Решение:

По формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии имеем y,yyyy... = y+y/10+y/100+... = y + (y/10)/(1-1/10) = y+y/9 = 10y/9
Аналогично xx,xxxx... = 10x+x+x/9 = 100x/9
Тогда из равенства в условии имеем 10√x/3 = 10y/9 ⇒ x=y²/9. Так как x,y - цифры, то подходят только две пары - (1;3) и (4;6)

Держите халяву типа 17 номера
Задача дня №21

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиусом 10. Известно, что AB = BC = CD = 6.
а)  Докажите,что прямые BC и AD параллельны.
б)  Найдите AD.

#задачадня@mathbotva

Решение:

а) Из равнобедренности треугольников ABC и BCD и вписанностей имеем кучу равных углов: ∠BAC=∠BCA=∠CBD=∠BDC=∠ADB=∠CAD=α. Отсюда так или иначе следует, что ABCD - равнобокая трапеция, ч.т.д.
б) По теореме синусов в △ ACD 6/sinα = AD/sin(180°-3α) = 2R = 20 => sinα = 0,3 => sin3α = 3sinα-4sin³α = 0,792; AD = 20•sin(180°-3α) = 20•sin3α = 15,84

Чёт и правда халявы навалил. Самое простое и безыдейное решение через синус тройного угла. Их тут, конечно, намного больше - можете предложить своё.

Как насчёт системы неравенств?)
Задача дня №22
#задачадня@mathbotva

Теперь геома чуть поинтереснее)
Задача дня №23

В неравнобедренном треугольнике ABC один из углов равен разности двух других и один из углов в два раза больше другого. Биссектрисы углов A, B и C пересекают описанную вокруг треугольника окружность в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно. Найдите площадь △ A₁B₁C₁, если площадь △ABC равна 2.

#задачадня@mathbotva

Извиняйте, друзья, нет времени всё техать, тем более что моё решение не сильно отличается от авторского

Как насчёт логики?
Задача дня №24

Найдите все такие значения n, что среди любого набора из n натуральных чисел, являющихся точными квадратами, всегда найдутся два числа, разность которых делится на 2017.

#задачадня@mathbotva

Решение:

x²-y² = (x-y)(x+y). 2017 - простое число, поэтому, чтобы разность квадратов двух чисел делилась на 2017, их сумма или разность должна делиться на 2017.
(x-y)⋮2017 ⇔ x ≡ y (mod 2017). Всего существует 2017 различных остатков по модулю 2017, поэтому по принципу Дирихле такие числа найдутся при n≥2018.
(x+y)⋮2017 ⇔ x ≡ -y (mod 2017). Разбиваем остатки на нужные нам пары (1;2016), (2;2015), ..., (1008;1009). Таких пар 1008, и еще 0 без пары. Итого 1009 групп. Значит, при n≥1010 какие-то два числа попадут в одну группу, и условие выполнится.
Таким образом, наш ответ - n≥1010

Хотели параметр? Ну пусть будет что-то типа такого
Задача дня №25
#задачадня@mathbotva

Ну конечно на постах над которыми я стараюсь от силы по 10 реакций а тут мировой рекорд
Я не сомневался

🤔 ЧАС ПРОБИЛ
Итак, друзья. Вот и подошёл момент, к которому многие из вас готовились очень долгое время. Старались, потели, взрывали мозг, развивались, падали и двигались дальше. Оглянитесь на тот путь, который вы прошли. Сравните себя сейчас и год-два назад. Теперь вы готовы. Вы сделали всё, что могли. Сегодня ваша главная задача - зачиллиться, поймать дзен, словить вайб, ощутить ауру, называйте как хотите. Никакой зубрёжки, тотально разгружаемся, трогаем траву и дышим воздухом. И уж тем более никакой ночной жизни, наиобязательнейший пункт - выспаться по максимуму. Подготовьте паспорт, воду без этикетки, накупите чёрных ручек - и вы прекрасны. У каждого из вас всё получится, ведь вы работали ради этого. Спасибо за внимание и всем удачи, а меня ждёт день ног 😲
#послушай@mathbotva

Капец я дорос, уже боты в комментах рекламятся