📝 АКСИОМЫ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
Однажды мы уже затрагивали множества чисел, пусть и вскользь, и в целом вы знаете со школы, что натуральные числа - это числа, возникающие естественным образом при счёте, целые - это натуральные, противоположные им и нуль, и так далее.. И для них всё совершенно понятно даже на пальцах, 3 яблока + 4 яблока = 7 яблок, 3•5 яблок это 3 раза по 5 яблок.. Но что делать со свойствами арифметических операций для произвольных вещественных чисел? Что есть 1/117+√3e яблок? Разве можно так же раскрыть скобки в выражении (1+8π)(x²+8/3)? Один из наиболее простых подходов - аксиоматический.
1️⃣ Аксиомы сложения
1) Коммутативность (перестановочное свойство)

∀a, b ∈ R: a + b = b + a

2) Ассоциативность (сочетательное свойство)

∀a, b, c ∈ R: a + (b + c) = (a + b) + c

3) Существование нуля (нейтральный элемент)
Существует такое число (нуль), что при его сложении с любым числом получится само это число

∃0 ∈ R: ∀a ∈ R: a + 0 = a

4) Существование противоположного числа
Для каждого числа существует противоположное ему число такое, что при их сложении получится нуль

∀a ∈ R: ∃(-a) ∈ R: a + (-a) = 0

2️⃣ Аксиомы умножения
1) Коммутативность (перестановочное свойство)

∀a, b ∈ R: a • b = b • a

2) Ассоциативность (сочетательное свойство)

∀a, b, c ∈ R: (ab)c = a(bc)

3) Существование единицы (нейтральный элемент)
Существует такое число, отличное от нуля (единица), что при его умножении на любое число получится само это число

∃1 ∈ R, 1 ≠ 0: ∀a ∈ R: a • 1 = a

4) Существование обратного числа
Для каждого числа существует обратное ему число такое, что при их умножении получится единица

∀a ∈ R, a ≠ 0: ∃(1/a) ∈ R: a • (1/a) = 1

5) Дистрибутивность относительно сложения (раскрытие скобок)

∀a, b, c ∈ R: a•(b+c) = a•b + a•c

3️⃣ Аксиомы порядка
Для любых чисел a, b∈R существует одно из отношений порядка a≤b или b≤a (запись a≤b равносильна b≥a)
1) Рефлексивность

∀a ∈ R: a ≤ a

2) Антисимметричность

∀a, b ∈ R: a ≤ b, b ≤ a ⇒ a = b

3) Транзитивность ("цепочка сравнений")

∀a, b, c ∈ R: a ≤ b, b ≤ c ⇒ a ≤ c

4) Монотонность сложения (сложение не нарушает порядок чисел)

∀a, b, c ∈ R: a ≤ b ⇒ a+с ≤ b+с

5) Сохранение порядка при умножении неотрицательных чисел

∀a, b ∈ R: 0 ≤ a, 0 ≤ b ⇒ 0 ≤ ab

4️⃣ Аксиома непрерывности / Принцип Дедекинда
Пусть A, B - непустые подмножества R такие, что ∀a ∈ A, b ∈ B: a ≤ b. Тогда ∃c ∈ R: ∀a ∈ A, b ∈ B ⇒ a ≤ c ≤ b.
Проще говоря, между любыми двумя множествами существует разделяющее их вещественное число (таким образом, это гарантирует непрерывность числовой прямой для вещественных чисел; фактически это аксиома полноты, вместо которой можно сформулировать теорему о вложенных отрезках и лемму Архимеда, но давайте пока не будем).

Из этих аксиом вытекает немало следствий, например, единственность нуля и единицы, определение и единственность разности и частного, единственность противоположных и обратных чисел, умножение на ноль и т.д. Может быть, кто-то захочет вывести их в комментариях? :)
#уроки@mathbotva