Приз уже едет к победителю
Всем спасибо за участие!

Итак, господамы, теперь текстовые посты будут выходить чётко по расписанию - раз в 2 недели по воскресеньям в 20:00 (с погрешностью отложки тг), т.е. следующий пост 18 января, потом 1 февраля и т.д.
В остальном всё по-прежнему, темы выбираю сам, но могу выкатить опросник насчет наиболее интересующих. Постараюсь примерно чередовать ИИ с математикой
Как всегда, если есть вопросы или предложения - велком ту зе комментс

📝 ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. КРИТЕРИЙ КОШИ
Что ж, начнём разбирать нечто похожее на нормальный матан. Наверное, мы не будем выстраивать тут целую логическую систему, где всё следует из аксиом и каждый факт строится друг на друге, а иногда будем перепрыгивать через темы, считая, что они всем понятны.
Итак, одним из первых фундаментальных вопросов матанализа является предел последовательности. Стоит на всякий случай отметить, что такое числовая последовательность (мы будем разбирать именно такие) - это набор пронумерованных чисел aₙ, то есть фактически пар (n,xₙ) - у каждого числа обязательно должен быть свой номер. И вот по определению число А называется пределом последовательности xₙ при n→∞, если для любого ε (эпсилон), большего нуля, найдётся такое натуральное N, что для всех n, не меньших N, выполняется неравенство |xₙ-A|<ε (запись через кванторы вы видите на изображении)
Что я сейчас сказал? Давайте разбираться. Начнём с |xₙ-A|<ε - это означает, что xₙ находится от А на расстоянии, меньшем чем эпсилон. Что означает ∃N ∀n≥N? n - это номер числа в последовательности. Получается, что всегда найдётся номер, начиная с которого выполняется упомянутое неравенство. Наконец, что означает ∀ε>0? Это означает, что мы можем брать сколь угодно малые эпсилон (можно и сколь угодно большие, но нас это не интересует), и всё вышесказанное будет выполняться. Итак, склеиваем всё в кучу: число А называется пределом последовательности xₙ при n→∞, если начиная с какого-то номера почти все члены попадут в сколь угодно малую окрестность числа А. Под "почти всеми" мы подразумеваем "все, кроме конечного количества". По сути это "бесконечное приближение" членов последовательности к числу А.
Последовательность, имеющая конечный (это важно!) предел, называется сходящейся. Нетрудно понять, что такая последовательность будет ограниченной (число членов, лежащих вне окрестности предела, конечно, а значит, мы всегда сможем выбрать из них максимальный/минимальный либо просто взять правую/левую границу окрестности)
Чтобы доказать сходимость по определению, нужно в явном виде предъявить предел - то самое число А. Но во многих задачах нам бывает совершенно неудобно (да и не нужно в целом) искать этот предел, и существует один инструмент, позволяющий этого избежать - критерий Коши. Отличие от определения в том, что мы оперируем не членом и пределом, а двумя членами: если элементы последовательности "бесконечно приближаются" не к фиксированному числу, а друг к другу, то последовательность так же будет сходящейся. Доказывать это я сейчас, пожалуй, не буду, ведь поля этого поста слишком узки для него, и так немало за сегодня вышло.
#уроки@mathbotva

Почему после каждого видео по вышмату отписываются по 10 человек💀

📝 ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
Интересный вопрос - а что вообще такое логика? Говоря простым языком, это наука о выведении истинных суждений из истинных. Таким образом, здесь нам интересна в первую очередь истинность входящих утверждений и их связь - на её основе мы должны однозначно делать вывод об итоговом утверждении. Это достаточно универсальная наука, которая может использоваться в любой области знания, и каждый из вас оперирует ею ежедневно если не в доказательствах в математике, то просто в бытовых рассуждениях.
Конкретно математическая логика достаточно формальна, оперирует символами и формулами. Думаю, все вы на информатике в школе изучали основы дискретки - исчисление информации, логические операции, таблицы истинности.. Это оно и есть. Но давайте на всякий случай повторим и углубимся в это чуть строже, начиная с некоторых определений.
• Высказывание - это повествовательное предложение, всегда имеющее чётко определённое значение истинности (о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно, но не одновременно). Таким образом, вопросы, восклицания, сослагательные предложения и т.д. по определению не являются высказываниями (не несут смысловой нагрузки).
Например, «После пятницы идёт воскресенье» - высказывание, пусть и неверное, а «Идёт ли после пятницы воскресенье?» - не высказывание.
• Высказывательная функция - это логическое выражение, которое становится высказыванием при подстановке конкретных значений вместо переменных.
Например, P(x) = «x - школьник» не имеет определённого значения в общем случае, но станет высказыванием, если подставить вместо икса, например, тринадцатилетнего Петю. Фактически смысл тот же, что и в математике: функция принимает какое-то значение, если подставить конкретное число вместо аргумента.
Переходим теперь к основным логическим операциям. Отрицание - унарная операция (от одной переменной), все остальные - бинарные (от двух).
• Отрицание истинно тогда и только тогда, когда переменная ложна, и наоборот (проще говоря, "переворачивает" значение).
• Конъюнкция (союз «И», логическое умножение) истинна тогда и только тогда, когда обе переменные истинны, и ложна в остальных случаях. 1^1 = 1
• Дизъюнкция (союз «ИЛИ», логическое сложение) ложна тогда и только тогда, когда обе переменные ложны, и истинна в остальных случаях. 0v0 = 0
• Импликация, состоящая из посылки и вывода, ложна тогда и только тогда, когда посылка истинна, а вывод ложен, и истинна в остальных случаях. 1→0 = 0
• Эквиваленция (эквивалентность) истинна тогда и только тогда, когда обе переменные имеют одинаковое значение истинности.
• Исключающее «ИЛИ» (сложение по модулю 2, жегалкинское сложение) истинно тогда и только тогда, когда переменные имеют разные значения истинности (фактически отрицание эквивалентности).
В следующий раз поговорим про аксиомы булевой алгебры или ну их нафиг?
#уроки@mathbotva

Два дня кошмарил детей на росатоме🌚

📝 ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ
Испокон веков человечество всегда стремилось к прекрасному - живопись, архитектура, скульптура и прочие виды творчества и самовыражения. А ещё оно любило исследовать окружающий мир и находить в нём интересные закономерности. Одна из любопытных вещей объединяла форму раковины наутилуса, расположение листьев растений (филлотаксис), даже спиральные галактики... Ещё в древности это назвали "делением отрезка в крайнем и среднем отношении", в эпоху Возрождения - "Божественной пропорцией", а уже в XIX веке, что и дошло до нашего времени - золотым сечением.
Математически золотое сечение - это такая пропорция деления целого, при которой длина целого относится к длине большей части так же, как длина большей части к длине меньшей:

(a+b)/a=a/b ^ a+b=1

Обозначим эту пропорцию a/b числом Ф. Тогда Ф=1+1/Ф ⇒ Ф=(1+√5)/2≈1,618 - берём положительный корень уравнения. Даже чисто алгебраически у этого числа появляются интересные особенности - само число и обратное к нему отличаются на единицу, а корни вышеописанного уравнения (1±√5)/2 противоположны. Золотое число выражается через тригонометрические функции Ф=2cos36°, через бесконечную цепочку корней Ф=√1+√1+√1+..., через бесконечную цепную дробь Ф=1+1/(1+1/(... Ещё интереснее: если рассмотреть последовательность Фибоначчи, где первые два числа - единицы и каждое следующее число является суммой двух предыдущих (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...), то мы увидим, что отношение соседних членов стремится опять-таки к золотому числу.
Если мы построим золотой прямоугольник (с отношением сторон в золотой пропорции) и отрежем от него квадрат, то вновь получим золотой прямоугольник, и этот процесс можно продолжать бесконечно. Если потом вписать в квадраты по "четвертинке" окружности, то мы получим спираль Дюрера - достаточно точную аппроксимацию золотой спирали (см. изображение 2: зелёный - спираль Дюрера, красный - золотая спираль, жёлтый - их пересечение). Существует так же спираль Фибоначчи, построенная на квадратах с длинами, соответствующими числам Фибоначчи, но всё это разные концепции, которые являются лишь аппроксимациями золотой спирали, и не стоит их путать.
С одной стороны, золотое сечение встречается в природе, в архитектуре и искусстве, где применяется и по сей день (правило третей, метод диагоналей). С другой стороны, его важность часто переоценивают, возводя в абсолют. Это не божественное, а просто выгодное для природы и приятное для человеческого глаза число.
#уроки@mathbotva