Господамы, а как у вас сейчас с егэшкой дела обстоят? Или тут уже все студенты из выживших
Общий вопрос - в целом как с настроем?

Итак, страшный и ужасный ЕГЭ всё ближе, а значит, нужно принимать какие-то меры. На это время я учащу выход постов до еженедельных (каждое воскресенье - немного инфы про какой-то номер из второй части, должны успеть потрогать все или почти все). Кроме того, к ним будут задачи для повторения/закрепления и тренировки (альтернатива задаче дня, которую вряд ли удастся возродить). Начнём с первого номера из второй части - уравнения, почти всегда тригонометрического.

К этому посту предлагаю ряд задач для тренировки:
1) sin3x + sin5x = sin4x
2) sin²x - 3sinxcosx + 2cos²x = 0
3) cos3x + cosx = 0
4) sin³x + cos³x = 1
5) sinx + cosx = √2/2
6) √3sinx + cosx = 1
7) sinx + cosx + sin2x = 1
Вопросы задавать можно и нужно, если таковые имеются.
Ответы/решения присылайте в комментариях ПОД СПОЙЛЕРОМ!!!
#задачки@mathbotva

📝 ПРИЁМЫ В НЕРАВЕНСТВАХ
15 номер ЕГЭ, наряду с 13 и 16, является базовой составляющей так называемого "джентльменского набора" - задач, которые стоят 2 балла, наиболее просты для понимания и фактически являются фундаментом для некоторых других задач.
Итак, что же о неравенствах? В первую очередь, нужно владеть всей базовой алгеброй, упомянутой в предыдущем посте (ключевое - разложение на множители со сведением к методу интервалов, ведь это единственный способ, которым мы умеем решать неравенства).
Кратко напомню, в чём заключается метод интервалов:
• приводим выражение к виду f(x) = 0
• раскладываем функцию на множители и находим её нули, не забываем про область определения
• отмечаем корни на числовой прямой (можно тупо подстановкой для каждого интервала; можно подставить одну точку, а далее около нечётных* корней будет чередование, а около чётных* - повтор знака)
• записываем ответ с учётом строгости знака (включаем / не включаем корни)
Но что, если в выражениях не просто дроби и многочлены, а целая куча логарифмов и степенных функций? Тут на помощь приходит метод рационализации, который я уже подробно разбирал (если в двух словах, то это просто хитрое использование монотонности функций для упрощения выражения и перехода от иррационального к рациональному). Например, aᵇ - aᶜ ⇔ (a-1)(b-c)
*здесь под чётностью и нечётностью подразумевается корень чётной / корень нечётной степени
В общем и целом, у неравенств не так много особых методов - всё строится на базовом мат. аппарате, которым вы должны овладеть.
#уроки@mathbotva

Задачи к неравенствам:
1) x⁴-4x³-2x²+12x+9 ≤ 0
2) (x²-3x+2) / (x²-4x+3) ≥ (x²-5x+6) / (x²-6x+8)
3) logₓ₊₁(x²-3x+2) ≥ 1
4) 3^(x²-2x)-3^(x+4) ≥ 0

С Праздником, дамы и господа!
В наших силах только чтить и помнить всегда

📝 ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА
Здесь даже писать "приёмы" бессмысленно, потому что их нет. Вся суть задачи основана на здравом смысле, владении алгеброй (арифметические/геометрические прогрессии + анализ функций для оптимизации) и арифметикой (счёт в столбик). У этой задачи всего три типа:
1) Вклады (самая простая, на реальном ЕГЭ такое уже не увидишь)
2) Кредиты (самый частый и стандартный прототип, сейчас в основном будем обсуждать его)
3) Оптимизация (вообще задача на анализ функций - как правило, через производную. СИЛЬНО отличается от предыдущих вариантов, но зато в ней меньше счёта).
Её, наверное, затрагивать сейчас не будем, а поговорим про кредиты. Суть простая: вы берёте у банка кредит размером S рублей с процентной ставкой p% на N периодов (лет, месяцев, неважно).
Всегда помните про сложные проценты! Например, если величина x увеличилась на 5%, то она стала равна 1,05x (процент = одна сотая величины).
Схема решения проста и понятна: заполняем таблицу, потом думаем.

Начальный долг || Долг с процентами ИЛИ сами проценты || Платёж || Конечный долг

Главное - не путайте долг с процентами и сами проценты.. Проверяйте себя на здравый смысл: например, конечный долг в n-ом периоде, очевидно, равен начальному долгу в (n+1)-ом.
В кредитах также существует три основных подтипа задач:
• Аннуитентные платежи
Платежи каждый раз одинаковые. Тогда общая сумма выплат просто равна величине одной выплаты, умноженной на количество периодов, и эта информация вам точно пригодится, как и умение работать с геометрической прогрессией.
• Дифференцированные платежи
Долг уменьшается равномерно (на одну и ту же величину) => платежи разные, но при фиксированной ставке образуют арифметическую прогрессию.
• Смешанные платежи (например, M периодов аннуитентный, потом N периодов дифференцированный)
В общем, может быть просто композиция этих двух платежей, может быть какое-то мудрёное условие, над которым нужно чуть дольше подумать, но в остальном всё аналогично.
Самое главное здесь - быть предельно внимательным: следите за единицами измерения, за корректностью формул, за арифметикой, в конце концов - одна неправильно написанная циферка может убить оба ваших балла за задачу при правильном ходе решения.
P.S. Задач на этот раз не будет, всё равно их никто не смотрит, да и громоздко получится.
#уроки@mathbotva

📝 ПЛАНИМЕТРИЯ
Планиметрия - это задание с, безусловно, самым большим объёмом теории, а значит, и самым большим объёмом практики из всех заданий ЕГЭ (да, есть параметр, но там теории достаточно мало, скорее общая математическая культура, а здесь теория вполне определена и её вполне можно и нужно усваивать).
Но простого знания формул и теорем недостаточно - необходимо уметь видеть конструкции, делать доп. построения, связывать факты друг с другом и - самое важное - уметь аргументировать свои действия и выстраивать логическую цепочку, ведь первый пункт номера как раз на доказательство.
Что железобетонно нужно знать из основ, помимо основных понятий, определений и аксиом:
• Теоремы: Пифагора, синусов, косинусов, Чевы, Менелая, Фалеса, о вписанных и центральных углах, о касательной и секущей, о свойстве биссектрисы, о медианах, высотах, замечательных точках треугольника
• Свойства: параллелограмма, трапеции, вписанной и описанной окружностей
• Формулы: площадей (треугольник, четырёхугольник, круг), радиусов вписанной и описанной окружностей (в треугольнике, в правильных многоугольниках)
Если не помните хотя бы что-то из этого - нужно срочно повторять и запоминать, причём не просто заучивая, а хотя бы пытаясь понять доказательство и уловить идею.
А что по основным приёмам? Их, конечно, очень много, но если очень укрупнить, то точно желательно уметь:
• Видеть все указанные теоремы, равенство, подобие и т.д.
• Метод площадей: часто площадь полезно выражать разными способами, связывая таким образом разные величины между собой
• Метод координат: специфичный метод, использующий вектора и скалярные произведения, который может быть полезен в некоторых случаях
• Дополнительные построения
Здесь уже открывается бесконечномерное пространство для творчества, но попробуем выделить самые типовые:
- удвоение медианы треугольника (достроение до параллелограмма)
- проведение радиуса в точку касания
- продолжение боковых сторон трапеции (достроение до треугольника)
- построение окружности (там, где её нет явно, но есть, например, равные углы, которые станут вписанными на одну дугу)
Однажды я, повторяя и изучая теорию планиметрии, написал себе своеобразную методичку со всей школьной геометрией - желающие, если вдруг такие есть, могут постучаться в лс, поделюсь.
#уроки@mathbotva

📝 СТЕРЕОМЕТРИЯ
В прошлый раз мы немного поговорили про плоскую геометрию - что ж, пора выходить в пространство! 14-ый номер ЕГЭ так же состоит из двух пунктов: а) на доказательство и б) на вычисление, и требует кратно меньшего объёма теории, чем планик, но не меньшего объёма практики, поскольку здесь очень желательно иметь пространственное мышление. Вообще, если укрупнить, то существуют два глобальных метода решения: классика и координаты. Тут нужно поподробнее.
1) КЛАССИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Для этого нужно хорошо уметь оперировать теоремами, иметь пространственное мышление, строить сечения, знать плоскую геометрию многоугольников (вообще по-хорошему это нужно знать в любом случае). Сечения обычно строятся либо через метод следов (пересечения прямых и плоскостей), либо через параллельные переносы (параллельные плоскости), либо совмещением обоих методов. Для нахождения расстояний часто пригождается метод объёмов, а для поиска углов между плоскостями - метод площадей (снова любимый подсчёт двумя способами).
2) МЕТОД КООРДИНАТ
Если исследуемый многогранник условно "хороший" (например, куб, прямоугольный параллелепипед или правильная призма), то может быть проще ввести систему координат и считать всё в векторах по стандартным формулам (углы - через скалярное произведение, расстояние от точки до плоскости - просто по формуле, хотя хорошо бы знать, как она выводится)
Какой бы метод вы не применяли, в итоге задача сведётся к плоской, и здесь понадобятся знания из планиметрии, но скорее всего это будут самые базовые теоремы Пифагора, синусов-косинусов, Чевы-Менелая и т.д.
Лично я всегда решал классикой, никогда не применяя координаты в реальных задачах - и, наверное, зря.
В общем и целом это не самая простая задача, но она стоит своих 3 баллов.
#уроки@mathbotva