МатематИИческая боталка | ЕГЭ, ОГЭ, олимпиады 🏆

📝 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ
Окружающий нас мир постоянно наполнен разнообразными событиями, и многие из них можно научиться предсказывать - для этого существует теория вероятности. С классическим определением вероятности знакомы все: это отношение количества благоприятных исходов к количеству всех исходов, т.е. если из 20 событий, которые могут наступить, нас интересуют 4, то вероятность наступления именно одного из интересующих событий равна 4/20=0,2. Всё логично и интуитивно понятно, но это лишь верхушка айсберга. Дабы копнуть глубже, обговорим несколько определений.
• События называются независимыми, если наступление одного не влияет на вероятность наступления другого (например, победа Васи в доте не влияет на погоду за окном). Аналогично, зависимые события влияют друг на друга.
• События называются несовместными, если они не могут произойти одновременно (Вася не может одновременно играть в доту и идти в школу). Аналогично, совместные события могут произойти одновременно.
• События называются противоположными, если они не могут произойти одновременно, но при этом одно из них обязательно произойдёт (в этом отличие от несовместных событий). Например: снег идёт/снег не идёт, жигуль деда завёлся/жигуль деда не завёлся, и т.д.

Итак, что если мы рассматриваем несколько различных несовместных событий и хотим, чтобы произошло хотя бы одно (например, при рассмотрении нескольких разных случаев какой-либо ситуации)? Допустим, вероятность выпадения на кубике тройки или пятёрки. В этом случае вероятности складываются: 1/6+1/6 = 1/3

Теорема сложения вероятностей:
Вероятность наступления одного из несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
P(A или B) = P(A) + P(B), если А и В - несовместные события

Обратимся к противоположным событиям: очевидно, что раз одно из них обязательно произойдёт, то сумма вероятностей обоих событий всегда равна 1.

Р(не А) = 1 - Р(А)

А если вы хотите узнать вероятность наступления нескольких независимых событий одновременно (в частности, наступления какой-то последовательности следующих друг за другом независимых событий)? Подбросив монетку один раз, очевидно, что шанс выпадения орла равен ½. А если подбросить три раза раза? В таких случаях вероятности перемножаются. Шанс выпадения орла три раза подряд равен ½•½•½=1/8

Теорема умножения вероятностей:
Вероятность одновременного наступления нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.
Р(А и В) = Р(А)•Р(В), если А и В - независимые события

Хорошо, мы разобрались с несовместными событиями, а что делать с совместными? Лучшее представление для них - диаграмма Эйлера (см. изображение). Представим вероятности графически: круг А - вероятность наступления события А, круг В - вероятность события В. Тогда вероятность наступления А или В есть общая площадь фигуры, образованной их пересечением (объединение А и В, обозначаемое в математике А∪В). Но если мы просто сложим А и В, то дважды учтём их общую часть, а значит, её нужно вычесть. Пересечение множеств обозначается как А∩В и определяется графически как пересечение кругов А и В, а на деле является вероятностью одновременного наступления А и В.