Неравенства (Математик МГУ)
#материалы

Теория по аналитике в параметрах (Школково)
#материалы

Мини-шпора по стереометрии (Школково)
#материалы

📝 ТРИГОНОМЕТРИЯ. ЧАСТЬ 1: ВВЕДЕНИЕ
По запросам из чата поговорим о тригонометрии. То, что тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике равны всяким отношениям сторон - банально. Углы ведь бывают не только острые и в прямоугольных треугольниках, верно? Хотелось бы считать их для произвольных углов. Оказалось, что очень удобно определять их на координатной плоскости по окружности радиуса 1 (единичная окружность) с центром в начале координат. Действительно, давайте возьмём на ней произвольную точку (назовём её А; см. рисунок выше) и соединим с центром окружности (О), а также опустим из неё перпендикуляр (с основанием В) на ось абсцисс. Угол, который образует прямая OA с положительным направлением оси абсцисс, и назовём нужным нам углом α. Получили прямоугольный треугольник OBA с острым углом α и гипотенузой длины 1. Посчитаем в нём заветные тригонометрические функции по определению, например: sin α = AB/OA = AB, т.к. ОА=1. Хм, а что же такое AB? Мысленно переносим этот отрезок на координатную ось и понимаем, что в терминах координат это на самом деле ордината точки А! Аналогично ищем cos α = OB/OA = OB. То, что OB - абсцисса точки А, видно сразу. Получили, что координаты точки A - это (cos α; sin α), и это справедливо для любого такого угла на окружности. Выходит, что координатные оси x и у для тригонометрической окружности можно называть cos α и sin α соответственно.
Итак, фактически мы вывели новое определение синуса и косинуса, причём для любых углов, и тупых в том числе - это координаты точки пересечения стороны угла с тригонометрической окружностью. Не забыли про тангенс и котангенс? Их оси тут тоже есть, но они чуть более неординарны и сейчас мы умышленно их проигнорируем.
В ближайшее время буду развивать тему.
#уроки@mathbotva

Ну, допустим. Метод хОа в параметрах (Школково)
#материалы

Ну.. Пойдёт. Даже блин отсидев половину времени, мог сделать 7/10 и прошёл бы, но внимательность🤡🤡🤡

Сегодня вместо теории подборка примеров с параметрами (кто их вообще будет решать?)
#материалы

📝 ТРИГОНОМЕТРИЯ. ЧАСТЬ 2: РАДИАНЫ
Наконец продолжаем тему тригонометрии, но сегодня сделаем небольшое лирическое отступление: поговорим о радианах и с чем их едят.
Для начала вспомним, что градусная мера дуги окружности равна градусной мере центрального угла, опирающегося на эту дугу. Проще говоря, мы меряем дуги через центральные углы (из этого очевидно следует, что полный оборот по окружности равен 360 градусам). Однако измерять все углы в градусах далеко не всегда удобно - это полностью выдуманная человеком единица измерения. С окружностью неразрывно связано число пи - отношение длины любой окружности к её диаметру. Так может быть, существует более удобный способ выражения углов, использующий эту константу?
1 радиан равен градусной мере центрального угла, опирающегося на дугу, длина которой равна радиусу окружности (см. изображение выше). Как мы знаем, длина окружности равна 2πR, где R - её радиус. Отсюда следует, что в окружности поместится 2π радиусов, а в нашем случае - 2π таких дуг. Выходит, что по нашему определению полная окружность может измеряться как 2π радиан. 360° = 2π рад. ⇔ 180° = π рад. Из этого так же следует формула перевода из градусов в радианы: α° = α•π/180 рад. Особо внимательные могли заметить, что по сути радианы ни в чём не измеряются, и это верно: радианы - безразмерная математическая величина.
Ура, теперь у нас есть намного более удобная единица измерения углов! В дальнейшем будем опираться на эти знания.
#уроки@mathbotva

Математик МГУ, вся первая часть профмата кратко
Сходил блин на этот ваш шэ, 6/8, теперь походу на муницип топать придётся
#материалы

Графики (Математик МГУ)
#материалы

📝 ТРИГОНОМЕТРИЯ. ЧАСТЬ 3: ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ
Мы уже знакомы с определением синуса и косинуса на тригонометрической окружности и о специфических координатных осях в триге. Напомню, ради чего мы это делали: захотелось считать тригонометрические функции не только для острых углов в прямоугольном треугольнике, а для произвольных. Мы также теперь знаем, что полный круг составляет 360 градусов. Любой угол до 360° мы можем явно отметить на тригонометрической окружности, а что делать, если угол сильно больше, например, 2549°? Не страшно, для этого есть формулы приведения.
Начнём с глобально очень важного знания, что тригонометрическую окружность можно представить в виде спирали: каждые 360 градусов (как по часовой стрелке, так и против) все тригонометрические функции углов повторяются. Например, cos(420°) = cos(360° + 60°) = cos(60°) = 0,5. Но ведь сделать полный оборот можно несколько раз, к примеру: tg(1485°) = tg(1440° + 45°) = tg(360°•4 + 45°) = tg(45°) = 1
Приходим к первой из формул приведения: какая бы функция не была перед нами, мы можем безболезненно удалять из её аргумента слагаемые, кратные 2пи. Чуть конкретнее:

sin(2πn+α)=sin(α) / cos(2πn+α)=cos(α) / tg(2πn+α)=tg(α) / ctg(2πn+α)=ctg(α), n∈Z

А что, если слагаемым в аргументе выступает, например, π/2; π; 3π/2? У всех таких преобразований есть набор закономерностей, а называются они формулами приведения. Не привИдения 👻, а от слова "приводить". Один из вариантов запомнить их - правило "ишака"/"лошадиной головы", называйте как хотите. Суть заключается вот в чём. Если аргументы - π/2 и 3π/2 (смотрим на тригонометрическую окружность и мысленно водим от одной точки к другой, получаем движение вверх-вниз), то лошадка кивает («да»), а функция меняется на кофункцию (тут всё просто: синус на косинус, тангенс на котангенс, косинус на синус, котангенс на тангенс). Если же в аргументе π или 2π (аналогично проводим от одной точки к другой, движение горизонтальное), то лошадка мотает головой («нет»), функция не меняется, а остаётся прежней.
Пример: sin(π/2+α). В аргументе π/2 => меняем функцию на кофункцию, синус становится косинусом, а число пи из аргумента выбрасываем. Получаем sin(π/2+α) = cos α.
Кроме того, в разных четвертях тригонометрические функции имеют разные знаки (см. изображение), и это тоже нужно учитывать. При применении всех формул приведения мы считаем наш угол "альфа" острым (кстати, пусть это вас не смущает, данный алгоритм справедлив для любых углов), а знак результата определяется по исходной функции. Например: cos(π/2+α). Косинус меняется на синус, однако угол находится во второй четверти, а в ней косинус (изначальная функция) отрицателен, а значит, ставим перед результатом минус. cos(π/2+α) = —sin(α)
Поначалу довольно тяжело всё это понять и постоянно вылезает куча глупых ошибок, но всё это поправимо, просто практика, практика и ещё раз практика.
Доказываются все эти формулы, кстати, довольно элементарно геометрически, просто прямоугольный треугольник поворачивается на 90/180/270 градусов, так что сие деяние оставлю на вас, потренируйтесь и в этом.
#уроки@mathbotva

Важное обращение именно к тебе🥺

Гигантская шпора по всей второй части от Школково
#материалы

📝 ПЛОЩАДИ ФИГУР
Ну что ж, геома так геома, сами напросились. Давайте обсудим формулы площадей некоторых фигур. То, что площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон S▯=ab, я доказывать в общем виде не буду, ибо это "слегка" выходит за рамки курса средней школы, а убедиться в её справедливости на примере натуральных чисел не составляет труда. Отсюда сразу же следует формула площади квадрата, ведь это просто прямоугольник, у которого все стороны равны: S▢=a². Но мало кто скажет вам, что площадь квадрата так же можно выразить как половину квадрата диагонали: S▢=d²/2, где d - длина его диагонали. И правда: по теореме Пифагора длина диагонали d=√2a => a = d/√2 => S=a²=(d/√2)² = d²/2
Плавно перекатываемся к параллелограмму. Самая базовая формула его площади - произведение стороны и проведённой к ней высоты S▱=ah. Покажем эти отрезки на рисунке (см. изображение). Пусть дан параллелограмм ABCD и высота BH, проведённая к стороне AD. Из точки C на продолжение AD опустим такую же высоту CK. Площадь ABCD равна сумме площадей треугольника ABH и четырёхугольника BHDC по очевидным причинам. Треугольники AHB и DKC равны, а значит, S(ABCD) = S(ABH) + S(BHDC) = S(DKC) + S(BHDC). Присмотревшись, понимаем, что DKC и BHDC вместе образуют прямоугольник BHKC, а S(BHKC) = ВС•ВН = a•h, а это и есть искомая площадь параллелограмма.
Кроме того, на этом же рисунке можно вывести ещё одну базовую формулу: S▱=a•b•sinα, где a,b - соседние стороны, α - угол между ними. Из прямоугольного треугольника AHB sin∠BAH = BH/AB => BH = AB•sin∠BAH. Подставляем в уже известную нам формулу S = AD•BH = AD•AB•sin∠BAH. AD и AB - соседние стороны параллелограмма, ∠BAH - угол между ними, а значит, получили требуемое.
БОНУС: Если мы разделим тот же самый параллелограмм диагональю, то получим два равных треугольника, площадь каждого из которых равна половине площади параллелограмма, а значит, с одной стороны, S△=½•a•h, где a - сторона, h - проведённая к ней высота, а с другой S△=½•a•b•sinα, где a,b - соседние стороны, α - угол между ними.
#уроки@mathbotva