📝 НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ
Сегодня заглянем в тоже достаточно интересную тему - геометрии, не опирающиеся на так называемый пятый постулат Евклида, говорящий о том, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Это совсем не очевидная аксиома, просто принимаемая на веру, и люди веками и даже тысячелетиями пытались её доказать. Очевидно, самый логичный метод - доказательство от противного: отрицаем исходное суждение и выводим из него противоречие, значит, суждение верно. Но при отрицании аксиомы Евклида никаких противоречий не возникло..
Так появилась геометрия Лобачевского, основывающаяся на том, что через точку, не лежащую на прямой, можно провести более одной параллельной ей прямой. Поначалу кажется удивительной дикостью, но стоит вспомнить про кривизну пространства. Оказывается, что евклидова геометрия справедлива применительно к поверхностям с нулевой кривизной - то, что мы чаще всего видим и представляем в нашей жизни (ровные поверхности: стена, пол, лист бумаги и т.д.) Но ведь этим всё не ограничивается! Геометрия Лобачевского отлично работает в пространстве с отрицательной кривизной (так называемых "седловидных" поверхностях). Здесь, например, сумма углов треугольника меньше 180°, длина окружности растёт быстрее радиуса и т.д.
Чуть проще будет представить геометрию Римана (как нетрудно догадаться, для поверхностей с положительной кривизной, ведь в частном случае это ничто иное, как сфера), гласящую, что параллельных прямых вообще нет и любые две прямые пересекаются. Если вы возьмёте глобус и попробуете найти там две непересекающиеся прямые, то вас ждёт неудача.
Всё это перестало быть простой абстракцией благодаря общей теории относительности и идее искривления пространства-времени: например, вблизи очень массивных объектов геометрия становится римановой.
Таким образом чистый исследовательский интерес привёл людей к великим открытиям, которые применяются в реальности и вновь показывают многогранность столь, казалось бы, абстрактной науки, на языке которой в то же время написан наш мир.
#уроки@mathbotva
Сегодня заглянем в тоже достаточно интересную тему - геометрии, не опирающиеся на так называемый пятый постулат Евклида, говорящий о том, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Это совсем не очевидная аксиома, просто принимаемая на веру, и люди веками и даже тысячелетиями пытались её доказать. Очевидно, самый логичный метод - доказательство от противного: отрицаем исходное суждение и выводим из него противоречие, значит, суждение верно. Но при отрицании аксиомы Евклида никаких противоречий не возникло..
Так появилась геометрия Лобачевского, основывающаяся на том, что через точку, не лежащую на прямой, можно провести более одной параллельной ей прямой. Поначалу кажется удивительной дикостью, но стоит вспомнить про кривизну пространства. Оказывается, что евклидова геометрия справедлива применительно к поверхностям с нулевой кривизной - то, что мы чаще всего видим и представляем в нашей жизни (ровные поверхности: стена, пол, лист бумаги и т.д.) Но ведь этим всё не ограничивается! Геометрия Лобачевского отлично работает в пространстве с отрицательной кривизной (так называемых "седловидных" поверхностях). Здесь, например, сумма углов треугольника меньше 180°, длина окружности растёт быстрее радиуса и т.д.
Чуть проще будет представить геометрию Римана (как нетрудно догадаться, для поверхностей с положительной кривизной, ведь в частном случае это ничто иное, как сфера), гласящую, что параллельных прямых вообще нет и любые две прямые пересекаются. Если вы возьмёте глобус и попробуете найти там две непересекающиеся прямые, то вас ждёт неудача.
Всё это перестало быть простой абстракцией благодаря общей теории относительности и идее искривления пространства-времени: например, вблизи очень массивных объектов геометрия становится римановой.
Таким образом чистый исследовательский интерес привёл людей к великим открытиям, которые применяются в реальности и вновь показывают многогранность столь, казалось бы, абстрактной науки, на языке которой в то же время написан наш мир.
#уроки@mathbotva
❤🔥9🔥1🥰1👏1
📝 СВОЙСТВА БИССЕКТРИСЫ
Тема может звучать смешно, но что-то совсем давненько у нас не было школьной планиметрии, почему бы и не освежить память?
Итак, биссектриса треугольника - это луч, соединяющий его вершину с противоположной стороной и при этом делящий угол пополам.
1) Все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке - это его инцентр (центр вписанной окружности).
Доказательство оставим пытливому читателю :)
2) Все точки биссектрисы равноудалены от сторон угла, из которого она выходит.
Это свойство-признак, работающее в обе стороны - достаточно популярная конструкция с дельтоидом и вписанной окружностью.
Напрямую: имеем прямоугольные треугольники с двумя равными углами и стороной => треугольники равны => расстояния до сторон равны.
В обратную сторону: достраиваем окружность на перпендикулярах как на радиусах, получаем, что стороны треугольника являются касательными => отрезки касательных равны => треугольники равны => биссектриса.
3) Свойство биссектрисы
Вообще у любых треугольников с общей стороной общей является также одна из высот, так что бывает полезно подумать про площадь - копаем в эту сторону. Пусть в треугольнике ABC из угла А проведена биссектриса AD и высота AH. Тогда S(ABD) = AH•BD/2; S(ACD) = AH•CD/2 => S(ABD)/S(ACD) = BD/CD. Ух ты, это уже одна из частей нашего равенства) Теперь заходим с другой стороны: как мы можем использовать равенство углов, желательно вновь приводя всё к отношению площадей? Очень просто, ведь мы знаем формулу площади треугольника через полупроизведение сторон на синус угла между ними! S(ABD) = AB•AD•sinα/2; S(ACD) = AC•AD•sinα/2 => S(ABD)/S(ACD) = AB/AC. Итого получили, что BD/CD = S(ABD)/S(ACD) = AB/AC, ч.т.д.
#уроки@mathbotva
Тема может звучать смешно, но что-то совсем давненько у нас не было школьной планиметрии, почему бы и не освежить память?
Итак, биссектриса треугольника - это луч, соединяющий его вершину с противоположной стороной и при этом делящий угол пополам.
1) Все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке - это его инцентр (центр вписанной окружности).
Доказательство оставим пытливому читателю :)
2) Все точки биссектрисы равноудалены от сторон угла, из которого она выходит.
Это свойство-признак, работающее в обе стороны - достаточно популярная конструкция с дельтоидом и вписанной окружностью.
Напрямую: имеем прямоугольные треугольники с двумя равными углами и стороной => треугольники равны => расстояния до сторон равны.
В обратную сторону: достраиваем окружность на перпендикулярах как на радиусах, получаем, что стороны треугольника являются касательными => отрезки касательных равны => треугольники равны => биссектриса.
3) Свойство биссектрисы
Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим его сторонам (на картинке AB/AC=BD/CD).
Вообще у любых треугольников с общей стороной общей является также одна из высот, так что бывает полезно подумать про площадь - копаем в эту сторону. Пусть в треугольнике ABC из угла А проведена биссектриса AD и высота AH. Тогда S(ABD) = AH•BD/2; S(ACD) = AH•CD/2 => S(ABD)/S(ACD) = BD/CD. Ух ты, это уже одна из частей нашего равенства) Теперь заходим с другой стороны: как мы можем использовать равенство углов, желательно вновь приводя всё к отношению площадей? Очень просто, ведь мы знаем формулу площади треугольника через полупроизведение сторон на синус угла между ними! S(ABD) = AB•AD•sinα/2; S(ACD) = AC•AD•sinα/2 => S(ABD)/S(ACD) = AB/AC. Итого получили, что BD/CD = S(ABD)/S(ACD) = AB/AC, ч.т.д.
#уроки@mathbotva
❤🔥8❤2
Господамы, а как у вас сейчас с егэшкой дела обстоят? Или тут уже все студенты из выживших
Общий вопрос - в целом как с настроем?
Общий вопрос - в целом как с настроем?
❤8🙏2❤🔥1🔥1
Итак, страшный и ужасный ЕГЭ всё ближе, а значит, нужно принимать какие-то меры. На это время я учащу выход постов до еженедельных (каждое воскресенье - немного инфы про какой-то номер из второй части, должны успеть потрогать все или почти все). Кроме того, к ним будут задачи для повторения/закрепления и тренировки (альтернатива задаче дня, которую вряд ли удастся возродить). Начнём с первого номера из второй части - уравнения, почти всегда тригонометрического.
🔥5❤🔥2🎉2❤1
📝 ПРИЁМЫ В ТРИГОНОМЕТРИИ
Стабильно решать уравнения в 13 номере ЕГЭ должен каждый, кто планирует набрать 60+ баллов, а этого, я думаю, хотят многие. Давайте вспомним кратко (или узнаем), что может помочь в решении этой задачи:
🔠 ТРИВИАЛЬНЫЕ
Навыки стандартных алгебраических преобразований и виртуозное понимание всех основных формул (напоминаю). Сюда входят:
• группировка и вынесение общих множителей
• решение квадратных, кубических, однородных уравнений
• разложение на множители (Безу, Виет)
• распознавание формул (как базовых типа синуса суммы, так и специфических - например, тройной угол)
• работа с ОДЗ
* метод оценок (со звёздочкой, поскольку на ЕГЭ такого почти точно не будет, но для олимпиад знать обязательно)
Например, в выражении sin3x+sin5x-sin4x нужно сходу видеть вынесение sin4x за скобку, в уравнении sin³2x - 5/4sin²2x - 1/8sin2x + 3/8 = 0 угадать корень 1 и разложить на множители, при работе с √tgx не забыть про то, что мы живём только в I и III четвертях, и так далее.
🔠 ПРОДВИНУТЫЕ
Это уже, вероятнее всего, базовый олимпиадный уровень. Если вы заглядываетесь на БВИ или хотите прокачать своё понимание царицы наук - тогда для вас это обязательно. К тому же на пробниках иногда могут попадаться крепкие орешки
• Универсальная тригонометрическая подстановка
Она тоже есть в материалах, но не является такой банальной и часто используемой. Вообще она эффективнее всего используется при интегрировании, но может принести пользу и при решении обычных тригонометрических уравнений.
• Метод вспомогательного угла
Уравнение вида asinx+bcosx=c при условии |c|≤ √a²+b² можно решить так: √a²+b²•sin(x+φ)=c, где sinφ = b / √a²+b², cosφ = a / √a²+b². Мы просто подбираем такой угол φ, чтобы выражение можно было сложить по формуле синуса суммы (или, например, косинуса разности, неважно). Будьте готовы к тому, что сам φ может получиться уродским.
• «Жонглирование» ОТТ
Можно прочувствовать только на опыте, но, например, неплохо бы знать (sinx+cosx)² = 1+sin2x (ещё менее очевидно в обратную сторону). Это может помочь и при возведении (sinx+cosx) в бОльшую чётную степень.
#уроки@mathbotva
Стабильно решать уравнения в 13 номере ЕГЭ должен каждый, кто планирует набрать 60+ баллов, а этого, я думаю, хотят многие. Давайте вспомним кратко (или узнаем), что может помочь в решении этой задачи:
Навыки стандартных алгебраических преобразований и виртуозное понимание всех основных формул (напоминаю). Сюда входят:
• группировка и вынесение общих множителей
• решение квадратных, кубических, однородных уравнений
• разложение на множители (Безу, Виет)
• распознавание формул (как базовых типа синуса суммы, так и специфических - например, тройной угол)
• работа с ОДЗ
* метод оценок (со звёздочкой, поскольку на ЕГЭ такого почти точно не будет, но для олимпиад знать обязательно)
Например, в выражении sin3x+sin5x-sin4x нужно сходу видеть вынесение sin4x за скобку, в уравнении sin³2x - 5/4sin²2x - 1/8sin2x + 3/8 = 0 угадать корень 1 и разложить на множители, при работе с √tgx не забыть про то, что мы живём только в I и III четвертях, и так далее.
Это уже, вероятнее всего, базовый олимпиадный уровень. Если вы заглядываетесь на БВИ или хотите прокачать своё понимание царицы наук - тогда для вас это обязательно. К тому же на пробниках иногда могут попадаться крепкие орешки
• Универсальная тригонометрическая подстановка
Она тоже есть в материалах, но не является такой банальной и часто используемой. Вообще она эффективнее всего используется при интегрировании, но может принести пользу и при решении обычных тригонометрических уравнений.
• Метод вспомогательного угла
Уравнение вида asinx+bcosx=c при условии |c|≤ √a²+b² можно решить так: √a²+b²•sin(x+φ)=c, где sinφ = b / √a²+b², cosφ = a / √a²+b². Мы просто подбираем такой угол φ, чтобы выражение можно было сложить по формуле синуса суммы (или, например, косинуса разности, неважно). Будьте готовы к тому, что сам φ может получиться уродским.
• «Жонглирование» ОТТ
Можно прочувствовать только на опыте, но, например, неплохо бы знать (sinx+cosx)² = 1+sin2x (ещё менее очевидно в обратную сторону). Это может помочь и при возведении (sinx+cosx) в бОльшую чётную степень.
#уроки@mathbotva
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
❤🔥6❤3🔥1
К этому посту предлагаю ряд задач для тренировки:
1) sin3x + sin5x = sin4x
2) sin²x - 3sinxcosx + 2cos²x = 0
3) cos3x + cosx = 0
4) sin³x + cos³x = 1
5) sinx + cosx = √2/2
6) √3sinx + cosx = 1
7) sinx + cosx + sin2x = 1
Вопросы задавать можно и нужно, если таковые имеются.
Ответы/решения присылайте в комментариях ПОД СПОЙЛЕРОМ!!!
#задачки@mathbotva
1) sin3x + sin5x = sin4x
2) sin²x - 3sinxcosx + 2cos²x = 0
3) cos3x + cosx = 0
4) sin³x + cos³x = 1
5) sinx + cosx = √2/2
6) √3sinx + cosx = 1
7) sinx + cosx + sin2x = 1
Вопросы задавать можно и нужно, если таковые имеются.
Ответы/решения присылайте в комментариях ПОД СПОЙЛЕРОМ!!!
#задачки@mathbotva
❤🔥6❤3🔥2
Я - призёр Физтеха, студент одного из лучших вузов страны (см. здесь), ныне онлайн-преподаватель на олимпиадном кружке Школково для 5-8 классов, также провожу индивидуальные занятия по математике и информатике со школьниками любых возрастов по символическому прайсу.
✅ Разбор любых школьных тем
✅ Подготовка к ОГЭ/ЕГЭ/ВПР и проч. с любого уровня до желаемого результата (тут уже вопрос времени)
🎯 Подтянем оценку, заботаем экзамен, просто поднимем интерес к царице наук, наконец! Магия индивидуального подхода: я объясню понятно и подробно столько раз, сколько нужно, чтобы понял каждый. Осторожно: однажды вы можете внезапно проснуться ночью от осознания какого-то факта
Чуть конкретнее:
• Занятия по видеосвязи на удобной вам платформе (преимущественно в телемосте) в удобное время, трансляция экрана и paint, живое взаимодействие здесь и сейчас
• Траектория подготовки, посильная помощь и поддержка помимо самих занятий, полезные материалы - всё включено!
➡️ Отзывы см. на изображениях выше
Всё ещё сомневаетесь? Консультация и первое часовое занятие бесплатно :) Первым трём записавшимся дополнительно скидка 20% на 3 занятия
По любым вопросам - добро пожаловать в лс @Vlados3k
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
❤🔥8❤5🔥2🥰1🤗1
📝 ПРИЁМЫ В НЕРАВЕНСТВАХ
15 номер ЕГЭ, наряду с 13 и 16, является базовой составляющей так называемого "джентльменского набора" - задач, которые стоят 2 балла, наиболее просты для понимания и фактически являются фундаментом для некоторых других задач.
Итак, что же о неравенствах? В первую очередь, нужно владеть всей базовой алгеброй, упомянутой в предыдущем посте (ключевое - разложение на множители со сведением к методу интервалов, ведь это единственный способ, которым мы умеем решать неравенства).
Кратко напомню, в чём заключается метод интервалов:
• приводим выражение к виду f(x) = 0
• раскладываем функцию на множители и находим её нули, не забываем про область определения
• отмечаем корни на числовой прямой (можно тупо подстановкой для каждого интервала; можно подставить одну точку, а далее около нечётных* корней будет чередование, а около чётных* - повтор знака)
• записываем ответ с учётом строгости знака (включаем / не включаем корни)
Но что, если в выражениях не просто дроби и многочлены, а целая куча логарифмов и степенных функций? Тут на помощь приходит метод рационализации, который я уже подробно разбирал (если в двух словах, то это просто хитрое использование монотонности функций для упрощения выражения и перехода от иррационального к рациональному). Например, aᵇ - aᶜ ⇔ (a-1)(b-c)
*здесь под чётностью и нечётностью подразумевается корень чётной / корень нечётной степени
В общем и целом, у неравенств не так много особых методов - всё строится на базовом мат. аппарате, которым вы должны овладеть.
#уроки@mathbotva
15 номер ЕГЭ, наряду с 13 и 16, является базовой составляющей так называемого "джентльменского набора" - задач, которые стоят 2 балла, наиболее просты для понимания и фактически являются фундаментом для некоторых других задач.
Итак, что же о неравенствах? В первую очередь, нужно владеть всей базовой алгеброй, упомянутой в предыдущем посте (ключевое - разложение на множители со сведением к методу интервалов, ведь это единственный способ, которым мы умеем решать неравенства).
Кратко напомню, в чём заключается метод интервалов:
• приводим выражение к виду f(x) = 0
• раскладываем функцию на множители и находим её нули, не забываем про область определения
• отмечаем корни на числовой прямой (можно тупо подстановкой для каждого интервала; можно подставить одну точку, а далее около нечётных* корней будет чередование, а около чётных* - повтор знака)
• записываем ответ с учётом строгости знака (включаем / не включаем корни)
Но что, если в выражениях не просто дроби и многочлены, а целая куча логарифмов и степенных функций? Тут на помощь приходит метод рационализации, который я уже подробно разбирал (если в двух словах, то это просто хитрое использование монотонности функций для упрощения выражения и перехода от иррационального к рациональному). Например, aᵇ - aᶜ ⇔ (a-1)(b-c)
*здесь под чётностью и нечётностью подразумевается корень чётной / корень нечётной степени
В общем и целом, у неравенств не так много особых методов - всё строится на базовом мат. аппарате, которым вы должны овладеть.
#уроки@mathbotva
❤🔥4❤2🔥1
Задачи к неравенствам:
1) x⁴-4x³-2x²+12x+9 ≤ 0
2) (x²-3x+2) / (x²-4x+3) ≥ (x²-5x+6) / (x²-6x+8)
3) logₓ₊₁(x²-3x+2) ≥ 1
4) 3^(x²-2x)-3^(x+4) ≥ 0
1) x⁴-4x³-2x²+12x+9 ≤ 0
2) (x²-3x+2) / (x²-4x+3) ≥ (x²-5x+6) / (x²-6x+8)
3) logₓ₊₁(x²-3x+2) ≥ 1
4) 3^(x²-2x)-3^(x+4) ≥ 0
❤🔥6🔥1