виявляється, що для цієї кривої можна знайти таку точку, так званий фокус, що всі промені, падаючи з неї на параболу, відбиваються строго перпендикулярно осі Ох. Ця властивість використовується, наприклад, при розробці ліхтариків та автомобільних фар — для їх підсилення за рахунок спрямування світлових променів.

Парабола має ще багато корисних властивостей, всі з яких не влізуть в один допис, тож про неї — іншим разом. Натомість простішим за параболу здається коло, але от застосувань у нього завдяки цій простоті побільше — від колес та шестерень до радарів та GPS. Певно, ви й самі можете придумати декілька — дуже вже ця фігура розповсюджена та близька нам.

А от орбіти планет є, взагалі кажучи, не колами, як ви, можливо, звикли малювати в дитинстві, а еліпсами. Насправді еліпс — крива не менш корисна за коло, хоча б тому, що дуже часто кола, особливо на великих масштабах, як от ті ж орбіти, наприклад, чи галактичні ореоли, на практиці часто витягуються і набувають еліптичних форм.

Однак криві — це не лише геометричні фігури, а й потужний інструмент для моделювання процесів та обробки сигналів. У цифровій обробці звуку чи зображень ми часто стикаємося з такими поняттями, як криві Безьє або сплайни. Вони дозволяють плавно інтерполювати дані, створювати складні форми або згладжувати графіки. Наприклад, криві Безьє використовуються в комп'ютерній графіці для створення шрифтів, а сплайни допомагають моделювати траєкторії руху в анімації чи аналізувати дані в біоінформатиці.

Врешті, від моделювання біологічних процесів і сигналів серця до дизайну автомобілів чи створення шедеврів цифрового мистецтва — криві є всюди. Це ще раз доводить, що математика об'єднує науку й мистецтво, перетворюючи абстрактні концепти на реальні інструменти змін. Тож варто лише подивитися на криві під іншим кутом — і ви побачите їхню справжню красу та силу.

Ми у попередньому пості розповіли вам про криві та їх практичну користь, але найголовнішого не сказали — як такі криві описувати математично?

Відповідь — за допомогою функцій!
Для тих, хто підзабув — функцією називають залежність однієї величини від іншої, наприклад, кількості риб у ставку від об'єму водоростей у ньому; рівня задоволення населення від середньої заробітної плати.

Часто такі функції зручно зображати у вигляді кривої лінії. Робиться це так: обчислюємо значення функції f(x) для випадкового х та розміщуємо точку з координатами (x; f(x)) на площині — і так допоки отримані точки не почнуть вилаштовуватися у більш-менш зрозумілий візерунок. Такі криві називаються заданими явно.
Прикладом може слугувати парабола з попереднього посту — вона задається рівнянням f(x)=x².

З колом та еліпсом вийде дещо складніше — там доведеться говорити про неявні функції, але про них іншим разом. А особливо нетерплячих запрошуємо записатися на курс, там з належним ентузіазмом розповідаємо, зокрема, про функції та в міру детально обговорюємо їхню роль у сучасній прикладній математиці.

Залишайте свої контактні дані у гугл-формі і ми якнайшвидше зв'яжемося з вами.

І, власне, цільова тема цього допису: не обов'язково і не завжди координати точок кривої залежать одне від одного. Прикладом такої лінії може бути траєкторія руху деякого тіла. Його координати в цьому випадку самі будуть функціями, що залежатимуть від іншої величини (наприклад, від часу). У такому разі кажуть, що крива задана параметрично.

Не завжди ці два підходи є взаємовиключними. Наприклад, функцію
y = sin(√x)
можна рівноцінно замінити системою функцій
x(t) = t²,
y(t) = sin(t).

Нижче подано графік цієї функції у явному вигляді (помаранчевий) та в параметричному (чорний). Множина значень t зростає від [0; 0] до [0; 3.5].

Та не рідко зустрічаються випадки, коли без параметризації не обійтися.

Приставте колесо з радіусом r до стіни та приклейте до нього олівець так, щоби його кінчик торкався цієї стіни. Крива, яку олівець намалює під час руху колеса, називається циклоїдою.

У явній формі ця крива задається дуже незручно, однак все суттєво спрощується у параметричній формі:
x(t) = r(t - sin(t)),
y(t) = r(1 - cos(t)).

Параметр t у цьому випадку позначає кут, на який було повернуто колесо.

Циклоїда — це лише один із безлічі прикладів, де параметризація стає не просто зручною, а незамінною. Такі описи використовуються в аеродинаміці, робототехніці, комп’ютерній графіці, і навіть у музиці. Саме тому ми приділяємо стільки уваги функціям та різним способам їх представлення. Тож запрошуємо вас на наш курс, де ви зможете опанувати ці інструменти і побачити, як математика стає прикладною.

Записатися можна за посиланням на форму — не відкладайте, адже набір триває!

Кажуть, вона на підході. На вашому місці ми би пильнували цей канал. Ой, що завтра буде 🫣

Раді представити наш новий проєкт — щомісячну електронну газету «Математикотики»!

У ній ви знайдете захопливі задачі, цікаві статті, новини світу математики та багато іншого 🤩

Завантажуйте перший випуск та оформлюйте безкоштовну підписку, аби щомісяця отримувати свіженький номер на свою електронну скриньку!

Залишайтеся з нами — буде цікаво!

Ось вам приклад застосування геометрії в комп'ютерних іграх 👍

Джерело

Привіт!
Лютневий випуск газети «Математикотики» вже доступний!

Цього разу ми підготували для Вас
📌 Розповідь про те, як математики десятиліттями ламали голову над проблемою рухомого дивана,
📌 Демонстрацію точності математичного апарату, яка часом навіть може суперечити нашій інтуїції,
📌 Та цілий ряд нових математичних задач, які Вас точно не залишать рівнодушними!

Бажаємо Вам приємного прочитання!

Поки в нашій школі перші учні опановують ази прикладної математики, ми готуємося до нового сезону!

Наші студенти вже занурилися у світ математичних моделей, алгоритмів і реальних застосувань. Вони вчаться не просто рахувати, а розуміти, як математика працює у світі технологій, науки та бізнесу.

А тепер – чудова новина! Знаємо, що багато хто вже чекає на це, тож ми відкриваємо набір у нові групи 🤩 Якщо ви прагнете глибоко розібратися в математиці, навчитися мислити, як дослідник, і бачити, як теорія перетворюється на практику — приєднуйтеся до нас!

📌 Реєстрація — за посиланням.
📌 Маєте питання? Залишайте коментар або звертайтеся до нашого адміністратора.

Розбираємося з тим, чому 1+2≠3 (ну майже 🤫)

Записатися на безкоштовний пробний урок можна 👉 тут 👈

А ось і березневий випуск!

У цьому номері ми
📌 Знову рухаємо предмети 😅
📌 Показуємо, як ділити на нуль 🤨
📌 Ввели аж дві нові рубрики 🤩
📌 Та, звісно ж, приготували для Вас ще більше хитрих задач! 😼

Хочете щомісяця отримувати свіженький випуск прямо на електронну пошту? Оформлюйте безкоштовну підписку за посиланням!

КШЕ анонсувала власну олімпіаду «Поза 3σ». Заохочуємо вас узяти участь! 😃

А який зміст зашифрований у назві? Пишіть свої здогадки у коментарях 👇

Перше повноцінне відео нашої школи, створене у колоборації з AreMath!

Диференціальні рівняння. Здавалося би, про них розповіли вже всі ютубери-математики, навіщо знову говорити на цю тему? Та, виявляється далеко не всі в курсі так званих ЖОРСТКИХ рівнянь. А жоскі рівняння потребують жоского відео — тож гайда дивитися! 😼

https://youtu.be/_yCPNG-7QY8?si=EmVJlgs3hs6S4C0g

А хто першим розгадає цей мем — отримає таємний приз від школи! 😎