💫 НАВИГАЦИЯ ПО УРОКАМ-1
МАТЕМАТИКА
1) Квадрат суммы геометрически
2) Признак делимости на 3/9
3) Формула дискриминанта
4) Неравенство о средних
5) Теорема Пифагора
6) Тригонометрия. Часть 1: Введение
7) Тригонометрия. Часть 2: Радианы
8) Тригонометрия. Часть 3: Формулы приведения
9) Площади фигур
10) Логика. Парадокс импликации
11) Множества чисел
12) Окружность. Часть 1: Введение
13) Окружность. Часть 2: Углы и касательные
14) Окружность. Часть 3: Снова углы и касательные!?
15) Многочлены. Теорема Виета
16) Основы теории вероятности
17) Основы комбинаторики
18) Теория чисел. Признаки делимости
19) Математические символы и обозначения
20) Графы. Начало
21) НОД и НОК. Алгоритм Евклида
22) Последовательности и прогрессии
23) Про ОДЗ в логарифмах и не только
24) Площади фигур. Часть 2
25) Теорема косинусов
26) Теорема синусов
27) Аксиомы вещественных чисел
28) Производная
29) Основы стереометрии
30) Метод рационализации
31) Векторы
32) Задачи с параметром. Основы

💫 НАВИГАЦИЯ ПО УРОКАМ-2
«ПОСЛУШАЙ»
1) О важном
2) Лирическое отступление
3) Час пробил
4) Советы перед экзаменом

📝 ОСНОВЫ СТЕРЕОМЕТРИИ
В силу моей частично олимпиадной направленности и, как следствие, некого дизреспекта к стереометрии, которую обычно можно увидеть на олимпиадах, мы никогда её не затрагивали в данном канале. Что ж, пора это исправить, и начнём мы с теоретических основ, на которых будет строиться всё дальнейшее изучение школьной трёхмерной геометрии.
I. АКСИОМЫ
1) Какова бы ни была плоскость, существуют точки, ей принадлежащие, и точки, ей не принадлежащие
2) Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну
3) Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, содержащей эту точку
4) Если две точки прямой лежат в одной плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости
II. СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ
1) Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну
2) Через две различные пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну

(Далее символом ⓘ обозначаются определения)
III. ТЕОРЕМЫ
Параллельность
ⓘ Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются
ⓘ Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости и не пересекаются
ⓘ Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек (не пересекаются)
ⓘ Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются
1) Теорема о существовании прямой, параллельной данной
Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну
2) Признак параллельности прямых
Две прямые, параллельные третьей, параллельны друг другу
3) Признак параллельности прямой и плоскости
Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости
Следствие: Если прямая параллельна плоскости, то в плоскости найдётся прямая, параллельная данной
4) Признак параллельности плоскостей
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны соответственно двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны
5) Теорема о существовании плоскости, параллельной данной
Через точку, не лежащую в данной плоскости, можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну
Следствие: Две плоскости, параллельные третьей, параллельны друг другу

Перпендикулярность
ⓘ Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°
ⓘ Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой в этой плоскости
ⓘ Две плоскости называются перпендикулярными, если двугранный угол между ними (об этом позже) равен 90°
1) Теорема о перпендикулярности прямых в пространстве
Если две прямые в пространстве параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они перпендикулярны друг другу
2) Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости
3) Теорема о существовании прямой, перпендикулярной данной плоскости
Через данную точку данной плоскости можно провести прямую, перпендикулярную данной плоскости, и притом только одну
4) Теорема о существовании плоскости, перпендикулярной данной прямой и проходящей через данную точку
Через данную точку данной прямой можно провести плоскость, перпендикулярную данной прямой, и притом только одну
5) Признак перпендикулярности плоскостей
Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны

Следствия
1) Если две прямые перпендикулярны одной плоскости, то они параллельны
2) Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и вторая прямая перпендикулярна плоскости

Доказательство данных теорем мы оставим въедливому читателю - добро пожаловать в комментарии. Если нужно будет что-то отдельно разобрать - пишите. Главное - не пытайтесь доказывать аксиомы, хотя.. Вдруг у вас получится?
#уроки@mathbotva

📝 МЕТОД РАЦИОНАЛИЗАЦИИ
Мы хорошо умеем решать рациональные неравенства (неравенства в виде многочленов и их отношений): найти корни и использовать метод интервалов. Но что, если нам придётся сравнивать логарифмы или показательные функции по одному основанию (если основания разные, то их либо можно привести к одному, либо будет больно)? Нужно будет рассматривать случаи, когда основание больше, а когда - меньше единицы, ведь от этого зависит монотонность функции, которая и определяет знак неравенства. Но проделывать такое каждый раз не очень приятно, и хотелось бы сразу переходить от логарифмов к рациональному неравенству..
Такой способ есть, и называется он метод рационализации. Пусть мы сравниваем с нулём такую конструкцию: aᵇ - aᶜ, где a, b, c могут быть как числами, так и функциями. Рассмотрим случаи, чему равно основание (см. верхний блок на изображении выше):
1) a>1: функция является монотонно возрастающей - чем больше аргумент, тем больше её значение. Соответственно, сравнение aᵇ∨aᶜ, где∨обозначает любой неизвестный знак сравнения, превращается в банальное сравнение b∨c
2) a<1: функция является монотонно убывающей - чем больше аргумент, тем меньше её значение. Соответственно, сравнение aᵇ∨aᶜ превращается в b∧c (знак поменялся: если, например, b>c, то в изначальном неравенстве будет aᵇ < aᶜ)
Как же нам компактно записать этот разбор случаев? Заметим, что во втором случае левая часть неравенства b-c∨0 просто умножилась на отрицательное число, а в первом - на положительное (не изменилась). Это обеспечивается записью (a-1)(b-c), которая равносильна по знаку изначальной функции aᵇ - aᶜ. Знак скобки (a-1) делает разбор случаев за нас - в этом нетрудно убедиться.
Аналогичная ситуация с логарифмическим неравенством (см. нижний блок на изображении выше): имея logₐb-logₐc∨0, его можно безболезненно привести к виду (a-1)(b-c)∨0 по абсолютно аналогичным соображениям. Почему во многих школах это подают как магию при совершенно банальном доказательстве, мне непонятно.
P.S. Подумайте, что будет, если основания разные, а показатели одинаковые - там тоже всё вполне красиво.
#уроки@mathbotva

Тут будут посты, честно, полусем бобо🥺

Пора признать, что MAX - самый безопасный и надёжный мессенджер, заботящийся о конфиденциальности каждого пользователя. Я прекращаю свою деятельность здесь и переношу канал в MAX. Все дальнейшие посты будут выходить там. Ссылка

📝 ВЕКТОРЫ
Мы знаем, что такое направленный отрезок: он задаётся начальной точной, конечной точкой и своим направлением. Ещё проще говоря - это "линия со стрелочкой". И в школе мы обычно слышим, что вектор - это и есть направленный отрезок. Но у многих ли из вас возникает диссонанс в голове, когда вам говорят «вектор с координатами (6;1)‎»? Ведь он должен задаваться двумя точками, а это как минимум 4 координаты..
Так вот нет. Суть векторов в том, что они не привязаны к конкретной точке. То есть один вектор (6;1) - это бесконечное множество направленных отрезков, и говоря о таком векторе, мы можем брать любой из них. По-умному это называется классом эквивалентности.

Если на неком множестве задано отношение эквивалентности, то классом эквивалентности элемента называется множество всех элементов, эквивалентных данному.

Определение звучит сложно, но на деле оно совсем банальное - это просто все элементы, эквивалентные ("равные") данному.
Здесь можно в целом сказать про то, что такое отношение эквивалентности, но давайте об этом в другой раз, если будет необходимость - пока просто считаем это равенством.
Таким образом вектор - это класс эквивалентности данного направленного отрезка. Уже из этого следует, что для однозначного задания вектора достаточно двух координат как разностей координат конца и начала.
Свойства арифметических операций с векторами почти аналогичны таким же свойствам с числами, которые мы уже разбирали, с некоторыми оговорками: умножать вектора друг на друга мы пока не можем, поскольку не задали такого определения, а вот все свойства сложения, существование единицы, ассоциативность и дистрибутивность относительно умножения на число вполне выполняются.
Основные формулы приложены к посту на изображении 1.
Законы сложения векторов знают абсолютно все, но на всякий случай они показаны на изображении 2.
#уроки@mathbotva

Нет реакций на постах - нет постов, не забывайте😌