📝 ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
Просили геометрию? Держите. Возможно, кто-то знает, но не уверен, что все поголовно: самое базовое и классическое доказательство теоремы Пифагора.
Возьмём прямоугольный треугольник с катетами a,b и гипотенузой c и трижды повернём его на 90 градусов. Получили большой квадрат со стороной a+b и внутри него, в общем-то, ещё один квадрат, но стоит обосновать это строго (под спойлером доказательство, в теории его можно пропустить, но не рекомендую):
Все стороны данного четырёхугольника образованы гипотенузами исходного треугольника, а значит, равны между собой, то есть перед нами как минимум ромб. Из суммы углов треугольника углы 1 и 2 (см. изображение) в сумме дают 90°, а из равенства треугольников получаем равенство углов 2 и 3 как соответственных элементов. Значит, ∠1+∠3 = 90°, но эти два угла в сумме с углом нашего четырёхугольника образуют развёрнутый угол (180°), а значит, этот угол равен 90°. Получили, что в нашем ромбе (см.выше) один из углов прямой, а значит, это квадрат.
Имеем квадрат со стороной c (его площадь равна c²). Площадь четырёх одинаковых прямоугольных треугольников равна 4*(ab/2) = 2ab.
ab/2 - формула площади прямоугольного треугольника через катеты (их полупроизведение)

Теперь берём тот же квадрат со стороной a+b, но теперь разрезаем его на четыре части так, как показано на иллюстрации. Получаем, что исходный квадрат состоит из квадрата со стороной а (S = a²), квадрата со стороной b (S = b²) и двух прямоугольников со сторонами a и b (S = ab). К слову, вам это уже знакомо из доказательства квадрата суммы, см. здесь.
Проанализируем полученное. Очевидно, что одинаковые квадраты имеют одинаковую площадь. Слева из такого квадрата мы вырезали квадрат площадью c² и треугольники с суммарной площадью 2ab:

Sкв = c² + 2ab

А справа - два квадрата с площадями a² и b² соответственно, а также два прямоугольника с суммарной площадью 2ab.

Sкв = a² + b² + 2ab

Приравниваем правые части:

c² + 2ab = a² + b² + 2ab

Погодите-ка, и там и там 2ab, а это значит, что и суммарные площади остальных элементов равны между собой (на языке алгебры - вычтем из обоих частей 2ab). Получили желаемое:

c² = a² + b²

Q.E.D.
#уроки@mathbotva

Справочник по стереометрии (Школково)
#материалы

Неравенства (Математик МГУ)
#материалы

Теория по аналитике в параметрах (Школково)
#материалы

Мини-шпора по стереометрии (Школково)
#материалы

📝 ТРИГОНОМЕТРИЯ. ЧАСТЬ 1: ВВЕДЕНИЕ
По запросам из чата поговорим о тригонометрии. То, что тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике равны всяким отношениям сторон - банально. Углы ведь бывают не только острые и в прямоугольных треугольниках, верно? Хотелось бы считать их для произвольных углов. Оказалось, что очень удобно определять их на координатной плоскости по окружности радиуса 1 (единичная окружность) с центром в начале координат. Действительно, давайте возьмём на ней произвольную точку (назовём её А; см. рисунок выше) и соединим с центром окружности (О), а также опустим из неё перпендикуляр (с основанием В) на ось абсцисс. Угол, который образует прямая OA с положительным направлением оси абсцисс, и назовём нужным нам углом α. Получили прямоугольный треугольник OBA с острым углом α и гипотенузой длины 1. Посчитаем в нём заветные тригонометрические функции по определению, например: sin α = AB/OA = AB, т.к. ОА=1. Хм, а что же такое AB? Мысленно переносим этот отрезок на координатную ось и понимаем, что в терминах координат это на самом деле ордината точки А! Аналогично ищем cos α = OB/OA = OB. То, что OB - абсцисса точки А, видно сразу. Получили, что координаты точки A - это (cos α; sin α), и это справедливо для любого такого угла на окружности. Выходит, что координатные оси x и у для тригонометрической окружности можно называть cos α и sin α соответственно.
Итак, фактически мы вывели новое определение синуса и косинуса, причём для любых углов, и тупых в том числе - это координаты точки пересечения стороны угла с тригонометрической окружностью. Не забыли про тангенс и котангенс? Их оси тут тоже есть, но они чуть более неординарны и сейчас мы умышленно их проигнорируем.
В ближайшее время буду развивать тему.
#уроки@mathbotva

Ну, допустим. Метод хОа в параметрах (Школково)
#материалы

Ну.. Пойдёт. Даже блин отсидев половину времени, мог сделать 7/10 и прошёл бы, но внимательность🤡🤡🤡

Сегодня вместо теории подборка примеров с параметрами (кто их вообще будет решать?)
#материалы

📝 ТРИГОНОМЕТРИЯ. ЧАСТЬ 2: РАДИАНЫ
Наконец продолжаем тему тригонометрии, но сегодня сделаем небольшое лирическое отступление: поговорим о радианах и с чем их едят.
Для начала вспомним, что градусная мера дуги окружности равна градусной мере центрального угла, опирающегося на эту дугу. Проще говоря, мы меряем дуги через центральные углы (из этого очевидно следует, что полный оборот по окружности равен 360 градусам). Однако измерять все углы в градусах далеко не всегда удобно - это полностью выдуманная человеком единица измерения. С окружностью неразрывно связано число пи - отношение длины любой окружности к её диаметру. Так может быть, существует более удобный способ выражения углов, использующий эту константу?
1 радиан равен градусной мере центрального угла, опирающегося на дугу, длина которой равна радиусу окружности (см. изображение выше). Как мы знаем, длина окружности равна 2πR, где R - её радиус. Отсюда следует, что в окружности поместится 2π радиусов, а в нашем случае - 2π таких дуг. Выходит, что по нашему определению полная окружность может измеряться как 2π радиан. 360° = 2π рад. ⇔ 180° = π рад. Из этого так же следует формула перевода из градусов в радианы: α° = α•π/180 рад. Особо внимательные могли заметить, что по сути радианы ни в чём не измеряются, и это верно: радианы - безразмерная математическая величина.
Ура, теперь у нас есть намного более удобная единица измерения углов! В дальнейшем будем опираться на эти знания.
#уроки@mathbotva

Математик МГУ, вся первая часть профмата кратко
Сходил блин на этот ваш шэ, 6/8, теперь походу на муницип топать придётся
#материалы

Графики (Математик МГУ)
#материалы

📝 ТРИГОНОМЕТРИЯ. ЧАСТЬ 3: ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ
Мы уже знакомы с определением синуса и косинуса на тригонометрической окружности и о специфических координатных осях в триге. Напомню, ради чего мы это делали: захотелось считать тригонометрические функции не только для острых углов в прямоугольном треугольнике, а для произвольных. Мы также теперь знаем, что полный круг составляет 360 градусов. Любой угол до 360° мы можем явно отметить на тригонометрической окружности, а что делать, если угол сильно больше, например, 2549°? Не страшно, для этого есть формулы приведения.
Начнём с глобально очень важного знания, что тригонометрическую окружность можно представить в виде спирали: каждые 360 градусов (как по часовой стрелке, так и против) все тригонометрические функции углов повторяются. Например, cos(420°) = cos(360° + 60°) = cos(60°) = 0,5. Но ведь сделать полный оборот можно несколько раз, к примеру: tg(1485°) = tg(1440° + 45°) = tg(360°•4 + 45°) = tg(45°) = 1
Приходим к первой из формул приведения: какая бы функция не была перед нами, мы можем безболезненно удалять из её аргумента слагаемые, кратные 2пи. Чуть конкретнее:

sin(2πn+α)=sin(α) / cos(2πn+α)=cos(α) / tg(2πn+α)=tg(α) / ctg(2πn+α)=ctg(α), n∈Z

А что, если слагаемым в аргументе выступает, например, π/2; π; 3π/2? У всех таких преобразований есть набор закономерностей, а называются они формулами приведения. Не привИдения 👻, а от слова "приводить". Один из вариантов запомнить их - правило "ишака"/"лошадиной головы", называйте как хотите. Суть заключается вот в чём. Если аргументы - π/2 и 3π/2 (смотрим на тригонометрическую окружность и мысленно водим от одной точки к другой, получаем движение вверх-вниз), то лошадка кивает («да»), а функция меняется на кофункцию (тут всё просто: синус на косинус, тангенс на котангенс, косинус на синус, котангенс на тангенс). Если же в аргументе π или 2π (аналогично проводим от одной точки к другой, движение горизонтальное), то лошадка мотает головой («нет»), функция не меняется, а остаётся прежней.
Пример: sin(π/2+α). В аргументе π/2 => меняем функцию на кофункцию, синус становится косинусом, а число пи из аргумента выбрасываем. Получаем sin(π/2+α) = cos α.
Кроме того, в разных четвертях тригонометрические функции имеют разные знаки (см. изображение), и это тоже нужно учитывать. При применении всех формул приведения мы считаем наш угол "альфа" острым (кстати, пусть это вас не смущает, данный алгоритм справедлив для любых углов), а знак результата определяется по исходной функции. Например: cos(π/2+α). Косинус меняется на синус, однако угол находится во второй четверти, а в ней косинус (изначальная функция) отрицателен, а значит, ставим перед результатом минус. cos(π/2+α) = —sin(α)
Поначалу довольно тяжело всё это понять и постоянно вылезает куча глупых ошибок, но всё это поправимо, просто практика, практика и ещё раз практика.
Доказываются все эти формулы, кстати, довольно элементарно геометрически, просто прямоугольный треугольник поворачивается на 90/180/270 градусов, так что сие деяние оставлю на вас, потренируйтесь и в этом.
#уроки@mathbotva

Важное обращение именно к тебе🥺

Гигантская шпора по всей второй части от Школково
#материалы