ЗНАКОМСТВО
(неактуально, смотри новое)
Привет! Я Влад, учусь в 11 классе. Кроме обязательного русского сдаю профмат и информатику. В конце лета прозрел и решил попробовать себя в олимпиадной математике.. upd март 2025: весь год занимался именно этим и даже взял диплом Физтеха🥰

В этом канале я планирую:
• проводить текстовые разборы каких-то тем (вы всегда можете подкинуть идейку🥹);
• публиковать полезные материалы и советы для подготовки к ЕГЭ и не только;
• иногда делиться своими мыслями и достижениями;
• вести чат, где каждый может попросить помощи с учёбой и просто поболтать (это, наверное, основной пункт, вступайте обязательно)

Да, таких каналов тысячи, и этот не будет чем-то выдающимся. Я, правда, не собираюсь расписывать тут свои цели на день или то, какой я молодец, что посмотрел целых два веба (это же так интересно) — фокус на пользе для каждого участника. Всем добра! ✍️

Навигация по каналу:
#материалы — различные полезные материалы от онлайн-школ, будь то pdf-файл или видео на ютубе
#уроки — разборы (пока что текстовые) каких-то тем с моим авторским калечным объяснением. Главная тематика и цель канала
#достижения — мои маленькие (или даже немаленькие) победы
#реклама — комментарии излишни

📝 КВАДРАТ СУММЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ
Для интересовавшихся - геометрическое доказательство квадрата суммы:
Возьмём квадрат со стороной a+b. Логично, что его площадь равна (a+b)². Разрежем этот квадрат по сторонам a и b как на картинке. Получили два квадрата со сторонами a и b с площадями a² и b² соответственно. Кроме них есть так же два равных прямоугольника со сторонами a и b (S = ab). Складывая площади всех четырёх фигур, получаем площадь исходного квадрата
Итого: (a+b)² = a² + 2ab + b²
Q.E.D.
Согласитесь, чуть интереснее, чем "раскрой скобки и приведи подобные"
#уроки@mathbotva

Не знаю, чем вам не угодил квадрат суммы, но, отвечая на просьбу из чата: лучшим вариантом справочника по планику из тех, что я видел, будет это. Справочник от Школково
#материалы

Полезнявка по векторам (Математик МГУ)
#материалы

📝 ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 3/9
Дамы и господа, сегодня немного теории чисел. Поговорим о признаках делимости на 3 и на 9. Все знают (надеюсь, что все) о том, что число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3, и аналогично число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
Почему это так? Для этого обратимся к разложению числа по разрядам, т.е. по степеням десятки с какими-то коэффициентами.
Рассмотрим произвольное число abcd...xyz. Пусть в нём есть n цифр. Тогда

abcd...xyz = a•10ⁿ⁻¹ + b•10ⁿ⁻² + c•10ⁿ⁻³ + ... + x•10² + y•10 + z

Мы понимаем, что 10 ≡ 1 (mod 3). Для тех, кто не понял, поясняю: число 10 даёт остаток 1 при делении на 3 (10 сравнимо с 1 по модулю 3). Аналогично 100 ≡ 1 (mod 3), и в общем случае 10ⁿ ≡ 1 (mod 3). Тогда распишем полученное ранее выражение с точки зрения остатков при делении на 3. В нём все степени десятки можно заменить на единицы, и мы получаем a•1 + b•1 + c•1 + d•1 + ... + x•1 + y•1 + z = a + b + c + d + ... + x + y + z. Это и есть заветная сумма цифр, и если она будет делиться на 3, то и всё число будет делиться на 3. Кроме того, мы понимаем, что на самом деле это не только признак делимости, но ещё и признак равноостаточности, т.е. число даёт такой же остаток при делении на 3, что и его сумма цифр при делении на 3. Абсолютно то же самое можно получить и по модулю 9, ведь 10ⁿ ≡ 1 (mod 9).
#уроки@mathbotva

Теория по экономической задаче (Школково)
#материалы

Параметр от Математика МГУ
#материалы

Школково. Всё по теории чисел
#материалы

А кстати, все же здесь хотя бы примерно знают, откуда взялась формула дискриминанта и корней квадратного уравнения? Или тайна за семью печатями, свыше пришло?

Всё с вами понятно

📝 ФОРМУЛА ДИСКРИМИНАНТА
Так, ну, вроде бы ± видно и читаемо. Зелёным цветом сбоку пояснения к соответствующим строчкам
#уроки@mathbotva

Математик МГУ. Текстовые задачи
#материалы

Чего притихли, салаги? Ловите шпору по интервалам от Школково, это точно всем пригодится
#материалы

📝 НЕРАВЕНСТВО О СРЕДНИХ
Надеюсь, хотя бы кто-то здесь знает о том, что среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического. Вообще-то сюда ещё входит среднее квадратическое и среднее гармоническое, а всё это неравенство является частным случаем неравенства Коши о средних, но абстрагируемся от этого и вернёмся к изначальной формулировке. Почему это верно?
Возьмём квадрат разности (x-y)². Все же согласны, что любой квадрат по определению неотрицателен? (x-y)²≥0
Раз мы говорим о среднем арифметическом, неплохо было бы получить под квадратом сумму.. Ага, прибавим к обеим частям неравенства 4xy, и попутно раскроем скобки в квадрате разности:

(x²-2xy+y²) + 4xy ≥ 4xy

Приведём подобные слагаемые слева:

x²+2xy+y² ≥ 4xy

А это ведь и есть квадрат суммы! Сворачиваем:

(x+y)² ≥ 4xy

Так как мы изначально говорили, что оба числа неотрицательны (x≥0; y≥0), то обе части неравенства также неотрицательны, и мы можем спокойно извлекать из них корень. В общем случае корень из (x+y)² даст |x+y|, но в нашем случае (см.выше) получаем чистую сумму x+y. √4xy = 2√xy. Получаем:

x+y ≥ 2√xy

Всё уже готово, осталось только поделить обе части на 2:

(x+y)/2 ≥ √xy

Получили желаемое.
Не нужно же напоминать о том, что такое среднее арифметическое и среднее геометрическое, да?
#уроки@mathbotva

Свойства логарифмов (Школково)
#материалы

Ну, тупо скачанные файлы из открытого доступа тут больше ценят, чем тексты, над которыми я стараюсь, поэтому вот вам теория по графикам и производной (Школково)
#материалы

📝 ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
Просили геометрию? Держите. Возможно, кто-то знает, но не уверен, что все поголовно: самое базовое и классическое доказательство теоремы Пифагора.
Возьмём прямоугольный треугольник с катетами a,b и гипотенузой c и трижды повернём его на 90 градусов. Получили большой квадрат со стороной a+b и внутри него, в общем-то, ещё один квадрат, но стоит обосновать это строго (под спойлером доказательство, в теории его можно пропустить, но не рекомендую):
Все стороны данного четырёхугольника образованы гипотенузами исходного треугольника, а значит, равны между собой, то есть перед нами как минимум ромб. Из суммы углов треугольника углы 1 и 2 (см. изображение) в сумме дают 90°, а из равенства треугольников получаем равенство углов 2 и 3 как соответственных элементов. Значит, ∠1+∠3 = 90°, но эти два угла в сумме с углом нашего четырёхугольника образуют развёрнутый угол (180°), а значит, этот угол равен 90°. Получили, что в нашем ромбе (см.выше) один из углов прямой, а значит, это квадрат.
Имеем квадрат со стороной c (его площадь равна c²). Площадь четырёх одинаковых прямоугольных треугольников равна 4*(ab/2) = 2ab.
ab/2 - формула площади прямоугольного треугольника через катеты (их полупроизведение)

Теперь берём тот же квадрат со стороной a+b, но теперь разрезаем его на четыре части так, как показано на иллюстрации. Получаем, что исходный квадрат состоит из квадрата со стороной а (S = a²), квадрата со стороной b (S = b²) и двух прямоугольников со сторонами a и b (S = ab). К слову, вам это уже знакомо из доказательства квадрата суммы, см. здесь.
Проанализируем полученное. Очевидно, что одинаковые квадраты имеют одинаковую площадь. Слева из такого квадрата мы вырезали квадрат площадью c² и треугольники с суммарной площадью 2ab:

Sкв = c² + 2ab

А справа - два квадрата с площадями a² и b² соответственно, а также два прямоугольника с суммарной площадью 2ab.

Sкв = a² + b² + 2ab

Приравниваем правые части:

c² + 2ab = a² + b² + 2ab

Погодите-ка, и там и там 2ab, а это значит, что и суммарные площади остальных элементов равны между собой (на языке алгебры - вычтем из обоих частей 2ab). Получили желаемое:

c² = a² + b²

Q.E.D.
#уроки@mathbotva

Справочник по стереометрии (Школково)
#материалы