📝 МЕТОД РАЦИОНАЛИЗАЦИИ
Мы хорошо умеем решать рациональные неравенства (неравенства в виде многочленов и их отношений): найти корни и использовать метод интервалов. Но что, если нам придётся сравнивать логарифмы или показательные функции по одному основанию (если основания разные, то их либо можно привести к одному, либо будет больно)? Нужно будет рассматривать случаи, когда основание больше, а когда - меньше единицы, ведь от этого зависит монотонность функции, которая и определяет знак неравенства. Но проделывать такое каждый раз не очень приятно, и хотелось бы сразу переходить от логарифмов к рациональному неравенству..
Такой способ есть, и называется он метод рационализации. Пусть мы сравниваем с нулём такую конструкцию: aᵇ - aᶜ, где a, b, c могут быть как числами, так и функциями. Рассмотрим случаи, чему равно основание (см. верхний блок на изображении выше):
1) a>1: функция является монотонно возрастающей - чем больше аргумент, тем больше её значение. Соответственно, сравнение aᵇ∨aᶜ, где∨обозначает любой неизвестный знак сравнения, превращается в банальное сравнение b∨c
2) a<1: функция является монотонно убывающей - чем больше аргумент, тем меньше её значение. Соответственно, сравнение aᵇ∨aᶜ превращается в b∧c (знак поменялся: если, например, b>c, то в изначальном неравенстве будет aᵇ < aᶜ)
Как же нам компактно записать этот разбор случаев? Заметим, что во втором случае левая часть неравенства b-c∨0 просто умножилась на отрицательное число, а в первом - на положительное (не изменилась). Это обеспечивается записью (a-1)(b-c), которая равносильна по знаку изначальной функции aᵇ - aᶜ. Знак скобки (a-1) делает разбор случаев за нас - в этом нетрудно убедиться.
Аналогичная ситуация с логарифмическим неравенством (см. нижний блок на изображении выше): имея logₐb-logₐc∨0, его можно безболезненно привести к виду (a-1)(b-c)∨0 по абсолютно аналогичным соображениям. Почему во многих школах это подают как магию при совершенно банальном доказательстве, мне непонятно.
P.S. Подумайте, что будет, если основания разные, а показатели одинаковые - там тоже всё вполне красиво.
#уроки@mathbotva

Тут будут посты, честно, полусем бобо🥺

Пора признать, что MAX - самый безопасный и надёжный мессенджер, заботящийся о конфиденциальности каждого пользователя. Я прекращаю свою деятельность здесь и переношу канал в MAX. Все дальнейшие посты будут выходить там. Ссылка

📝 ВЕКТОРЫ
Мы знаем, что такое направленный отрезок: он задаётся начальной точной, конечной точкой и своим направлением. Ещё проще говоря - это "линия со стрелочкой". И в школе мы обычно слышим, что вектор - это и есть направленный отрезок. Но у многих ли из вас возникает диссонанс в голове, когда вам говорят «вектор с координатами (6;1)‎»? Ведь он должен задаваться двумя точками, а это как минимум 4 координаты..
Так вот нет. Суть векторов в том, что они не привязаны к конкретной точке. То есть один вектор (6;1) - это бесконечное множество направленных отрезков, и говоря о таком векторе, мы можем брать любой из них. По-умному это называется классом эквивалентности.

Если на неком множестве задано отношение эквивалентности, то классом эквивалентности элемента называется множество всех элементов, эквивалентных данному.

Определение звучит сложно, но на деле оно совсем банальное - это просто все элементы, эквивалентные ("равные") данному.
Здесь можно в целом сказать про то, что такое отношение эквивалентности, но давайте об этом в другой раз, если будет необходимость - пока просто считаем это равенством.
Таким образом вектор - это класс эквивалентности данного направленного отрезка. Уже из этого следует, что для однозначного задания вектора достаточно двух координат как разностей координат конца и начала.
Свойства арифметических операций с векторами почти аналогичны таким же свойствам с числами, которые мы уже разбирали, с некоторыми оговорками: умножать вектора друг на друга мы пока не можем, поскольку не задали такого определения, а вот все свойства сложения, существование единицы, ассоциативность и дистрибутивность относительно умножения на число вполне выполняются.
Основные формулы приложены к посту на изображении 1.
Законы сложения векторов знают абсолютно все, но на всякий случай они показаны на изображении 2.
#уроки@mathbotva

Нет реакций на постах - нет постов, не забывайте😌

📝 ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРОМ. ОСНОВЫ
В жизни часто необходимо строить математические модели для каких-то явлений в общем случае, учитывая все возможные значения входящих в них переменных. Такие общие решения не обходятся без параметров - переменных, которые могут принимать большой ряд значений, которые невозможно или очень проблематично перебирать по отдельности.
С простейшими случаями таких задач с параметром мы встречаемся в школе, и к окончанию 11 класса они принимают не самый приятный вид в 18 задаче на профильном ЕГЭ по математике. Про легендарный парыч, особенно в 2025 году, слышали вообще все. Эти задачи стабильно имеют один из самых низких процентов решаемости и являются наиболее страшными для школьников, причём не всегда оправданно. Некоторые оценивают свои силы и даже не пытаются к ним готовиться, а на экзамене видят простую задачку, которую вполне могли бы решить, поботав хоть немного..
Ну так вот, о чём это я: многие боятся задач с параметром на ЕГЭ. Да, это задача высокого уровня, и основная её сложность заключается в том, что она требует всесторонне развитого математического аппарата и грамотности. Здесь есть всё: преобразование выражений, работа с неравенствами, отбор корней, общая логика и анализ различных систем в целом. Её и правда лучше не трогать, пока вы в совершенстве не освоили 13, 15 и 16 номера, но если вы метите на высокий балл (85-90+), то добро пожаловать.
В самом параметре ничего страшного нет - это просто какое-то произвольное число. В общем случае квадратного уравнения ax²+bx+c=0 a,b,c так же являются параметрами, и мы даже кое-что знаем о поведении параболы в зависимости от значений этих параметров: a растягивает и меняет её направление (ветви вверх или вниз), с двигает вверх-вниз, влияние b не так просто описывается, но не будем об этом. Здесь суть такая же: мы анализируем поведение функций при разных значениях параметра (как правило, что-то связанное с количеством решений). Существуют 4 основных метода решения ЕГЭшных параметров, а именно:
1) Аналитический
Просто выражаем все иксы через а, затем анализируем. МО, кажется, называет это "методом хорошего-плохого корня".
Аналитическое решение есть всегда и у любого парыча, просто где-то оно может занять 10 часов, а нам такое явно не надо. Если выражать всё алгебраически ОЧЕНЬ долго и сложно, стоит рассмотреть другие варианты.
2) Графический
Если в уравнениях явно или неявно присутствуют функции, графики которых мы умеем строить (самые яркие представители: прямые, параболы, окружности), то, возможно, проще будет анализировать их поведение на координатной плоскости xOy. В зависимости от параметра они могут каким-либо образом двигаться, деформироваться, в общем, это весело и хорошо развивает геометрическое мышление в динамике.
*Мини-замечание, вдруг кто забыл: окружность не является функцией
3) Метод xOa
Если в задаче фигурируют только переменные x и a (без y), то мы можем рассматривать а как зависимую переменную от x. Тогда, построив графики в координатах xOa, мы можем просто проводить горизонтальные линии, соответствующие значениям a, и смотреть на число их пересечений с получившимся графиком: это и будет число решений.
4) Функциональный
Наиболее специфичный метод, решающий класс специфичных задач. Основан на свойствах функций, таких как чётность, монотонность, ограниченность и т.д.
Хрестоматийный пример: для чётной функции все решения парные (если x - корень, то и -x - корень). Часто в таких задачах спрашивают про нечётное число корней - из этого сразу можно сделать некоторые выводы.
Таким образом, мы пробежались по самым верхам параметров. Дальше можно, наверное, детальнее разобрать каждый из методов и посмотреть на примерах, что думаете?
#уроки@mathbotva