А теперь 2^9, удвоились чуток
Спасибо!

Насчёт задачи дня.. Как я это вижу на данный момент: вероятно всего, каждый день в 12 часов я буду постить какую-то задачкс либо из каких-то источников, либо иногда и сам составлю, если потребуется то в комментах подсказку под спойлер закину, на следующий день решение и условие следующей, хз насколько это будет качественно но почему бы не попробовать, тем более что егэ скоро, но не ручаюсь что все они будут егэшные😉
Ах да, НЕ ЗАБЫВАЙТЕ ПИХАТЬ СВОИ МЫСЛИ ПОД СПОЙЛЕР‼️

Сегодня начнём с разминочной:
Задача дня №1

Натуральные числа от 1 до 200 разбили на 50 множеств. Докажите, что в одном из них найдутся три числа, являющиеся длинами сторон некоторого треугольника.

#задачадня@mathbotva

Итак, решение:

Рассмотрим числа 100, 101, 102, 103, ..., 200. Всего их 101, а значит, по принципу Дирихле какие-то три попадут в одно множество. Очевидно, что для них неравенство треугольника соблюдается, а значит, это и есть искомое множество, ч.т.д.

Продолжаем, сегодня тоже дичайшая халява, но это пока..
Задача дня №2

P(x) - многочлен с целыми коэффициентами. Известно, что уравнение P(x) = 8 имеет целый корень на полуоси x≥8 и P(4) = 17. Найти этот корень.

#задачадня@mathbotva

Решение вчерашней разминки:

По теореме Безу для целочисленных многочленов P(a) - P(b) ⁝ a-b
P(x) - P(4) ⁝ x-4 ⇔ -9 ⁝ x-4 ⇒ x-4 = ±1, ±3, ±9. Решая эти уравнения, получаем единственный подходящий корень x=13

Разогрелись, теперь приступаем к чему-то относительно боевому, хотя пока еще тоже легко
Задача дня №3

Точка O — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Продолжение отрезка BO за точку O пересекает описанную вокруг треугольника ABC окружность в точке D. Найдите угол B, если OD = 4AC.

#задачадня@mathbotva

Решение геомы:

По лемме о трезубце AD=OD=CD=4AC. Отсюда по теореме косинусов для △ADC cos∠ADC = 31/32. Из вписанности ABCD ∠B = 180°-∠ADC ⇒ cos∠B = -31/32 ⇒ ∠B = arccos(-31/32)

Что ж, перейдём к чему-то более злободневному.. Трига. Повыше уровня егэ, конечно, но как раз будет полезно
Задача дня №4
#задачадня@mathbotva

Решение триги:
(Банк задач Школково кормит)

Тут просто системка, ничего сложного
Задача дня №5
#задачадня@mathbotva

Решение:

Подставляем z² = x²-y² из первого равенства во второе, получаем 11y² = 7x²+5. Подставляя отсюда y² в z², имеем z² = (4x²-5)/11. Итого, складывая всё и приводя к общему знаменателю: 2x²+10y²-23z² = ( 22x²+10(7x²+5)-23(4x²-5) ) / 11 = 165/11 = 15

А как теперь насчёт параметра?
Задача дня №6
#задачадня@mathbotva

Решение. Раскладывается как квадратное относительно a через дискриминант

Сегодня вот такая теория чисел (под спойлером подсказка)
НОД, Евклид
Задача дня №7
#задачадня@mathbotva