А я ведь реально скипнул, времени не хватило
Ну вы это, рассказывайте кто писал вчера-сегодня

Я вас услышал и сделаю по-своему
Надеюсь, вы успели от меня отдохнуть, ведь завтра я возвращаю привычный режим публикаций, а там посмотрим
Ждите посты!

📝 ПЛОЩАДИ ФИГУР. ЧАСТЬ 2
В прошлый раз мы не затронули трапецию - о ней стоит сказать пару слов. Разделим трапецию ABCD диагональю BD на два треугольника (см. изображение 2), проведём в них высоты, которые равны в силу параллельности оснований (одна из них может упасть наружу либо являться катетом одного из треугольников) и воспользуемся выведенной ранее формулой: S△ABD = ½•AD•h; S△BCD = ½•BC•h. Складывая, получаем S = ½•h•(AD+BC).

Площадь трапеции S⏢ = ½•(a+b)•h, где a,b - основания трапеции, h - её высота.

Мы обсудили площади многих частных случаев четырёхугольников, а существует ли общая формула? Давайте разделим произвольный четырехугольник ABCD на четыре треугольника диагоналями, пересекающимися в точке О (см. изображение 1). Обозначим угол BOC за α и выразим их площади через куски диагоналей AO, BO, CO, DO:
S△CBO = ½•BO•CO•sinα; S△CDO = ½•DO•CO•sin(180°-α) = ½•DO•CO•sinα; S△ABO = ½•BO•AO•sin(180°-α) = ½•BO•AO•sinα; S△ADO = ½•AO•DO•sinα.
Сложив эти четыре площади, получим площадь исходного четырёхугольника: S = ½sinα(BO•CO+DO•CO+BO•AO+AO•DO) = ½sinα(CO•BD+AO•BD) = ½•AC•BD•sinα.

Площадь произвольного четырёхугольника S = ½•d₁•d₂•sinα, где d₁, d₂ - его диагонали, α - угол между ними.

Существует ещё одна очень приятная формула для абсолютно произвольного многоугольника, в который вписана окружность. Пусть это будет пятиугольник ABCDE, а точки касания его сторон с окружностью с центром в точке О - K₁,K₂,K₃,K₄,K₅ (см. изображение 3). Соединяем вершины с центром, разбивая пятиугольник на 5 треугольников. Очевидно, что радиусы окружности OK₁=OK₂=OK₃=OK₄=OK₅=r являются их высотами. Тогда, вычисляя все площади треугольников как полупроизведение основания на высоту и складывая их, получаем S = ½•AB•r + ½•BC•r + ½•CD•r + ½•DE•r + ½•AE•r = ½r(AB+BC+CD+DE+AE) = ½Pr = pr. Также ясно, что от изменения числа сторон ничего не изменится, полупериметр останется периметром, а значит:

Площадь описанного n-угольника S = pr, где p - его полупериметр, r - радиус вписанной окружности.

Все ведь заметили, что идея везде одна и та же - триангуляция?
#уроки@mathbotva

📝 ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ
Это одна из основных теорем школьной геометрии, проходящаяся в 9 классе и известная буквально каждому школьнику, вероятно, наизусть. На ней строятся многие другие более сложные формулы и соображения. А откуда же она взялась? Давайте разбираться.
Возьмём треугольник ABC и проведем высоту BH к стороне AC. По теореме Пифагора выразим AH² = AB²-BH² и CH² = BC²-BH². Пусть ∠ABH=α, ∠CBH=β. С одной стороны BH=AB•cosα, с другой BH=BC•cosβ. На этом геометрия успешно заканчивается и начинается глина: AH² = AB²-AB²•cos²α; CH² = BC²-BC²•cos²β. Чтобы получить AC², нужно сложить AH² и CH², а также не забыть про 2AH•CH. AH=AB•sinα; CH=BC•sinβ. Собирая всё вместе, имеем AC² = AB²+BC²+2AB•BC•sinα•sinβ-AB²•cos²α-BC²•cos²β. Мы также знаем, что AB•cosα=BC•cosβ=BH, а значит (AB•cosα-BC•cosβ)² = 0 ⇔ AB²•cos²α + BC²•cos²β = 2AB•BC•cosα•cosβ. Подставляем: АС² = AB²+BC²+2AB•BC•sinα•sinβ-2AB•BC•cosα•cosβ = AB²+BC²+2AB•BC•(sinα•sinβ-cosα•cosβ) = AB²+BC²-2AB•BC•(cosα•cosβ-sinα•sinβ).
Вспоминаем формулу косинуса суммы: перед нами ровно она и есть. В итоге имеем АС² = AB²+BC²-2AB•BC•cos(α+β) = AB²+BC²-2AB•BC•cos∠B. Получили известную всем теорему косинусов в её первозданном виде:

c² = a²+b²-2•a•b•cosα, где α - угол напротив стороны с

Доказательство для тупоугольного треугольника мы оставим въедливым читателям. Можете также предлагать свои решения в комментариях или предложке. Следующей будем уничтожать теорему синусов)
#уроки@mathbotva

Ээ.. Спасибо?🗿
А стоп-слово какое