The proof is left as an exercise to the reader

Ботаю зараз книгу Хайрера про інтегрування диференціальних рівнянь, повторюю деякі теми, і натрапив на дуже цікаву конструкцію — орбіти Аренсторфа.


Два факти, що найчастіше озвучуються в матеріалах про задачу трьох тіл:

☢ Ця задача не має розв'язків у вигляді "замкненої" формули;

☣ Система трьох (чи більше) тіл є нестійкою — невеликі збурення в початкових умовах ведуть до сильно різної еволюції системи.

Що це означає для нас як для людей, що намагаються передбачити рух астрономічних тіл, яких зазвичай навіть більше, ніж 3? Те, що, по-перше, ми шукатимемо наближений розв'язок задачі за допомогою чисельних методів (див. наше з AreMath відео), а по-друге, те, що внаслідок нестійкості системи похибка, яку дають ці методи з часом "розхитуватиме" наближений розв'язок і він усе сильніше відрізнятиметься від реальної траєкторії — навіть якщо початкові умови були задані дуже близько до істинних.

Цієї проблеми, нажаль, остаточно не усунути. Єдине, що нам залишається — розробляти якнайточніші чисельні методи.

З деяких причин теоретична оцінка похибки, яку дає метод, далеко не завжди збігається з похибкою, яку він має на практиці. Якщо хочете, аби ми колись розповіли, чому так відбувається — поставте клоуна 🤡 цьому допису.

Аби оцінити метод в ділі, його піддають випробуванням — перевіряють, як він здатний впоратися з різноманітними каверзними задачами. І однією з таких задач є побудова орбіти Аренсторфа.


Задача трьох тіл у загальній постановці враховує всі три маси, однак часто на практиці одну з мас можна встановити рівною нулю. Так, наприклад, маса ракети чи супутника є нехтовно малою порівняно з масою таких астрономічних тіл як Земля, Місяць, Сонце тощо. Така задача отримала назву обмеженої задачі трьох тіл.

У самий розпал холодної війни й космічної гонки дехто Richard F. Arenstorf, математик із NASA, досліджував дану задачу і показав, що в неї можливі періодичні розв'язки. Тобто за відсутності зовнішніх сил система самоповторюватиметься — як це показано, наприклад, на гіфці нижче.

Іншими словами, з часом система повинна (на папері) прийти в той самий стан, з якого вона починала. Ось тут і криється приємний для нас нюанс: якщо ми інтегруватимемо систему наближено, то через похибки й нестійкість система не зациклиться. Здавалося би, що ж тут приємного? А те, що різниця між першим і остаточним положеннями тіла нехтовної маси (яка [різниця] мала би дорівнювати нулю) вкаже нам на якість методу інтегрування — чим ближче до нуля, тим ліпше!

На зображенні нижче ви бачите траєкторію, яку я згенерував за завданням із книги (умову розміщу в коментарях).

Зделеку здається, що вона замкнена, але приблизивши зображення до точки (0, 0.994), бачимо розрив — початковий стан (лівіше) не збігається з остаточним.

Втім, цей розрив є дуже малим — зверніть увагу на масштаб осей.

Та навіть такої, здавалося би, нехтовної невідповідності вистачає, аби вже на п'ятому колі траєкторія помітно відхилилася від потрібної.

Далі, звісно ж, ні про яку циклічність мова не йде, на останньому зображенні ви бачите 10 обльотів — абсолютний хаос.

Тепер якщо ви десь почуєте, що в астрономії потрібна надвисока точність обчислень, ви знатимете, про що іде мова.

А пам'ятаю, як я ще на третьому курсі починав вивчати чисельні методи, то думав, що вимагати точності в 6 знаків після коми — це занадто 🫠

Від підписника

Хоба, новий випуск газети «Математикотики» вже тут!

У вересневому номері на вас чекають:
1. Стаття про те, як математики випробовують свої алгоритми в дії 👾
2. Маленька новинка: окрім виконання суто математичних задач Вам пропонується також задіяти цифрові потужності 🤖
3. І велика новинка: розв'язки задач, які пропонувалися в попередніх номерах ☝️🤓

Хочете запропонувати свою статтю, задачу або розв'язок? Чи, може, маєте якусь хорошу ідею для нашої газети? Пишіть нам на e-mail: matematykotyky@gmail.com

Ви можете безкоштовно отримувати свіжі випуски прямо на свою електронну пошту, для цього просто заповніть гугл-форму.

Бажаємо вам гарного читання 🩵

ПМ на кінчиках пальців

Одного дня Анна приготувала два види соку: яблучно-грушевий та яблучно-моркв'яний. На одну морквину в першому соку прийшлося 4 яблука, а в другому кількість яблук відноситься до кількості груш як 3:2. Після цього Анна налила собі по пів склянки обидвох видів соку (все в одну склянку). Який відсотковий вміст яблучного соку в склянці, якщо відомо, що одна морквина дає 40 мл соку, одне яблуко — 90 мл, а груша — 85 мл соку?


Засновано на реальних подіях. Сік був смачний.

Чисельні методи: як розв'язати нерозв'язне?


Згадайте: у школі нас вчили розв’язувати рівняння, використовуючи лаконічні формули, як от дискримінант для ax²+bx+c=0. Але що робити, коли гарної формулки немає, як от у випадку cos(x)=ln(x)? 🤔

Саме тут на сцену виходять свої, особливі методи, які використовують повний математичний арсенал 😮‍💨: геометрію, алгебру, аналіз та навіть слово "очевидно"!

Як шукати вихід з безвиході — дізнайтеся на лекції в ХНУ ім. Каразіна, 19 жовтня, о 15:00 😼


Вхід вільний за попередньою 👉 реєстрацією 👈

Щойно придумав цікаву конструкцію. Поки дам вам завдання придумати щось схоже, а потім покажу свій варіант :)

Ситуація наступна. Попри назву, дотична до графіка функції не завжди торкається даної функції в задній точці, іноді ця пряма може і перетинати графік.

А чи можете ви придумати таку функцію f(x), що в деякій точці прямі, які лише торкаються f(x), дотичними не є, натомість справжня дотична в даній точці цю функцію перетинає?

Трапилося мені сьогодні ось таке відео. У кінці диктор каже, що довжина берега ніби буде нескінченно зростати при зменшенні масштабу. Темою розмови в коментарях оголошую наступне питання: чи справді довжина нескінченно зростатиме, чи все-таки вона збігається до деякого числа? Погнали 👇