📝 ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 3/9
Дамы и господа, сегодня немного теории чисел. Поговорим о признаках делимости на 3 и на 9. Все знают (надеюсь, что все) о том, что число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3, и аналогично число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
Почему это так? Для этого обратимся к разложению числа по разрядам, т.е. по степеням десятки с какими-то коэффициентами.
Рассмотрим произвольное число abcd...xyz. Пусть в нём есть n цифр. Тогда

abcd...xyz = a•10ⁿ⁻¹ + b•10ⁿ⁻² + c•10ⁿ⁻³ + ... + x•10² + y•10 + z

Мы понимаем, что 10 ≡ 1 (mod 3). Для тех, кто не понял, поясняю: число 10 даёт остаток 1 при делении на 3 (10 сравнимо с 1 по модулю 3). Аналогично 100 ≡ 1 (mod 3), и в общем случае 10ⁿ ≡ 1 (mod 3). Тогда распишем полученное ранее выражение с точки зрения остатков при делении на 3. В нём все степени десятки можно заменить на единицы, и мы получаем a•1 + b•1 + c•1 + d•1 + ... + x•1 + y•1 + z = a + b + c + d + ... + x + y + z. Это и есть заветная сумма цифр, и если она будет делиться на 3, то и всё число будет делиться на 3. Кроме того, мы понимаем, что на самом деле это не только признак делимости, но ещё и признак равноостаточности, т.е. число даёт такой же остаток при делении на 3, что и его сумма цифр при делении на 3. Абсолютно то же самое можно получить и по модулю 9, ведь 10ⁿ ≡ 1 (mod 9).
#уроки@mathbotva

Теория по экономической задаче (Школково)
#материалы

Параметр от Математика МГУ
#материалы

Школково. Всё по теории чисел
#материалы

А кстати, все же здесь хотя бы примерно знают, откуда взялась формула дискриминанта и корней квадратного уравнения? Или тайна за семью печатями, свыше пришло?

Всё с вами понятно

📝 ФОРМУЛА ДИСКРИМИНАНТА
Так, ну, вроде бы ± видно и читаемо. Зелёным цветом сбоку пояснения к соответствующим строчкам
#уроки@mathbotva

Математик МГУ. Текстовые задачи
#материалы

Чего притихли, салаги? Ловите шпору по интервалам от Школково, это точно всем пригодится
#материалы

📝 НЕРАВЕНСТВО О СРЕДНИХ
Надеюсь, хотя бы кто-то здесь знает о том, что среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического. Вообще-то сюда ещё входит среднее квадратическое и среднее гармоническое, а всё это неравенство является частным случаем неравенства Коши о средних, но абстрагируемся от этого и вернёмся к изначальной формулировке. Почему это верно?
Возьмём квадрат разности (x-y)². Все же согласны, что любой квадрат по определению неотрицателен? (x-y)²≥0
Раз мы говорим о среднем арифметическом, неплохо было бы получить под квадратом сумму.. Ага, прибавим к обеим частям неравенства 4xy, и попутно раскроем скобки в квадрате разности:

(x²-2xy+y²) + 4xy ≥ 4xy

Приведём подобные слагаемые слева:

x²+2xy+y² ≥ 4xy

А это ведь и есть квадрат суммы! Сворачиваем:

(x+y)² ≥ 4xy

Так как мы изначально говорили, что оба числа неотрицательны (x≥0; y≥0), то обе части неравенства также неотрицательны, и мы можем спокойно извлекать из них корень. В общем случае корень из (x+y)² даст |x+y|, но в нашем случае (см.выше) получаем чистую сумму x+y. √4xy = 2√xy. Получаем:

x+y ≥ 2√xy

Всё уже готово, осталось только поделить обе части на 2:

(x+y)/2 ≥ √xy

Получили желаемое.
Не нужно же напоминать о том, что такое среднее арифметическое и среднее геометрическое, да?
#уроки@mathbotva

Свойства логарифмов (Школково)
#материалы

Ну, тупо скачанные файлы из открытого доступа тут больше ценят, чем тексты, над которыми я стараюсь, поэтому вот вам теория по графикам и производной (Школково)
#материалы

📝 ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
Просили геометрию? Держите. Возможно, кто-то знает, но не уверен, что все поголовно: самое базовое и классическое доказательство теоремы Пифагора.
Возьмём прямоугольный треугольник с катетами a,b и гипотенузой c и трижды повернём его на 90 градусов. Получили большой квадрат со стороной a+b и внутри него, в общем-то, ещё один квадрат, но стоит обосновать это строго (под спойлером доказательство, в теории его можно пропустить, но не рекомендую):
Все стороны данного четырёхугольника образованы гипотенузами исходного треугольника, а значит, равны между собой, то есть перед нами как минимум ромб. Из суммы углов треугольника углы 1 и 2 (см. изображение) в сумме дают 90°, а из равенства треугольников получаем равенство углов 2 и 3 как соответственных элементов. Значит, ∠1+∠3 = 90°, но эти два угла в сумме с углом нашего четырёхугольника образуют развёрнутый угол (180°), а значит, этот угол равен 90°. Получили, что в нашем ромбе (см.выше) один из углов прямой, а значит, это квадрат.
Имеем квадрат со стороной c (его площадь равна c²). Площадь четырёх одинаковых прямоугольных треугольников равна 4*(ab/2) = 2ab.
ab/2 - формула площади прямоугольного треугольника через катеты (их полупроизведение)

Теперь берём тот же квадрат со стороной a+b, но теперь разрезаем его на четыре части так, как показано на иллюстрации. Получаем, что исходный квадрат состоит из квадрата со стороной а (S = a²), квадрата со стороной b (S = b²) и двух прямоугольников со сторонами a и b (S = ab). К слову, вам это уже знакомо из доказательства квадрата суммы, см. здесь.
Проанализируем полученное. Очевидно, что одинаковые квадраты имеют одинаковую площадь. Слева из такого квадрата мы вырезали квадрат площадью c² и треугольники с суммарной площадью 2ab:

Sкв = c² + 2ab

А справа - два квадрата с площадями a² и b² соответственно, а также два прямоугольника с суммарной площадью 2ab.

Sкв = a² + b² + 2ab

Приравниваем правые части:

c² + 2ab = a² + b² + 2ab

Погодите-ка, и там и там 2ab, а это значит, что и суммарные площади остальных элементов равны между собой (на языке алгебры - вычтем из обоих частей 2ab). Получили желаемое:

c² = a² + b²

Q.E.D.
#уроки@mathbotva

Справочник по стереометрии (Школково)
#материалы

Неравенства (Математик МГУ)
#материалы

Теория по аналитике в параметрах (Школково)
#материалы

Мини-шпора по стереометрии (Школково)
#материалы

📝 ТРИГОНОМЕТРИЯ. ЧАСТЬ 1: ВВЕДЕНИЕ
По запросам из чата поговорим о тригонометрии. То, что тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике равны всяким отношениям сторон - банально. Углы ведь бывают не только острые и в прямоугольных треугольниках, верно? Хотелось бы считать их для произвольных углов. Оказалось, что очень удобно определять их на координатной плоскости по окружности радиуса 1 (единичная окружность) с центром в начале координат. Действительно, давайте возьмём на ней произвольную точку (назовём её А; см. рисунок выше) и соединим с центром окружности (О), а также опустим из неё перпендикуляр (с основанием В) на ось абсцисс. Угол, который образует прямая OA с положительным направлением оси абсцисс, и назовём нужным нам углом α. Получили прямоугольный треугольник OBA с острым углом α и гипотенузой длины 1. Посчитаем в нём заветные тригонометрические функции по определению, например: sin α = AB/OA = AB, т.к. ОА=1. Хм, а что же такое AB? Мысленно переносим этот отрезок на координатную ось и понимаем, что в терминах координат это на самом деле ордината точки А! Аналогично ищем cos α = OB/OA = OB. То, что OB - абсцисса точки А, видно сразу. Получили, что координаты точки A - это (cos α; sin α), и это справедливо для любого такого угла на окружности. Выходит, что координатные оси x и у для тригонометрической окружности можно называть cos α и sin α соответственно.
Итак, фактически мы вывели новое определение синуса и косинуса, причём для любых углов, и тупых в том числе - это координаты точки пересечения стороны угла с тригонометрической окружностью. Не забыли про тангенс и котангенс? Их оси тут тоже есть, но они чуть более неординарны и сейчас мы умышленно их проигнорируем.
В ближайшее время буду развивать тему.
#уроки@mathbotva