Подставляем z² = x²-y² из первого равенства во второе, получаем 11y² = 7x²+5. Подставляя отсюда y² в z², имеем z² = (4x²-5)/11. Итого, складывая всё и приводя к общему знаменателю: 2x²+10y²-23z² = ( 22x²+10(7x²+5)-23(4x²-5) ) / 11 = 165/11 = 15

Условие очевидно переформулируется так: НОД(15N-7,22N-5)>1. По алгоритму Евклида он равен НОД (N-11,79). 79 - простое ⇒ (N-11)⁝79 ⇒ N=79k+11,k∈Z
Простым перебором убеждаемся, что первым подходящим под все условия является k=27, N=2144

По неравенству о средних первый логарифм ≥ 1, а второй ≤ 1. Тогда равенство возможно только когда оба равны по единице. Отсюда x² = y = y⁴ и x = y² = x⁴. Единственная подходящая пара решений - (1;1)