📝 ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ
Испокон веков человечество всегда стремилось к прекрасному - живопись, архитектура, скульптура и прочие виды творчества и самовыражения. А ещё оно любило исследовать окружающий мир и находить в нём интересные закономерности. Одна из любопытных вещей объединяла форму раковины наутилуса, расположение листьев растений (филлотаксис), даже спиральные галактики... Ещё в древности это назвали "делением отрезка в крайнем и среднем отношении", в эпоху Возрождения - "Божественной пропорцией", а уже в XIX веке, что и дошло до нашего времени - золотым сечением.
Математически золотое сечение - это такая пропорция деления целого, при которой длина целого относится к длине большей части так же, как длина большей части к длине меньшей:

(a+b)/a=a/b ^ a+b=1

Обозначим эту пропорцию a/b числом Ф. Тогда Ф=1+1/Ф ⇒ Ф=(1+√5)/2≈1,618 - берём положительный корень уравнения. Даже чисто алгебраически у этого числа появляются интересные особенности - само число и обратное к нему отличаются на единицу, а корни вышеописанного уравнения (1±√5)/2 противоположны. Золотое число выражается через тригонометрические функции Ф=2cos36°, через бесконечную цепочку корней Ф=√1+√1+√1+..., через бесконечную цепную дробь Ф=1+1/(1+1/(... Ещё интереснее: если рассмотреть последовательность Фибоначчи, где первые два числа - единицы и каждое следующее число является суммой двух предыдущих (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...), то мы увидим, что отношение соседних членов стремится опять-таки к золотому числу.
Если мы построим золотой прямоугольник (с отношением сторон в золотой пропорции) и отрежем от него квадрат, то вновь получим золотой прямоугольник, и этот процесс можно продолжать бесконечно. Если потом вписать в квадраты по "четвертинке" окружности, то мы получим спираль Дюрера - достаточно точную аппроксимацию золотой спирали (см. изображение 2: зелёный - спираль Дюрера, красный - золотая спираль, жёлтый - их пересечение). Существует так же спираль Фибоначчи, построенная на квадратах с длинами, соответствующими числам Фибоначчи, но всё это разные концепции, которые являются лишь аппроксимациями золотой спирали, и не стоит их путать.
С одной стороны, золотое сечение встречается в природе, в архитектуре и искусстве, где применяется и по сей день (правило третей, метод диагоналей). С другой стороны, его важность часто переоценивают, возводя в абсолют. Это не божественное, а просто выгодное для природы и приятное для человеческого глаза число.
#уроки@mathbotva

Почему реклама антивируса выглядит как угроза🤠

📝 НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ
Сегодня заглянем в тоже достаточно интересную тему - геометрии, не опирающиеся на так называемый пятый постулат Евклида, говорящий о том, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Это совсем не очевидная аксиома, просто принимаемая на веру, и люди веками и даже тысячелетиями пытались её доказать. Очевидно, самый логичный метод - доказательство от противного: отрицаем исходное суждение и выводим из него противоречие, значит, суждение верно. Но при отрицании аксиомы Евклида никаких противоречий не возникло..
Так появилась геометрия Лобачевского, основывающаяся на том, что через точку, не лежащую на прямой, можно провести более одной параллельной ей прямой. Поначалу кажется удивительной дикостью, но стоит вспомнить про кривизну пространства. Оказывается, что евклидова геометрия справедлива применительно к поверхностям с нулевой кривизной - то, что мы чаще всего видим и представляем в нашей жизни (ровные поверхности: стена, пол, лист бумаги и т.д.) Но ведь этим всё не ограничивается! Геометрия Лобачевского отлично работает в пространстве с отрицательной кривизной (так называемых "седловидных" поверхностях). Здесь, например, сумма углов треугольника меньше 180°, длина окружности растёт быстрее радиуса и т.д.
Чуть проще будет представить геометрию Римана (как нетрудно догадаться, для поверхностей с положительной кривизной, ведь в частном случае это ничто иное, как сфера), гласящую, что параллельных прямых вообще нет и любые две прямые пересекаются. Если вы возьмёте глобус и попробуете найти там две непересекающиеся прямые, то вас ждёт неудача.
Всё это перестало быть простой абстракцией благодаря общей теории относительности и идее искривления пространства-времени: например, вблизи очень массивных объектов геометрия становится римановой.
Таким образом чистый исследовательский интерес привёл людей к великим открытиям, которые применяются в реальности и вновь показывают многогранность столь, казалось бы, абстрактной науки, на языке которой в то же время написан наш мир.
#уроки@mathbotva

Разбор досрока (Школково)
Ну да, знаю, вовремя🤡
#материалы

📝 СВОЙСТВА БИССЕКТРИСЫ
Тема может звучать смешно, но что-то совсем давненько у нас не было школьной планиметрии, почему бы и не освежить память?
Итак, биссектриса треугольника - это луч, соединяющий его вершину с противоположной стороной и при этом делящий угол пополам.
1) Все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке - это его инцентр (центр вписанной окружности).
Доказательство оставим пытливому читателю :)
2) Все точки биссектрисы равноудалены от сторон угла, из которого она выходит.
Это свойство-признак, работающее в обе стороны - достаточно популярная конструкция с дельтоидом и вписанной окружностью.
Напрямую: имеем прямоугольные треугольники с двумя равными углами и стороной => треугольники равны => расстояния до сторон равны.
В обратную сторону: достраиваем окружность на перпендикулярах как на радиусах, получаем, что стороны треугольника являются касательными => отрезки касательных равны => треугольники равны => биссектриса.
3) Свойство биссектрисы

Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим его сторонам (на картинке AB/AC=BD/CD).

Вообще у любых треугольников с общей стороной общей является также одна из высот, так что бывает полезно подумать про площадь - копаем в эту сторону. Пусть в треугольнике ABC из угла А проведена биссектриса AD и высота AH. Тогда S(ABD) = AH•BD/2; S(ACD) = AH•CD/2 => S(ABD)/S(ACD) = BD/CD. Ух ты, это уже одна из частей нашего равенства) Теперь заходим с другой стороны: как мы можем использовать равенство углов, желательно вновь приводя всё к отношению площадей? Очень просто, ведь мы знаем формулу площади треугольника через полупроизведение сторон на синус угла между ними! S(ABD) = AB•AD•sinα/2; S(ACD) = AC•AD•sinα/2 => S(ABD)/S(ACD) = AB/AC. Итого получили, что BD/CD = S(ABD)/S(ACD) = AB/AC, ч.т.д.
#уроки@mathbotva

Господамы, а как у вас сейчас с егэшкой дела обстоят? Или тут уже все студенты из выживших
Общий вопрос - в целом как с настроем?

Итак, страшный и ужасный ЕГЭ всё ближе, а значит, нужно принимать какие-то меры. На это время я учащу выход постов до еженедельных (каждое воскресенье - немного инфы про какой-то номер из второй части, должны успеть потрогать все или почти все). Кроме того, к ним будут задачи для повторения/закрепления и тренировки (альтернатива задаче дня, которую вряд ли удастся возродить). Начнём с первого номера из второй части - уравнения, почти всегда тригонометрического.