Важное обращение именно к тебе🥺

Гигантская шпора по всей второй части от Школково
#материалы

📝 ПЛОЩАДИ ФИГУР
Ну что ж, геома так геома, сами напросились. Давайте обсудим формулы площадей некоторых фигур. То, что площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон S▯=ab, я доказывать в общем виде не буду, ибо это "слегка" выходит за рамки курса средней школы, а убедиться в её справедливости на примере натуральных чисел не составляет труда. Отсюда сразу же следует формула площади квадрата, ведь это просто прямоугольник, у которого все стороны равны: S▢=a². Но мало кто скажет вам, что площадь квадрата так же можно выразить как половину квадрата диагонали: S▢=d²/2, где d - длина его диагонали. И правда: по теореме Пифагора длина диагонали d=√2a => a = d/√2 => S=a²=(d/√2)² = d²/2
Плавно перекатываемся к параллелограмму. Самая базовая формула его площади - произведение стороны и проведённой к ней высоты S▱=ah. Покажем эти отрезки на рисунке (см. изображение). Пусть дан параллелограмм ABCD и высота BH, проведённая к стороне AD. Из точки C на продолжение AD опустим такую же высоту CK. Площадь ABCD равна сумме площадей треугольника ABH и четырёхугольника BHDC по очевидным причинам. Треугольники AHB и DKC равны, а значит, S(ABCD) = S(ABH) + S(BHDC) = S(DKC) + S(BHDC). Присмотревшись, понимаем, что DKC и BHDC вместе образуют прямоугольник BHKC, а S(BHKC) = ВС•ВН = a•h, а это и есть искомая площадь параллелограмма.
Кроме того, на этом же рисунке можно вывести ещё одну базовую формулу: S▱=a•b•sinα, где a,b - соседние стороны, α - угол между ними. Из прямоугольного треугольника AHB sin∠BAH = BH/AB => BH = AB•sin∠BAH. Подставляем в уже известную нам формулу S = AD•BH = AD•AB•sin∠BAH. AD и AB - соседние стороны параллелограмма, ∠BAH - угол между ними, а значит, получили требуемое.
БОНУС: Если мы разделим тот же самый параллелограмм диагональю, то получим два равных треугольника, площадь каждого из которых равна половине площади параллелограмма, а значит, с одной стороны, S△=½•a•h, где a - сторона, h - проведённая к ней высота, а с другой S△=½•a•b•sinα, где a,b - соседние стороны, α - угол между ними.
#уроки@mathbotva

Шпора по экономической задаче (Школково)
#материалы

Так, произошли некоторые изменения в структуре канала. Файлики с теорией в моей кладовке стремительно заканчиваются, а значит, надо искать новые варианты.. Ютуб - безграничная кладезь информации. Вы же не против, если категория "файлики" переименуется в "материалы" и там помимо всяких pdf теперь будут видео? По-моему, станет только лучше. Навигация, кстати, переехала в первый пост, но там пока негусто (см. закреп)

Графики (Школково)
#материалы

Уравнения (Математик МГУ)
#материалы

📝 ЛОГИКА. ПАРАДОКС ИМПЛИКАЦИИ
Сегодня слегка затронем логику. Это целый раздел математики, причём очень важный, однако в школе он особо не изучается, и очень зря.
Например, знакомо ли вам понятие импликации? Говоря простым языком, это логическое следование, которое можно заменить словами «если А, то В», где А и В - какие-то утверждения. Конкретно в нашем случае А - посыл, а В - следствие. Можно построить таблицу истинности (см. изображение), из которой понятно, что импликация ложна только тогда, когда А истинно, а В ложно. Это не лишено смысла: если из верного посыла следует неверное следствие, то такое утверждение в целом неверно.
Скорее всего, у вас возник вопрос: «что?» Поэтому от математических терминов перейдём к бытовому примеру, на котором должна проясниться суть импликации. Пусть А - начальник, а В - подчинённый. В контексте нулей и единиц пусть А=1, когда начальник говорит подчинённому "работай", а В=1, когда тот послушно выполняет работу. Тогда выходит, что при А=0 начальник ничего не говорит, а при В=0 рабочий ничего не делает. Если А=1 и B=1, то начальник приказывает работать, а подчинённый работает. Всё хорошо, поэтому сама импликация истинна. Если же А=0, то есть начальник молчит, то неважно, чем занят работник - всё в любом случае хорошо. А вот если A=1 и B=0, т.е. начальник заставляет беднягу работать, а тот не хочет, тогда начинаются проблемы, и импликация ложна. Примерно так можно это себе запомнить. Должно было стать чуть понятнее, отзовитесь там, кто это вообще на полном серьёзе читает, тут есть такие?
Что ж, это вы, возможно, знали, а вот теперь переходим к интересной части. Сразу можно заметить вот что: если посылка ложна, то от истинности следствия уже ничего не зависит - утверждение в любом случае верное. Например, высказывание «если 2•2=7, то после среды наступает пятница» истинно. Вывод: из ложного утверждения может следовать всё что угодно.
Кроме того, если следствие истинно, то от истинности посыла так же ничего не зависит. Например, высказывание «если 2•2=7, то трава зелёная» истинно. Вывод: истинное утверждение может быть обосновано чем угодно.
Такие приколы и называются парадоксами импликации. Пока, наверное, хватит, это самое-самое основное, что хотелось обсудить.
#уроки@mathbotva

Теорвер (Математик МГУ)
#материалы

Призмы и цилиндр в стерео (Школково)
#материалы

📝 МНОЖЕСТВА ЧИСЕЛ
Оперативно пробежимся по множествам чисел (эта тема для вас всё-таки не новая, я надеюсь). Их иерархию вы можете увидеть на изображении выше - нетрудно понять, что, начиная с натуральных чисел, каждое множество целиком входит в другое.
Начнём с наименьшего множества - натуральные числа (N). Это числа, возникающие естественным образом при счёте (1, 2, 3, 4, ..., 100, ...)
Более многочисленное множество представляют из себя целые числа (Z). В него входят все натуральные числа, а также все противоположные им; особняком стоит ноль. Список целых чисел: (..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...). Именно целые числа являются ключевым объектом рассмотрения в теории чисел.
Следующее множество - рациональные числа (Q). Это все числа, которые можно представить в виде отношения двух целых чисел (более формально - в виде дроби k/n, где k∈Z, n∈N).
Далее идут вещественные (или действительные) числа (R). Это множество включает в себя как рациональные, так и иррациональные числа (грубо говоря, все числа, кроме комплексных). Дальше этого множества стандартная школьная программа не заходит, ведь когда вы получаете дискриминант квадратного уравнения меньше нуля, то говорите, что корней у него нет, но на самом деле их нет в поле действительных чисел, а комплексные корни есть всегда. Но давайте в комплексные числа мы лезть не будем хотя бы потому, что это программа вуза, в лучшем случае 11 класса сильных мат. лицеев. Остановимся на том, что мнимая единица i = √-1, ладно?
#уроки@mathbotva

Пирамиды и конус в стерео (Школково)
#материалы

Раздал стиля на финашке🤡🤡🤡
Upd.: Удивительно, но это проход, кстати

Стерео (Математик МГУ)
#материалы