📝 ОСНОВЫ КОМБИНАТОРИКИ
Стоило поговорить про неё раньше, но всё-таки лучше поздно, чем никогда. В зачаточном виде вы могли её встречать и в средней школе, однако на ЕГЭ её нет, а значит нахрен надо, не правда ли? 🤡

Допустим, мы выбираем несколько предметов последовательно друг за другом - например, хотим составить набор из кубика и шарика, причём всего у нас есть 5 кубиков и 6 шариков, различных между собой (что важно!). Сколько существует способов собрать такой набор? Возьмём случайный кубик. Для него у нас есть 6 вариантов выбрать шарик, но ведь кубиков 5, и для каждого есть по 6 вариантов выбора шарика => всего таких способов 5•6=30.

Правило умножения:
Если элемент A можно выбрать n способами, и при любом выборе A элемент B можно выбрать m способами, то пару (A, B) можно выбрать n·m способами.

А когда мы рассматриваем различные случаи, которые не могут пересекаться? Вообще, выстроив некую аналогию с вероятностями, становится понятно, что здесь мы будем складывать. Например, когда из 5 кубиков и 6 шариков мы хотим выбрать лишь один предмет, то у нас 5+6=11 способов это сделать.

Правило сложения:
Если элемент A можно выбрать n способами, а элемент B можно выбрать m способами, причём любой выбор элемента A отличен от любого выбора элемента B, то выбрать A или B можно n+m способами.

Теперь такой вопрос: пусть у нас есть n различных объектов. Сколько существует способов переставить их между собой? Допустим, на первое место у нас n вариантов, на второe n-1 и т.д. до 3,2,1. Мы последовательно выбирали, какой предмет куда поставить, значит, это всё нужно перемножить. Получаем 1•2•3•...•(n-1)•n способов. По определению произведение всех натуральных чисел от 1 до n равно n! (факториал числа n) — это и есть число перестановок из n элементов.

Представим такую ситуацию - нам нужно посчитать количество дорог между 5 городами, если каждый соединён с каждым ровно одной дорогой. Будем считать дороги по простой логике: выберем первый город, где она начинается (5 способов), а затем второй, где она заканчивается (4 способа). Каждый такой выбор соответствует ровно одной дороге, а значит, всего их 5•4=20 шт. Или нет? А кто дал нам право делить города на "первый" и "второй"? Ведь мы можем, наоборот, начать со второго и прийти в первый! Получается, что каждая дорога была подсчитана дважды, и на самом деле их 20/2=10. Это очень важная идея, про которую всегда нужно помнить и которую можно условно назвать правилом деления. Знающие скажут, что в данном примере это графы и лемма рукопожатиях, но об этом в другой раз

А что если мы хотим выбрать несколько объектов из какого-то количества без учёта порядка? Например, обозначим общее количество объектов за n, а количество выбираемых нами - за k. Тогда в качестве первого мы можем выбрать любой из n, затем любой из n-1 и так далее до n-k+1. Получаем n•(n-1)•...•(n-k+1). Но это громоздздкая и неудобная запись, и её можно сократить, представив в виде n!/(n-k)!, ведь действительно, весь лишний хвост при делении сократится и останется нужное нам произведение.
Также не забываем, что порядок объектов нам не важен, а переставить выбранные k элементов мы можем k! способами, значит, на этот факториал нужно поделить, ведь мы эти случаи не различаем. Мы вывели формулу числа сочетаний из n по k (см. изображение выше):

C из n по k или С(n,k) = n!/(k!•(n-k)!)

Хорошо, а когда в аналогичном случае порядок выбираемых нами объектов важен? Тогда логично, что на k! делить не нужно, ведь мы различаем эти расстановки. Получаем формулу числа размещений из n по k (см. выше):

А из n по k или A(n,k) = n!/(n-k)!

Охохо, это возможно самый длинный пост в канале на данный момент, я ещё и латех начал осваивать ради формул на пикче. Крякните там в комментах, если хоть дочитали до этого момента
#уроки@mathbotva

Отрицательный рост - тоже рост

Почему тут реакций больше чем на посте который я писал три часа
Спасибо

Че думали, в сказку попали? Держите и не расслабляйтесь

📝 ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ. ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ
Когда-то давным-давно, еще вторым текстовым постом в канале, мы обсудили признак делимости на 3 и 9, хотя, конечно, давно уже стоило расширить эту тему.
Все описанные ниже признаки работают в обе стороны, и для них справедлива формулировка "тогда и только тогда", но мне лень её писать, да и кому вообще досконально интересна такая логика?
Итак, начнём:
• Число чётно, если оно оканчивается на чётную цифру - здесь всё очевидно.
• Число даёт такой же остаток при делении на 3/9, что и его сумма цифр при делении на 3/9 (доказательство см. в посте по ссылке выше).
• Число делится на 4, если две его последние цифры делятся на 4 (здесь под "двумя последними цифрами" подразумевается число, образованное этими цифрами).
На самом деле это можно обобщить для произвольной степени двойки:

Число делится на 2ⁿ, если число, образованное его последними n цифрами, делится на 2ⁿ

• Число делится на 5, если оно оканчивается на 0 или 5.
Тут также имеется обобщение:

Число делится на 5ⁿ, если число, образованное его последними n цифрами, делится на 5ⁿ

• Число делится на 6, если оно делится на 2 и 3 - тривиальная, но очень важная логика, работающая для любого составного числа.
• Число делится на 7, если разность числа без последней цифры и его удвоенной последней цифры делится на 7.
Пусть есть число abcdefg, где a,b,c,d,e,f,g - цифры в его десятичной записи. Тогда нам нужно посчитать abcdef - 2g и понять, делится ли оно на 7.
• Число делится на 10, если оно оканчивается нулём (банальнее некуда).
• Число делится на 11, если его знакочередующаяся сумма цифр делится на 11. Чуть подробнее:
Пусть есть число abcdefg, где a,b,c,d,e,f,g - цифры в его десятичной записи. Тогда его знакочередующаяся сумма цифр - это a-b+c-d+e-f+g, проще говоря, берём первую цифру со знаком "плюс", а далее чередуем их до конца.
Признаки делимости на простые числа типа 13 и выше никакого смысла не имеют, в этом случае реально проще считать руками. С составными, как было сказано в пункте про делимость на 6, мы поступаем просто - раскладываем на простые множители, признаки делимости на которые мы знаем, либо проверяем руками и объединяем требования.
#уроки@mathbotva

ГОООООЛ
#достижения@mathbotva

📝 ВСЯКИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СИМВОЛЫ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
Бу! Испугались? Не бойтесь, я всего лишь определение предела функции по Коши (см. изображение 1). Возможно, вы даже не можете его пока что понять.. Что это за перевёрнутые буковки Е и А? Или, вдобавок к насущным вопросам, что означают буквы Σ и П с какими-то символами сверху и снизу? Вот давайте и разберёмся.
∃— квантор существования (от англ. exist). Читается как "найдётся", "существует", "для некоторого", т.е. существует по крайней мере один объект, удовлетворяющий данному предикату (утверждению).
∃! — квантор существования и единственности, т.е. объект, удовлетворяющий данном предикату (утверждению), существует, причём ровно один.
∀— квантор всеобщности (от нем. für Alle). Читается как "для любого", "для каждого", "для всех" / "любой", "каждый", "все", т.е. все объекты из указанного множества удовлетворяют данному предикату (утверждению).
Теперь переходим к обозначению суммы - это заглавная греческая буква "сигма" Σ. Снизу от неё обычно указывается нижний предел, а сверху - верхний предел суммирования (от какого числа до какого суммируем). После знака суммы идёт сам общий вид суммируемых переменных. Например, (см. изображение 2) - это выражение читается как "сумма a i-тых от 1 до 5", т.е. а с индексами, пробегающими значение от 1 до 5 (по умолчанию только натуральными). Очевидно, что это сумма a1+a2+a3+a4+a5.
Теперь нам будет проще понять обозначение произведения (заглавная буква П), ведь оно абсолютно аналогично. Сверху и снизу - верхняя и нижняя границы перемножения соответственно, далее сама переменная. См. изображение 2 - "произведение a i-тых от 1 до 5", т.е. a1•a2•a3•a4•a5.
#уроки@mathbotva

Канал dead, стата в нулину, НадЭн слита, зато у меня есть печеньки>>>>