📝 ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ. ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ
Когда-то давным-давно, еще вторым текстовым постом в канале, мы обсудили признак делимости на 3 и 9, хотя, конечно, давно уже стоило расширить эту тему.
Все описанные ниже признаки работают в обе стороны, и для них справедлива формулировка "тогда и только тогда", но мне лень её писать, да и кому вообще досконально интересна такая логика?
Итак, начнём:
• Число чётно, если оно оканчивается на чётную цифру - здесь всё очевидно.
• Число даёт такой же остаток при делении на 3/9, что и его сумма цифр при делении на 3/9 (доказательство см. в посте по ссылке выше).
• Число делится на 4, если две его последние цифры делятся на 4 (здесь под "двумя последними цифрами" подразумевается число, образованное этими цифрами).
На самом деле это можно обобщить для произвольной степени двойки:

Число делится на 2ⁿ, если число, образованное его последними n цифрами, делится на 2ⁿ

• Число делится на 5, если оно оканчивается на 0 или 5.
Тут также имеется обобщение:

Число делится на 5ⁿ, если число, образованное его последними n цифрами, делится на 5ⁿ

• Число делится на 6, если оно делится на 2 и 3 - тривиальная, но очень важная логика, работающая для любого составного числа.
• Число делится на 7, если разность числа без последней цифры и его удвоенной последней цифры делится на 7.
Пусть есть число abcdefg, где a,b,c,d,e,f,g - цифры в его десятичной записи. Тогда нам нужно посчитать abcdef - 2g и понять, делится ли оно на 7.
• Число делится на 10, если оно оканчивается нулём (банальнее некуда).
• Число делится на 11, если его знакочередующаяся сумма цифр делится на 11. Чуть подробнее:
Пусть есть число abcdefg, где a,b,c,d,e,f,g - цифры в его десятичной записи. Тогда его знакочередующаяся сумма цифр - это a-b+c-d+e-f+g, проще говоря, берём первую цифру со знаком "плюс", а далее чередуем их до конца.
Признаки делимости на простые числа типа 13 и выше никакого смысла не имеют, в этом случае реально проще считать руками. С составными, как было сказано в пункте про делимость на 6, мы поступаем просто - раскладываем на простые множители, признаки делимости на которые мы знаем, либо проверяем руками и объединяем требования.
#уроки@mathbotva

ГОООООЛ
#достижения@mathbotva

📝 ВСЯКИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СИМВОЛЫ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
Бу! Испугались? Не бойтесь, я всего лишь определение предела функции по Коши (см. изображение 1). Возможно, вы даже не можете его пока что понять.. Что это за перевёрнутые буковки Е и А? Или, вдобавок к насущным вопросам, что означают буквы Σ и П с какими-то символами сверху и снизу? Вот давайте и разберёмся.
∃— квантор существования (от англ. exist). Читается как "найдётся", "существует", "для некоторого", т.е. существует по крайней мере один объект, удовлетворяющий данному предикату (утверждению).
∃! — квантор существования и единственности, т.е. объект, удовлетворяющий данном предикату (утверждению), существует, причём ровно один.
∀— квантор всеобщности (от нем. für Alle). Читается как "для любого", "для каждого", "для всех" / "любой", "каждый", "все", т.е. все объекты из указанного множества удовлетворяют данному предикату (утверждению).
Теперь переходим к обозначению суммы - это заглавная греческая буква "сигма" Σ. Снизу от неё обычно указывается нижний предел, а сверху - верхний предел суммирования (от какого числа до какого суммируем). После знака суммы идёт сам общий вид суммируемых переменных. Например, (см. изображение 2) - это выражение читается как "сумма a i-тых от 1 до 5", т.е. а с индексами, пробегающими значение от 1 до 5 (по умолчанию только натуральными). Очевидно, что это сумма a1+a2+a3+a4+a5.
Теперь нам будет проще понять обозначение произведения (заглавная буква П), ведь оно абсолютно аналогично. Сверху и снизу - верхняя и нижняя границы перемножения соответственно, далее сама переменная. См. изображение 2 - "произведение a i-тых от 1 до 5", т.е. a1•a2•a3•a4•a5.
#уроки@mathbotva

Канал dead, стата в нулину, НадЭн слита, зато у меня есть печеньки>>>>

📝 ГРАФЫ. НАЧАЛО
Ну, хотите пожёстче - будут вам графы
Очень многие явления и ситуации в нашей жизни можно представить графически. Самое банальное - транспортные карты, дороги между городами и т.д.
Граф - это совокупность множества вершин и множества рёбер. При этом сами вершины являются объектами, а рёбра - связями между ними. В примере выше города будут вершинами, а дороги - рёбрами. Ну хорошо, а что если движение по дорогам исключительно одностороннее? Так мы приходим к понятию ориентированного графа (сокращённо орграфа), каждое ребро которого имеет начало и конец (в таком случае эти рёбра называются дугами).
Концевые вершины любого ребра называются инцидентными этому ребру, и наоборот, ребро инцидентно вершинам, которые оно соединяет. Вершины называются смежными, если они соединены ребром. Степень вершины - это количество инцидентных ей (проще говоря, выходящих из неё) рёбер. Вершина со степенью 0 называется изолированной (логично, ведь она ни с кем ни соединена), а со степенью 1 - висячей, или листом (об этом чуть позже).
В случае неорграфа рёбра называются кратными, если они соединяют одну и ту же пару вершин, а в случае орграфа - если их начала и концы совпадают. Петля - это ребро, у которого начало и конец совпадают (оно как бы сразу "возвращается обратно"). Графы без кратных рёбер и петель называются простыми.
Граф, в котором две любые вершины соединены ровно одним ребром, называется полным. Пусть в нём есть n вершин, тогда из каждой выходит по n-1 ребру, а значит, всего рёбер n(n-1)/2. Раз уж мы начали считать рёбра, то давайте подумаем вот о чём - если мы сложим степени всех вершин любого графа, то каждое ребро в этой сумме будет учтено дважды по очевидным причинам, т.е. сумма степеней вершин произвольного графа равна удвоенному числу его рёбер (имеет место равенство S=2k, где S - сумма степеней вершин, а k - число рёбер). Значит, S всегда чётно. Чётные слагаемые на чётность суммы не влияют, тогда получается, что нечётных слагаемых обязательно должно быть чётное число. Мы получаем утверждение, называемое леммой о рукопожатиях:

В произвольном графе количество вершин нечётной степени всегда чётно.

Вот, кстати, хороший пример применения графов - принять людей за вершины, а утверждение "А и В пожали руки" обозначать ребром между А и В. Это полезно в различных комбинаторных сюжетах про какую-нибудь дружбу, вражду и т.д., да и в целом в комбинаторике, а ещё, например, в теории игр и теории групп, не говоря уже про глобальное применение графов в других науках.
#уроки@mathbotva

Мы почему-то еще не набрали миллион подписчиков, всё, канал закрывается

Где ещё вы найдёте бесплатные пробники по профмату с проверкой🫣
Кстати, олмат в 16:00 составлял я, гляньте - надеюсь, вам понравится)))

Соревнование пробник 6 апреля (гробик). Сдача ответов до 21:00.