По теореме Безу для целочисленных многочленов P(a) - P(b) ⁝ a-b
P(x) - P(4) ⁝ x-4 ⇔ -9 ⁝ x-4 ⇒ x-4 = ±1, ±3, ±9. Решая эти уравнения, получаем единственный подходящий корень x=13

Точка O — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Продолжение отрезка BO за точку O пересекает описанную вокруг треугольника ABC окружность в точке D. Найдите угол B, если OD = 4AC.

По лемме о трезубце AD=OD=CD=4AC. Отсюда по теореме косинусов для △ADC cos∠ADC = 31/32. Из вписанности ABCD ∠B = 180°-∠ADC ⇒ cos∠B = -31/32 ⇒ ∠B = arccos(-31/32)

Подставляем z² = x²-y² из первого равенства во второе, получаем 11y² = 7x²+5. Подставляя отсюда y² в z², имеем z² = (4x²-5)/11. Итого, складывая всё и приводя к общему знаменателю: 2x²+10y²-23z² = ( 22x²+10(7x²+5)-23(4x²-5) ) / 11 = 165/11 = 15

Условие очевидно переформулируется так: НОД(15N-7,22N-5)>1. По алгоритму Евклида он равен НОД (N-11,79). 79 - простое ⇒ (N-11)⁝79 ⇒ N=79k+11,k∈Z
Простым перебором убеждаемся, что первым подходящим под все условия является k=27, N=2144

По неравенству о средних первый логарифм ≥ 1, а второй ≤ 1. Тогда равенство возможно только когда оба равны по единице. Отсюда x² = y = y⁴ и x = y² = x⁴. Единственная подходящая пара решений - (1;1)