📝 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ
Окружающий нас мир постоянно наполнен разнообразными событиями, и многие из них можно научиться предсказывать - для этого существует теория вероятности. С классическим определением вероятности знакомы все: это отношение количества благоприятных исходов к количеству всех исходов, т.е. если из 20 событий, которые могут наступить, нас интересуют 4, то вероятность наступления именно одного из интересующих событий равна 4/20=0,2. Всё логично и интуитивно понятно, но это лишь верхушка айсберга. Дабы копнуть глубже, обговорим несколько определений.
• События называются независимыми, если наступление одного не влияет на вероятность наступления другого (например, победа Васи в доте не влияет на погоду за окном). Аналогично, зависимые события влияют друг на друга.
• События называются несовместными, если они не могут произойти одновременно (Вася не может одновременно играть в доту и идти в школу). Аналогично, совместные события могут произойти одновременно.
• События называются противоположными, если они не могут произойти одновременно, но при этом одно из них обязательно произойдёт (в этом отличие от несовместных событий). Например: снег идёт/снег не идёт, жигуль деда завёлся/жигуль деда не завёлся, и т.д.

Итак, что если мы рассматриваем несколько различных несовместных событий и хотим, чтобы произошло хотя бы одно (например, при рассмотрении нескольких разных случаев какой-либо ситуации)? Допустим, вероятность выпадения на кубике тройки или пятёрки. В этом случае вероятности складываются: 1/6+1/6 = 1/3

Теорема сложения вероятностей:
Вероятность наступления одного из несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
P(A или B) = P(A) + P(B), если А и В - несовместные события

Обратимся к противоположным событиям: очевидно, что раз одно из них обязательно произойдёт, то сумма вероятностей обоих событий всегда равна 1.

Р(не А) = 1 - Р(А)

А если вы хотите узнать вероятность наступления нескольких независимых событий одновременно (в частности, наступления какой-то последовательности следующих друг за другом независимых событий)? Подбросив монетку один раз, очевидно, что шанс выпадения орла равен ½. А если подбросить три раза раза? В таких случаях вероятности перемножаются. Шанс выпадения орла три раза подряд равен ½•½•½=1/8

Теорема умножения вероятностей:
Вероятность одновременного наступления нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.
Р(А и В) = Р(А)•Р(В), если А и В - независимые события

Хорошо, мы разобрались с несовместными событиями, а что делать с совместными? Лучшее представление для них - диаграмма Эйлера (см. изображение). Представим вероятности графически: круг А - вероятность наступления события А, круг В - вероятность события В. Тогда вероятность наступления А или В есть общая площадь фигуры, образованной их пересечением (объединение А и В, обозначаемое в математике А∪В). Но если мы просто сложим А и В, то дважды учтём их общую часть, а значит, её нужно вычесть. Пересечение множеств обозначается как А∩В и определяется графически как пересечение кругов А и В, а на деле является вероятностью одновременного наступления А и В.

Вероятность наступления совместных событий:
Р(А∪В) = Р(А) + Р(В) - Р(А∩В), если А и В - совместные события

Очевидно, что если А и В несовместны, то Р(А∩В) = 0 и мы получаем уже знакомую нам теорему о сложении вероятностей.
#уроки@mathbotva

Подборка экономических задач последних лет (Профиматика)
Самое скучное и душное из всего профмата, change my mind
#материалы

Ну, на самом деле на фт было не так уж и плохо, возможно балл на приза скаканёт, чего не хотелось бы

Ну финашка ещё норм (🤡), думал будет и то хуже

Регион уже чуть получше, тут хотя бы 24/70🤡
#достижения@mathbotva

Вроде бы вчера по приколу создал канал, а вот нас уже 2⁸ человек... Огромное спасибо каждому, надеюсь, вы извлекаете тут какую-то пользу (хоть кто-то вообще читает эту писанину, lol?). Буду рад любым пожеланиям, если таковые имеются

📝 ОСНОВЫ КОМБИНАТОРИКИ
Стоило поговорить про неё раньше, но всё-таки лучше поздно, чем никогда. В зачаточном виде вы могли её встречать и в средней школе, однако на ЕГЭ её нет, а значит нахрен надо, не правда ли? 🤡

Допустим, мы выбираем несколько предметов последовательно друг за другом - например, хотим составить набор из кубика и шарика, причём всего у нас есть 5 кубиков и 6 шариков, различных между собой (что важно!). Сколько существует способов собрать такой набор? Возьмём случайный кубик. Для него у нас есть 6 вариантов выбрать шарик, но ведь кубиков 5, и для каждого есть по 6 вариантов выбора шарика => всего таких способов 5•6=30.

Правило умножения:
Если элемент A можно выбрать n способами, и при любом выборе A элемент B можно выбрать m способами, то пару (A, B) можно выбрать n·m способами.

А когда мы рассматриваем различные случаи, которые не могут пересекаться? Вообще, выстроив некую аналогию с вероятностями, становится понятно, что здесь мы будем складывать. Например, когда из 5 кубиков и 6 шариков мы хотим выбрать лишь один предмет, то у нас 5+6=11 способов это сделать.

Правило сложения:
Если элемент A можно выбрать n способами, а элемент B можно выбрать m способами, причём любой выбор элемента A отличен от любого выбора элемента B, то выбрать A или B можно n+m способами.

Теперь такой вопрос: пусть у нас есть n различных объектов. Сколько существует способов переставить их между собой? Допустим, на первое место у нас n вариантов, на второe n-1 и т.д. до 3,2,1. Мы последовательно выбирали, какой предмет куда поставить, значит, это всё нужно перемножить. Получаем 1•2•3•...•(n-1)•n способов. По определению произведение всех натуральных чисел от 1 до n равно n! (факториал числа n) — это и есть число перестановок из n элементов.

Представим такую ситуацию - нам нужно посчитать количество дорог между 5 городами, если каждый соединён с каждым ровно одной дорогой. Будем считать дороги по простой логике: выберем первый город, где она начинается (5 способов), а затем второй, где она заканчивается (4 способа). Каждый такой выбор соответствует ровно одной дороге, а значит, всего их 5•4=20 шт. Или нет? А кто дал нам право делить города на "первый" и "второй"? Ведь мы можем, наоборот, начать со второго и прийти в первый! Получается, что каждая дорога была подсчитана дважды, и на самом деле их 20/2=10. Это очень важная идея, про которую всегда нужно помнить и которую можно условно назвать правилом деления. Знающие скажут, что в данном примере это графы и лемма рукопожатиях, но об этом в другой раз

А что если мы хотим выбрать несколько объектов из какого-то количества без учёта порядка? Например, обозначим общее количество объектов за n, а количество выбираемых нами - за k. Тогда в качестве первого мы можем выбрать любой из n, затем любой из n-1 и так далее до n-k+1. Получаем n•(n-1)•...•(n-k+1). Но это громоздздкая и неудобная запись, и её можно сократить, представив в виде n!/(n-k)!, ведь действительно, весь лишний хвост при делении сократится и останется нужное нам произведение.
Также не забываем, что порядок объектов нам не важен, а переставить выбранные k элементов мы можем k! способами, значит, на этот факториал нужно поделить, ведь мы эти случаи не различаем. Мы вывели формулу числа сочетаний из n по k (см. изображение выше):

C из n по k или С(n,k) = n!/(k!•(n-k)!)

Хорошо, а когда в аналогичном случае порядок выбираемых нами объектов важен? Тогда логично, что на k! делить не нужно, ведь мы различаем эти расстановки. Получаем формулу числа размещений из n по k (см. выше):

А из n по k или A(n,k) = n!/(n-k)!

Охохо, это возможно самый длинный пост в канале на данный момент, я ещё и латех начал осваивать ради формул на пикче. Крякните там в комментах, если хоть дочитали до этого момента
#уроки@mathbotva