📝 ВЕКТОРЫ
Мы знаем, что такое направленный отрезок: он задаётся начальной точной, конечной точкой и своим направлением. Ещё проще говоря - это "линия со стрелочкой". И в школе мы обычно слышим, что вектор - это и есть направленный отрезок. Но у многих ли из вас возникает диссонанс в голове, когда вам говорят «вектор с координатами (6;1)‎»? Ведь он должен задаваться двумя точками, а это как минимум 4 координаты..
Так вот нет. Суть векторов в том, что они не привязаны к конкретной точке. То есть один вектор (6;1) - это бесконечное множество направленных отрезков, и говоря о таком векторе, мы можем брать любой из них. По-умному это называется классом эквивалентности.

Если на неком множестве задано отношение эквивалентности, то классом эквивалентности элемента называется множество всех элементов, эквивалентных данному.

Определение звучит сложно, но на деле оно совсем банальное - это просто все элементы, эквивалентные ("равные") данному.
Здесь можно в целом сказать про то, что такое отношение эквивалентности, но давайте об этом в другой раз, если будет необходимость - пока просто считаем это равенством.
Таким образом вектор - это класс эквивалентности данного направленного отрезка. Уже из этого следует, что для однозначного задания вектора достаточно двух координат как разностей координат конца и начала.
Свойства арифметических операций с векторами почти аналогичны таким же свойствам с числами, которые мы уже разбирали, с некоторыми оговорками: умножать вектора друг на друга мы пока не можем, поскольку не задали такого определения, а вот все свойства сложения, существование единицы, ассоциативность и дистрибутивность относительно умножения на число вполне выполняются.
Основные формулы приложены к посту на изображении 1.
Законы сложения векторов знают абсолютно все, но на всякий случай они показаны на изображении 2.
#уроки@mathbotva

Нет реакций на постах - нет постов, не забывайте😌

📝 ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРОМ. ОСНОВЫ
В жизни часто необходимо строить математические модели для каких-то явлений в общем случае, учитывая все возможные значения входящих в них переменных. Такие общие решения не обходятся без параметров - переменных, которые могут принимать большой ряд значений, которые невозможно или очень проблематично перебирать по отдельности.
С простейшими случаями таких задач с параметром мы встречаемся в школе, и к окончанию 11 класса они принимают не самый приятный вид в 18 задаче на профильном ЕГЭ по математике. Про легендарный парыч, особенно в 2025 году, слышали вообще все. Эти задачи стабильно имеют один из самых низких процентов решаемости и являются наиболее страшными для школьников, причём не всегда оправданно. Некоторые оценивают свои силы и даже не пытаются к ним готовиться, а на экзамене видят простую задачку, которую вполне могли бы решить, поботав хоть немного..
Ну так вот, о чём это я: многие боятся задач с параметром на ЕГЭ. Да, это задача высокого уровня, и основная её сложность заключается в том, что она требует всесторонне развитого математического аппарата и грамотности. Здесь есть всё: преобразование выражений, работа с неравенствами, отбор корней, общая логика и анализ различных систем в целом. Её и правда лучше не трогать, пока вы в совершенстве не освоили 13, 15 и 16 номера, но если вы метите на высокий балл (85-90+), то добро пожаловать.
В самом параметре ничего страшного нет - это просто какое-то произвольное число. В общем случае квадратного уравнения ax²+bx+c=0 a,b,c так же являются параметрами, и мы даже кое-что знаем о поведении параболы в зависимости от значений этих параметров: a растягивает и меняет её направление (ветви вверх или вниз), с двигает вверх-вниз, влияние b не так просто описывается, но не будем об этом. Здесь суть такая же: мы анализируем поведение функций при разных значениях параметра (как правило, что-то связанное с количеством решений). Существуют 4 основных метода решения ЕГЭшных параметров, а именно:
1) Аналитический
Просто выражаем все иксы через а, затем анализируем. МО, кажется, называет это "методом хорошего-плохого корня".
Аналитическое решение есть всегда и у любого парыча, просто где-то оно может занять 10 часов, а нам такое явно не надо. Если выражать всё алгебраически ОЧЕНЬ долго и сложно, стоит рассмотреть другие варианты.
2) Графический
Если в уравнениях явно или неявно присутствуют функции, графики которых мы умеем строить (самые яркие представители: прямые, параболы, окружности), то, возможно, проще будет анализировать их поведение на координатной плоскости xOy. В зависимости от параметра они могут каким-либо образом двигаться, деформироваться, в общем, это весело и хорошо развивает геометрическое мышление в динамике.
*Мини-замечание, вдруг кто забыл: окружность не является функцией
3) Метод xOa
Если в задаче фигурируют только переменные x и a (без y), то мы можем рассматривать а как зависимую переменную от x. Тогда, построив графики в координатах xOa, мы можем просто проводить горизонтальные линии, соответствующие значениям a, и смотреть на число их пересечений с получившимся графиком: это и будет число решений.
4) Функциональный
Наиболее специфичный метод, решающий класс специфичных задач. Основан на свойствах функций, таких как чётность, монотонность, ограниченность и т.д.
Хрестоматийный пример: для чётной функции все решения парные (если x - корень, то и -x - корень). Часто в таких задачах спрашивают про нечётное число корней - из этого сразу можно сделать некоторые выводы.
Таким образом, мы пробежались по самым верхам параметров. Дальше можно, наверное, детальнее разобрать каждый из методов и посмотреть на примерах, что думаете?
#уроки@mathbotva

🤖 ИСКУССТВЕННЫЙ ИНТЕЛЛЕКТ. ВВЕДЕНИЕ
Как вы поняли, это начало второй глобальной рубрики на этом канале (они, конечно, сильно пересекаются, но вряд ли мы скоро до этого дойдём). Что ж, начнём.
Кто не живёт отшельником в пещере, тот хотя бы раз (уже миллион) слышал про искусственный интеллект. Разумеется, на волне дикого хайпа 3/4 новостных заголовков на эту тему кликбейтные и не соответствуют действительности, а обывательское понимание сущности нейронных сетей также является в корне неверным.
Вообще, строго говоря, искусственный интеллект - это область науки, набор методов, позволяющих машинам решать задачи, требующие "интеллектуального" поведения. А вот искусственные нейронные сети (правильно говорить именно так, ведь нейросеть есть в голове у каждого из нас) - это уже математическая модель, в той или иной степени имитирующая работу нейронов человеческого мозга. Но для упрощения все говорят "нейросети" и отождествляют их с ИИ. Я тоже иногда буду так делать для сокращения текста, но имейте это в виду.
В наше время ИИ применяется примерно везде, но многие могут этого и не замечать: системы распознавания лиц на камерах видеонаблюдения, анализ трафика в реальном времени в онлайн-картах, автопилот в продвинутых автомобилях, системы рекомендаций и персонализации контента, умные часы, да хоть сканер штрих-кодов в магазине - и это только очень малая часть. Сейчас это самая быстроразвивающаяся область науки, революционные открытия в которой происходят на наших глазах, из каждого утюга льются речи о том, что ИИ заменит человека и захватит мир; возникает также множество этических проблем и вопросов.. В общем, непочатый край очень интересных тем для обсуждения) Можете предлагать, о чём поговорить в первую очередь
#урокИИ@mathbotva