🤔 ЛИРИЧЕСКОЕ ОТСТУПЛЕНИЕ
Вот и приближается к концу учебный год, у многих на горизонте уже ощутимо маячат экзамены. Кто-то готовился целый год, а может, и больше; кто-то только начинает (пупупу), а кто-то в состоянии варёного овоща после олимпиадного сезона, и хорошо если с дипломом, иначе овощ ещё и суицидальный.. Но не будем о грустном. Так или иначе, очень многие уже прошли долгий и непростой путь, и сейчас главное - не сдаться перед самым финишем. Вспомните, сколько всего вы уже сделали, похвалите себя, в конце концов - вы это заслужили. Вот ты, да, именно ты, послушай меня. Ты молодец, я это знаю. Твоя жизнь только начинается, и все эти егэ, всеросы, сессии ты будешь вспоминать с ностальгической улыбкой. Главное - не паникуй, всё хорошо. Выйди прогуляйся, посмотри на природу. Не забывай, конечно, про пункты из этого поста - они сейчас актуальны как никогда. Чем бы ты не занимался - продолжай в том же духе, всё у тебя получится. Спасибо за внимание.
#послушай@mathbotva

📝 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ПРОГРЕССИИ
Сегодня обсудим более лайтовую тему. В общем случае последовательность - это набор каких-либо пронумерованных объектов. Зачастую рассматриваются именно числовые последовательности. Один из самых распространённых примеров последовательности - числа Фибоначчи, где два первых члена - единицы, а каждое последующее число определяется как сумма двух других.
🎯 Прогрессия - это вид последовательности, где каждый член находится в связи с предыдущим, причём связь эта едина для всей прогрессии. Прогрессии бывают арифметические, геометрические, арифметико-геометрические, гармонические и т.д., но в школе обычно затрагиваются только первые два вида, их и рассмотрим поподробнее.
🎯 Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый последующий член отличается от предыдущего на фиксированное число, называемое разностью арифм. прогресии (обычно обозначается буквой d, а сами члены - a с индексом их порядкового номера)
То есть общий вид арифметической прогресии: a, a+d, a+2d, a+3d, ... , a+(n-1)d
Последнее число, кстати, это формула n-ного члена арифм. прогрессии aₙ = a+(n-1)d. Например, a₁₀ = a+9d
Рассмотрим первые n членов арифм. прогрессии. Быстро становится понятно, что все числа разбиваются на пары с одинаковой суммой: a₁ c aₙ, a₂ c aₙ₋₁ и т.д. Тогда, посчитав количество таких пар, мы можем найти сумму всех n членов, умножив сумму пары на число пар. Если n чётно, то всё совсем очевидно - всё разбивается на пары, которых ровно n/2, и жизнь прекрасна. А если n нечётно? На самом деле всё то же самое, только центральное число находится как бы "в паре с самим собой", причём оно в точности равно сумме каждой из таких пар, а значит, ничего в наших рассуждениях не меняется. Мы получили формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии: Sₙ = (a₁ + aₙ)•n/2
Не стоит также забывать про характеристическое свойство арифметической прогрессии, которое может служить её альтернативным определением (поэтому прогрессия и называется арифметической):

Каждый член арифметической прогрессии, кроме крайних, является средним арифметическим двух соседних с ним.

🎯 Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый последующий член отличается от предыдущего в какое-то фиксированное ненулевое число раз (знаменатель геом. прогрессии q; сами члены, кстати, обозначаются как b с индексом; b≠0; q≠0)
Общий вид геометрической прогрессии: b, bq, bq², bq³, ... , bqⁿ⁻¹
По очевидным причинам n-ный член геом. прогрессии bₙ = bqⁿ⁻¹
С суммой первых n членов геом. прогрессии всё чуть прозаичнее, но нужно кое-что знать про тождественные преобразования. Итак, Sₙ = b+bq+bq²+bq³+...+bqⁿ⁻¹ = b(1+q+q²+q³+...+qⁿ⁻¹).
Знатоки формул сокращенного умножения знают, что по разности n-ных степеней qⁿ-1 = (q-1)(qⁿ⁻¹+qⁿ⁻²+...+q³+q²+q+1). Но ведь вторая скобка - это ровно то, что нам нужно! Её можно выразить как (qⁿ-1)/(q-1), и тогда Sₙ = b•(qⁿ-1)/(q-1) = b•(1-qⁿ)/(1-q)
По аналогии с арифм. прогрессией, геометрическая получила своё название благодаря характеристическому свойству:

Модуль каждого члена геометрический прогрессии, кроме крайних, является средним геометрическим двух соседних с ним.

Здесь стоит быть осторожным со знакочередующимися прогрессиями - можно напороться на корень из отрицательного числа, чего не хотелось бы.
Отдельно стоит рассмотреть бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Если |q|<1 и n→∞, то qⁿ→0, тогда 1-qⁿ→1, а значит, Sₙ→b/(1-q).
Имеем сумму бесконечно убывающей геом. прогрессии: Sₙ = b/(1-q)
Разумеется, у этих прогрессий есть множество очень редких специфических свойств, которые мы здесь затрагивать не будем - все они элементарно выводятся из вышесказанного.
#уроки@mathbotva

А вообще вот вопрос: что ещё вы бы хотели видеть в этом канале? Мб какие-то постоянные рубрики или хотя бы иногда
Желательно конкретно, спасибо

А теперь 2^9, удвоились чуток
Спасибо!

Насчёт задачи дня.. Как я это вижу на данный момент: вероятно всего, каждый день в 12 часов я буду постить какую-то задачкс либо из каких-то источников, либо иногда и сам составлю, если потребуется то в комментах подсказку под спойлер закину, на следующий день решение и условие следующей, хз насколько это будет качественно но почему бы не попробовать, тем более что егэ скоро, но не ручаюсь что все они будут егэшные😉
Ах да, НЕ ЗАБЫВАЙТЕ ПИХАТЬ СВОИ МЫСЛИ ПОД СПОЙЛЕР‼️

Сегодня начнём с разминочной:
Задача дня №1

Натуральные числа от 1 до 200 разбили на 50 множеств. Докажите, что в одном из них найдутся три числа, являющиеся длинами сторон некоторого треугольника.

#задачадня@mathbotva

Итак, решение:

Рассмотрим числа 100, 101, 102, 103, ..., 200. Всего их 101, а значит, по принципу Дирихле какие-то три попадут в одно множество. Очевидно, что для них неравенство треугольника соблюдается, а значит, это и есть искомое множество, ч.т.д.

Продолжаем, сегодня тоже дичайшая халява, но это пока..
Задача дня №2

P(x) - многочлен с целыми коэффициентами. Известно, что уравнение P(x) = 8 имеет целый корень на полуоси x≥8 и P(4) = 17. Найти этот корень.

#задачадня@mathbotva

Решение вчерашней разминки:

По теореме Безу для целочисленных многочленов P(a) - P(b) ⁝ a-b
P(x) - P(4) ⁝ x-4 ⇔ -9 ⁝ x-4 ⇒ x-4 = ±1, ±3, ±9. Решая эти уравнения, получаем единственный подходящий корень x=13

Разогрелись, теперь приступаем к чему-то относительно боевому, хотя пока еще тоже легко
Задача дня №3

Точка O — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Продолжение отрезка BO за точку O пересекает описанную вокруг треугольника ABC окружность в точке D. Найдите угол B, если OD = 4AC.

#задачадня@mathbotva

Решение геомы:

По лемме о трезубце AD=OD=CD=4AC. Отсюда по теореме косинусов для △ADC cos∠ADC = 31/32. Из вписанности ABCD ∠B = 180°-∠ADC ⇒ cos∠B = -31/32 ⇒ ∠B = arccos(-31/32)

Что ж, перейдём к чему-то более злободневному.. Трига. Повыше уровня егэ, конечно, но как раз будет полезно
Задача дня №4
#задачадня@mathbotva