Условие очевидно переформулируется так: НОД(15N-7,22N-5)>1. По алгоритму Евклида он равен НОД (N-11,79). 79 - простое ⇒ (N-11)⁝79 ⇒ N=79k+11,k∈Z
Простым перебором убеждаемся, что первым подходящим под все условия является k=27, N=2144

По неравенству о средних первый логарифм ≥ 1, а второй ≤ 1. Тогда равенство возможно только когда оба равны по единице. Отсюда x² = y = y⁴ и x = y² = x⁴. Единственная подходящая пара решений - (1;1)

Имеется арифметическая прогрессия, состоящая из пятидесяти чисел.
а)  Может ли эта прогрессия содержать ровно 6 целых чисел?
б)  Может ли эта прогрессия содержать ровно 29 целых чисел?
в)  Найдите наименьшее число n, при котором эта прогрессия не может содержать ровно n целых чисел.

Пусть наша прогрессия - a, a+d, a+2d, ..., a+49d
а) Да. Например, можно взять a∈Z и d=k/9, где k∈Z. Тогда целыми будут a, a+9d, a+18d, a+27d, a+36d, a+45d - ровно 6 чисел
б) Нет. В таком случае какие-то два числа точно стояли бы рядом, но из этого следует, что d∈Z, а тогда вообще все числа либо только целые, либо только дробные
в) Рассмотрим прогрессию 0, 1/k, 2/k, ..., 49/k. В ней int(49/k)+1 целых чисел - перебором по k можно показать, что все числа до 10 включительно достигаются
Допустим, существует пример на 11 целых чисел. Тогда какие-то два попадут в одну пятёрку ⇒ разница между ними максимум 4d, но тогда целые числа встречаются через каждые 4 числа, и всего их как минимум 12 ⇒ Противоречие, 11 целых быть не может
Ответ: а) Да; б) Нет; в) 11
*здесь int(49/k) - целая часть 49/k

Из таблицы вероятность выигрыша в 10 руб равна 990/1000, в 50 руб - 6/1000, в 100 руб - 3/1000, в 5000 руб - 1/1000. Тогда по определению математического ожидания для дискретной величины (взвешенное по вероятностям среднее принимаемых ею значений) мат. ожидание выигрыша равно 10*0,99+50*0,006+100*0,003+5000*0,001 = 15,5 руб. Цена билета 50р => Ответ: 50-15,5 = 34,5