Подборка параметров с ФИПИ (Профиматика)
#материалы

📝 МНОГОЧЛЕНЫ. ТЕОРЕМА ВИЕТА
Однажды, ещё на заре развития этого канала, мы разнесли дискриминант и теперь будем добивать квадратные трёхчлены (да и не только) теоремой Виета. Но для начала поговорим о следствии из теоремы Безу. Пусть есть некий многочлен F(x), у которого есть корень a. Поделим F(x) на (x-a), получим F(x) = (x-a)Q(x)+r, где Q(x) - некий многочлен, образовавшийся в результате деления, а r - остаток. Если мы подставим в полученное равенство x=a, то получим F(a) = (a-a)Q(x)+r = r, но ведь мы знаем, что а - корень, а значит, F(a)=0 => r=0. Таким образом, мы доказали один очень важный факт:

Если у многочлена P(x) есть корень a, то P(x) делится на (x-a) без остатка

Вы наверняка знаете про его самый распространённый частный случай, а именно разложение квадратного трёхчлена на множители: ax²+bx+c = a(x-x₁)(x-x₂), где x₁ и x₂ - его корни. Раскроем в этом выражении скобки и сгруппируем: a(x-x₁)(x-x₂) = ax²+ax(-x₁-x₂)+ax₁x₂
Присмотревшись, понимаем, что вообще-то это напоминает его каноническую форму: ax²+bx+c = ax²+ax(-x₁-x₂)+ax₁x₂
Отсюда следует, что bx=ax(-x₁-x₂) => x₁+x₂ = -b/a; c=ax₁x₂ => x₁x₂ = c/a
Узнаёте? Это и есть знаменитая теорема Виета - представление суммы и произведения корней квадратного трёхчлена через его коэффициенты. Но стоп, разве такая очевидная схема справедлива только для многочленов второй степени? Разумеется, нет. Рассмотрим, например, кубический: ax³+bx²+cx+d. Он аналогичным образом раскладывается через корни: a(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃). Раскрываем скобки и группируем: a(x³+(-x₁-x₂-x₃)x²+(x₁x₂+x₂x₃+x₁x₃)x-x₁x₂x₃) = ax³+bx²+cx+d
Значит, x₁+x₂+x₃ = -b/a, x₁x₂+x₂x₃+x₁x₃ = с/a, x₁x₂x₃ = -d/a
Как уже можно было догадаться, это работает для многочленов любой степени - нужно лишь понимать механизм раскрытия скобок: всевозможные одночлены, из каждой скобки по одному слагаемому, тут и С-шки из комбинаторики всплывают. Если хотите, можем обсудить подробнее, это тоже интересно.
#уроки@mathbotva

Финашка как обычно
За 7-8 отдельное спасибо☠

Я этого оммо рот наоборот, ближайшая площадка в 1200 км
Ну скип так скип

А может и хорошо, что я не поехал на омомо.. Что это за жесть

Подборка теории чисел с ЕГЭ последних лет (Профиматика)
#материалы

📝 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ
Окружающий нас мир постоянно наполнен разнообразными событиями, и многие из них можно научиться предсказывать - для этого существует теория вероятности. С классическим определением вероятности знакомы все: это отношение количества благоприятных исходов к количеству всех исходов, т.е. если из 20 событий, которые могут наступить, нас интересуют 4, то вероятность наступления именно одного из интересующих событий равна 4/20=0,2. Всё логично и интуитивно понятно, но это лишь верхушка айсберга. Дабы копнуть глубже, обговорим несколько определений.
• События называются независимыми, если наступление одного не влияет на вероятность наступления другого (например, победа Васи в доте не влияет на погоду за окном). Аналогично, зависимые события влияют друг на друга.
• События называются несовместными, если они не могут произойти одновременно (Вася не может одновременно играть в доту и идти в школу). Аналогично, совместные события могут произойти одновременно.
• События называются противоположными, если они не могут произойти одновременно, но при этом одно из них обязательно произойдёт (в этом отличие от несовместных событий). Например: снег идёт/снег не идёт, жигуль деда завёлся/жигуль деда не завёлся, и т.д.

Итак, что если мы рассматриваем несколько различных несовместных событий и хотим, чтобы произошло хотя бы одно (например, при рассмотрении нескольких разных случаев какой-либо ситуации)? Допустим, вероятность выпадения на кубике тройки или пятёрки. В этом случае вероятности складываются: 1/6+1/6 = 1/3

Теорема сложения вероятностей:
Вероятность наступления одного из несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
P(A или B) = P(A) + P(B), если А и В - несовместные события

Обратимся к противоположным событиям: очевидно, что раз одно из них обязательно произойдёт, то сумма вероятностей обоих событий всегда равна 1.

Р(не А) = 1 - Р(А)

А если вы хотите узнать вероятность наступления нескольких независимых событий одновременно (в частности, наступления какой-то последовательности следующих друг за другом независимых событий)? Подбросив монетку один раз, очевидно, что шанс выпадения орла равен ½. А если подбросить три раза раза? В таких случаях вероятности перемножаются. Шанс выпадения орла три раза подряд равен ½•½•½=1/8

Теорема умножения вероятностей:
Вероятность одновременного наступления нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.
Р(А и В) = Р(А)•Р(В), если А и В - независимые события

Хорошо, мы разобрались с несовместными событиями, а что делать с совместными? Лучшее представление для них - диаграмма Эйлера (см. изображение). Представим вероятности графически: круг А - вероятность наступления события А, круг В - вероятность события В. Тогда вероятность наступления А или В есть общая площадь фигуры, образованной их пересечением (объединение А и В, обозначаемое в математике А∪В). Но если мы просто сложим А и В, то дважды учтём их общую часть, а значит, её нужно вычесть. Пересечение множеств обозначается как А∩В и определяется графически как пересечение кругов А и В, а на деле является вероятностью одновременного наступления А и В.

Вероятность наступления совместных событий:
Р(А∪В) = Р(А) + Р(В) - Р(А∩В), если А и В - совместные события

Очевидно, что если А и В несовместны, то Р(А∩В) = 0 и мы получаем уже знакомую нам теорему о сложении вероятностей.
#уроки@mathbotva