К этому посту предлагаю ряд задач для тренировки:
1) sin3x + sin5x = sin4x
2) sin²x - 3sinxcosx + 2cos²x = 0
3) cos3x + cosx = 0
4) sin³x + cos³x = 1
5) sinx + cosx = √2/2
6) √3sinx + cosx = 1
7) sinx + cosx + sin2x = 1
Вопросы задавать можно и нужно, если таковые имеются.
Ответы/решения присылайте в комментариях ПОД СПОЙЛЕРОМ!!!
#задачки@mathbotva

📝 ПРИЁМЫ В НЕРАВЕНСТВАХ
15 номер ЕГЭ, наряду с 13 и 16, является базовой составляющей так называемого "джентльменского набора" - задач, которые стоят 2 балла, наиболее просты для понимания и фактически являются фундаментом для некоторых других задач.
Итак, что же о неравенствах? В первую очередь, нужно владеть всей базовой алгеброй, упомянутой в предыдущем посте (ключевое - разложение на множители со сведением к методу интервалов, ведь это единственный способ, которым мы умеем решать неравенства).
Кратко напомню, в чём заключается метод интервалов:
• приводим выражение к виду f(x) = 0
• раскладываем функцию на множители и находим её нули, не забываем про область определения
• отмечаем корни на числовой прямой (можно тупо подстановкой для каждого интервала; можно подставить одну точку, а далее около нечётных* корней будет чередование, а около чётных* - повтор знака)
• записываем ответ с учётом строгости знака (включаем / не включаем корни)
Но что, если в выражениях не просто дроби и многочлены, а целая куча логарифмов и степенных функций? Тут на помощь приходит метод рационализации, который я уже подробно разбирал (если в двух словах, то это просто хитрое использование монотонности функций для упрощения выражения и перехода от иррационального к рациональному). Например, aᵇ - aᶜ ⇔ (a-1)(b-c)
*здесь под чётностью и нечётностью подразумевается корень чётной / корень нечётной степени
В общем и целом, у неравенств не так много особых методов - всё строится на базовом мат. аппарате, которым вы должны овладеть.
#уроки@mathbotva

Задачи к неравенствам:
1) x⁴-4x³-2x²+12x+9 ≤ 0
2) (x²-3x+2) / (x²-4x+3) ≥ (x²-5x+6) / (x²-6x+8)
3) logₓ₊₁(x²-3x+2) ≥ 1
4) 3^(x²-2x)-3^(x+4) ≥ 0

С Праздником, дамы и господа!
В наших силах только чтить и помнить всегда

📝 ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА
Здесь даже писать "приёмы" бессмысленно, потому что их нет. Вся суть задачи основана на здравом смысле, владении алгеброй (арифметические/геометрические прогрессии + анализ функций для оптимизации) и арифметикой (счёт в столбик). У этой задачи всего три типа:
1) Вклады (самая простая, на реальном ЕГЭ такое уже не увидишь)
2) Кредиты (самый частый и стандартный прототип, сейчас в основном будем обсуждать его)
3) Оптимизация (вообще задача на анализ функций - как правило, через производную. СИЛЬНО отличается от предыдущих вариантов, но зато в ней меньше счёта).
Её, наверное, затрагивать сейчас не будем, а поговорим про кредиты. Суть простая: вы берёте у банка кредит размером S рублей с процентной ставкой p% на N периодов (лет, месяцев, неважно).
Всегда помните про сложные проценты! Например, если величина x увеличилась на 5%, то она стала равна 1,05x (процент = одна сотая величины).
Схема решения проста и понятна: заполняем таблицу, потом думаем.

Начальный долг || Долг с процентами ИЛИ сами проценты || Платёж || Конечный долг

Главное - не путайте долг с процентами и сами проценты.. Проверяйте себя на здравый смысл: например, конечный долг в n-ом периоде, очевидно, равен начальному долгу в (n+1)-ом.
В кредитах также существует три основных подтипа задач:
• Аннуитентные платежи
Платежи каждый раз одинаковые. Тогда общая сумма выплат просто равна величине одной выплаты, умноженной на количество периодов, и эта информация вам точно пригодится, как и умение работать с геометрической прогрессией.
• Дифференцированные платежи
Долг уменьшается равномерно (на одну и ту же величину) => платежи разные, но при фиксированной ставке образуют арифметическую прогрессию.
• Смешанные платежи (например, M периодов аннуитентный, потом N периодов дифференцированный)
В общем, может быть просто композиция этих двух платежей, может быть какое-то мудрёное условие, над которым нужно чуть дольше подумать, но в остальном всё аналогично.
Самое главное здесь - быть предельно внимательным: следите за единицами измерения, за корректностью формул, за арифметикой, в конце концов - одна неправильно написанная циферка может убить оба ваших балла за задачу при правильном ходе решения.
P.S. Задач на этот раз не будет, всё равно их никто не смотрит, да и громоздко получится.
#уроки@mathbotva

📝 ПЛАНИМЕТРИЯ
Планиметрия - это задание с, безусловно, самым большим объёмом теории, а значит, и самым большим объёмом практики из всех заданий ЕГЭ (да, есть параметр, но там теории достаточно мало, скорее общая математическая культура, а здесь теория вполне определена и её вполне можно и нужно усваивать).
Но простого знания формул и теорем недостаточно - необходимо уметь видеть конструкции, делать доп. построения, связывать факты друг с другом и - самое важное - уметь аргументировать свои действия и выстраивать логическую цепочку, ведь первый пункт номера как раз на доказательство.
Что железобетонно нужно знать из основ, помимо основных понятий, определений и аксиом:
• Теоремы: Пифагора, синусов, косинусов, Чевы, Менелая, Фалеса, о вписанных и центральных углах, о касательной и секущей, о свойстве биссектрисы, о медианах, высотах, замечательных точках треугольника
• Свойства: параллелограмма, трапеции, вписанной и описанной окружностей
• Формулы: площадей (треугольник, четырёхугольник, круг), радиусов вписанной и описанной окружностей (в треугольнике, в правильных многоугольниках)
Если не помните хотя бы что-то из этого - нужно срочно повторять и запоминать, причём не просто заучивая, а хотя бы пытаясь понять доказательство и уловить идею.
А что по основным приёмам? Их, конечно, очень много, но если очень укрупнить, то точно желательно уметь:
• Видеть все указанные теоремы, равенство, подобие и т.д.
• Метод площадей: часто площадь полезно выражать разными способами, связывая таким образом разные величины между собой
• Метод координат: специфичный метод, использующий вектора и скалярные произведения, который может быть полезен в некоторых случаях
• Дополнительные построения
Здесь уже открывается бесконечномерное пространство для творчества, но попробуем выделить самые типовые:
- удвоение медианы треугольника (достроение до параллелограмма)
- проведение радиуса в точку касания
- продолжение боковых сторон трапеции (достроение до треугольника)
- построение окружности (там, где её нет явно, но есть, например, равные углы, которые станут вписанными на одну дугу)
Однажды я, повторяя и изучая теорию планиметрии, написал себе своеобразную методичку со всей школьной геометрией - желающие, если вдруг такие есть, могут постучаться в лс, поделюсь.
#уроки@mathbotva

📝 СТЕРЕОМЕТРИЯ
В прошлый раз мы немного поговорили про плоскую геометрию - что ж, пора выходить в пространство! 14-ый номер ЕГЭ так же состоит из двух пунктов: а) на доказательство и б) на вычисление, и требует кратно меньшего объёма теории, чем планик, но не меньшего объёма практики, поскольку здесь очень желательно иметь пространственное мышление. Вообще, если укрупнить, то существуют два глобальных метода решения: классика и координаты. Тут нужно поподробнее.
1) КЛАССИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Для этого нужно хорошо уметь оперировать теоремами, иметь пространственное мышление, строить сечения, знать плоскую геометрию многоугольников (вообще по-хорошему это нужно знать в любом случае). Сечения обычно строятся либо через метод следов (пересечения прямых и плоскостей), либо через параллельные переносы (параллельные плоскости), либо совмещением обоих методов. Для нахождения расстояний часто пригождается метод объёмов, а для поиска углов между плоскостями - метод площадей (снова любимый подсчёт двумя способами).
2) МЕТОД КООРДИНАТ
Если исследуемый многогранник условно "хороший" (например, куб, прямоугольный параллелепипед или правильная призма), то может быть проще ввести систему координат и считать всё в векторах по стандартным формулам (углы - через скалярное произведение, расстояние от точки до плоскости - просто по формуле, хотя хорошо бы знать, как она выводится)
Какой бы метод вы не применяли, в итоге задача сведётся к плоской, и здесь понадобятся знания из планиметрии, но скорее всего это будут самые базовые теоремы Пифагора, синусов-косинусов, Чевы-Менелая и т.д.
Лично я всегда решал классикой, никогда не применяя координаты в реальных задачах - и, наверное, зря.
В общем и целом это не самая простая задача, но она стоит своих 3 баллов.
#уроки@mathbotva

Ну что, доигрались? Завтра первый экз?)
Что ж, запасайтесь ручками, шоколадом, валерьянкой, если надо.. Примите свой уровень, какой он есть на данный момент, поблагодарите себя за то, что было сделано, вспомните прошлогодний пост и верьте в себя, наконец. У вас всё получится!🍀

📝 ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
Что ж, заключительный пост по разбору заданий второй части (про параметр можно почитать здесь). Поговорим про теорию чисел: что это такое и с чем её едят.
Итак, это самое дорогое, так называемое "олимпиадное" (в целом какой-то запах олимпиад в нём есть, но на самом деле это просто задача на общее мышление и математическую культуру) задание ЕГЭ наравне с параметром, стоящее 4 балла и имеющее целых три пункта. В первых двух зачастую нужно построить какую-то конструкцию или доказать, почему её не существует, в последнем - провести анализ, дать точную оценку и т.д.
КАК ПРАВИЛО, в пункте А) нужно привести пример, в пункте Б) что-то доказать (обычно невозможность выполнения условия), а в пункте В) привести оценку+пример.
Самый основной навык в этой задаче - знание признаков делимости (их мы тоже разбирали) и владение арифметикой остатков в целом; также часто нужны свойства арифметических/геометрических прогрессий.
Что такое оценка+пример? Здесь вы должны какими-то математическими рассуждениями ограничить искомую величину сверху или снизу в зависимости от вопроса, а затем показать, что ваша оценка справедлива (привести пример, когда она выполняется). В общем и целом эти два действия осмысливаются параллельно, так как самый первый шаг к оценке - "пощупать" задачу, поперебирать разные примеры, краевые ситуации.
Кроме того, в задаче может потребоваться исследование какого-то процесса - здесь нужно уметь видеть инварианты и полуинварианты (величины, не меняющиеся в течение какого-то процесса или меняющиеся предсказуемым образом по какому-то закону). Также вам, скорее всего, пригодится навык работы с уравнениями в целых числах (они же диофантовы).
Итак, подытожим основные темы и идеи:
• делимость и арифметика остатков!
• арифм./геом. прогрессии
• диофантовы уравнения
• процессы и инварианты
В общем и целом эта задача проверяет умение мыслить не совсем шаблонно, выдвигать гипотезы, проводить рассуждения. Теории в этой задаче совсем мало, ибо тут особенно важен опыт и ваша математическая интуиция.
#уроки@mathbotva

#майндсет
Удачи завтра (то есть уже сегодня) на матеше, боец! Ты вот точно справишься, я вижу