📝 ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
Интересный вопрос - а что вообще такое логика? Говоря простым языком, это наука о выведении истинных суждений из истинных. Таким образом, здесь нам интересна в первую очередь истинность входящих утверждений и их связь - на её основе мы должны однозначно делать вывод об итоговом утверждении. Это достаточно универсальная наука, которая может использоваться в любой области знания, и каждый из вас оперирует ею ежедневно если не в доказательствах в математике, то просто в бытовых рассуждениях.
Конкретно математическая логика достаточно формальна, оперирует символами и формулами. Думаю, все вы на информатике в школе изучали основы дискретки - исчисление информации, логические операции, таблицы истинности.. Это оно и есть. Но давайте на всякий случай повторим и углубимся в это чуть строже, начиная с некоторых определений.
• Высказывание - это повествовательное предложение, всегда имеющее чётко определённое значение истинности (о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно, но не одновременно). Таким образом, вопросы, восклицания, сослагательные предложения и т.д. по определению не являются высказываниями (не несут смысловой нагрузки).
Например, «После пятницы идёт воскресенье» - высказывание, пусть и неверное, а «Идёт ли после пятницы воскресенье?» - не высказывание.
• Высказывательная функция - это логическое выражение, которое становится высказыванием при подстановке конкретных значений вместо переменных.
Например, P(x) = «x - школьник» не имеет определённого значения в общем случае, но станет высказыванием, если подставить вместо икса, например, тринадцатилетнего Петю. Фактически смысл тот же, что и в математике: функция принимает какое-то значение, если подставить конкретное число вместо аргумента.
Переходим теперь к основным логическим операциям. Отрицание - унарная операция (от одной переменной), все остальные - бинарные (от двух).
• Отрицание истинно тогда и только тогда, когда переменная ложна, и наоборот (проще говоря, "переворачивает" значение).
• Конъюнкция (союз «И», логическое умножение) истинна тогда и только тогда, когда обе переменные истинны, и ложна в остальных случаях. 1^1 = 1
• Дизъюнкция (союз «ИЛИ», логическое сложение) ложна тогда и только тогда, когда обе переменные ложны, и истинна в остальных случаях. 0v0 = 0
• Импликация, состоящая из посылки и вывода, ложна тогда и только тогда, когда посылка истинна, а вывод ложен, и истинна в остальных случаях. 1→0 = 0
• Эквиваленция (эквивалентность) истинна тогда и только тогда, когда обе переменные имеют одинаковое значение истинности.
• Исключающее «ИЛИ» (сложение по модулю 2, жегалкинское сложение) истинно тогда и только тогда, когда переменные имеют разные значения истинности (фактически отрицание эквивалентности).
В следующий раз поговорим про аксиомы булевой алгебры или ну их нафиг?
#уроки@mathbotva

Два дня кошмарил детей на росатоме🌚

📝 ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ
Испокон веков человечество всегда стремилось к прекрасному - живопись, архитектура, скульптура и прочие виды творчества и самовыражения. А ещё оно любило исследовать окружающий мир и находить в нём интересные закономерности. Одна из любопытных вещей объединяла форму раковины наутилуса, расположение листьев растений (филлотаксис), даже спиральные галактики... Ещё в древности это назвали "делением отрезка в крайнем и среднем отношении", в эпоху Возрождения - "Божественной пропорцией", а уже в XIX веке, что и дошло до нашего времени - золотым сечением.
Математически золотое сечение - это такая пропорция деления целого, при которой длина целого относится к длине большей части так же, как длина большей части к длине меньшей:

(a+b)/a=a/b ^ a+b=1

Обозначим эту пропорцию a/b числом Ф. Тогда Ф=1+1/Ф ⇒ Ф=(1+√5)/2≈1,618 - берём положительный корень уравнения. Даже чисто алгебраически у этого числа появляются интересные особенности - само число и обратное к нему отличаются на единицу, а корни вышеописанного уравнения (1±√5)/2 противоположны. Золотое число выражается через тригонометрические функции Ф=2cos36°, через бесконечную цепочку корней Ф=√1+√1+√1+..., через бесконечную цепную дробь Ф=1+1/(1+1/(... Ещё интереснее: если рассмотреть последовательность Фибоначчи, где первые два числа - единицы и каждое следующее число является суммой двух предыдущих (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...), то мы увидим, что отношение соседних членов стремится опять-таки к золотому числу.
Если мы построим золотой прямоугольник (с отношением сторон в золотой пропорции) и отрежем от него квадрат, то вновь получим золотой прямоугольник, и этот процесс можно продолжать бесконечно. Если потом вписать в квадраты по "четвертинке" окружности, то мы получим спираль Дюрера - достаточно точную аппроксимацию золотой спирали (см. изображение 2: зелёный - спираль Дюрера, красный - золотая спираль, жёлтый - их пересечение). Существует так же спираль Фибоначчи, построенная на квадратах с длинами, соответствующими числам Фибоначчи, но всё это разные концепции, которые являются лишь аппроксимациями золотой спирали, и не стоит их путать.
С одной стороны, золотое сечение встречается в природе, в архитектуре и искусстве, где применяется и по сей день (правило третей, метод диагоналей). С другой стороны, его важность часто переоценивают, возводя в абсолют. Это не божественное, а просто выгодное для природы и приятное для человеческого глаза число.
#уроки@mathbotva

Почему реклама антивируса выглядит как угроза🤠

📝 НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ
Сегодня заглянем в тоже достаточно интересную тему - геометрии, не опирающиеся на так называемый пятый постулат Евклида, говорящий о том, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Это совсем не очевидная аксиома, просто принимаемая на веру, и люди веками и даже тысячелетиями пытались её доказать. Очевидно, самый логичный метод - доказательство от противного: отрицаем исходное суждение и выводим из него противоречие, значит, суждение верно. Но при отрицании аксиомы Евклида никаких противоречий не возникло..
Так появилась геометрия Лобачевского, основывающаяся на том, что через точку, не лежащую на прямой, можно провести более одной параллельной ей прямой. Поначалу кажется удивительной дикостью, но стоит вспомнить про кривизну пространства. Оказывается, что евклидова геометрия справедлива применительно к поверхностям с нулевой кривизной - то, что мы чаще всего видим и представляем в нашей жизни (ровные поверхности: стена, пол, лист бумаги и т.д.) Но ведь этим всё не ограничивается! Геометрия Лобачевского отлично работает в пространстве с отрицательной кривизной (так называемых "седловидных" поверхностях). Здесь, например, сумма углов треугольника меньше 180°, длина окружности растёт быстрее радиуса и т.д.
Чуть проще будет представить геометрию Римана (как нетрудно догадаться, для поверхностей с положительной кривизной, ведь в частном случае это ничто иное, как сфера), гласящую, что параллельных прямых вообще нет и любые две прямые пересекаются. Если вы возьмёте глобус и попробуете найти там две непересекающиеся прямые, то вас ждёт неудача.
Всё это перестало быть простой абстракцией благодаря общей теории относительности и идее искривления пространства-времени: например, вблизи очень массивных объектов геометрия становится римановой.
Таким образом чистый исследовательский интерес привёл людей к великим открытиям, которые применяются в реальности и вновь показывают многогранность столь, казалось бы, абстрактной науки, на языке которой в то же время написан наш мир.
#уроки@mathbotva

Разбор досрока (Школково)
Ну да, знаю, вовремя🤡
#материалы