Все формулы для ЕГЭ (Математик МГУ)
#материалы

📝 ОКРУЖНОСТЬ. ЧАСТЬ 3: СНОВА УГЛЫ И КАСАТЕЛЬНЫЕ!?
Ну что ж, пора наконец доставать лица из салатов и продолжать обсуждать окружность, раз уж вы так хотите.
1) Свойство пересекающихся хорд (изображение 1)
Пусть произвольные хорды AB и CD пересекаются в точке Х. Из равенства углов, отмеченных на изображении α и β, как вписанных, опирающихся на одну дугу (а это мы уже знаем) сразу же следует подобие треугольников XAD и XCB. Как мы знаем, для подобных треугольников справедлива пропорциональность соответствующих сторон, чем сейчас мы и воспользуемся. AD/BC = AX/XC = XD/XB. Первое соотношение нас не шибко интересует, а вот перемножив равенство AX/XC = XD/XB крест-накрест, получаем симпатичное равенство AX•XB=CX•XD, справедливое для любых пересекающихся хорд окружности.
2) Угол между касательной и хордой (изображение 2)
Пусть некая прямая касается окружности в точке А, из которой выходит произвольная хорда AB. Может быть, мы можем как-то красиво выразить уголок между ними?
Отметим центр окружности (точка О) и проведём из него радиусы к точкам А и В. Отметим интересующий нас угол как α. Мы знаем, что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, а значит, наш искомый угол α и угол OAB дополняют друг друга до прямого угла => ∠OAB = 90°-α. Т.к. △OAB - равнобедренный, то ∠OBA=∠OAB=90°-α, а значит, ∠AOB=2α по сумме углов треугольника. Градусная мера дуги, на которую опирается этот угол, также равна 2α. Опаньки, а что это мы получили? Это же дуга, заключённая между касательной и хордой, а интересующий наш угол равен её половине. Так и формулируется эта теорема:

Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине градусной меры дуги, заключённой между ними.

Есть и другая формулировка, по очевидным причинам равносильная этой:

Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на дугу, заключённую между ними.

3) Теорема о касательной и секущей (изображение 3)
Пусть какая-то прямая касается окружности в точке B, а помимо этого на прямой отмечена точка А, из которой проведена секущая, пересекающая окружность в точках C и D. Хотелось бы как-то связать длины этой касательной и секущей, и это можно сделать! Проведём отрезки BC и BD. Теперь мы уже знаем, что ∠ABC=∠ADB как угол между касательной и хордой. Из этого следует, что треугольники ACB и ABD подобны по двум углам (∠A - общий). Опять же, запишем соотношение для их подобия: AC/AB=AB/AD=BC/BD. Из первых двух отношений получаем AB²=AC•AD, что и называется теоремой о касательной и секущей:

Если из одной точки вне окружности к ней проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной равен произведению всей секущей на её внешнюю часть.

На этот раз хватит, уже неплохо. Продолжаем бомбить окружности дальше?
#уроки@mathbotva

Кто-то еще и отписался после этого поста😶‍🌫

Абсолютная база: формулы и преобразования (Математик МГУ)
#материалы

Подборка параметров с ФИПИ (Профиматика)
#материалы

📝 МНОГОЧЛЕНЫ. ТЕОРЕМА ВИЕТА
Однажды, ещё на заре развития этого канала, мы разнесли дискриминант и теперь будем добивать квадратные трёхчлены (да и не только) теоремой Виета. Но для начала поговорим о следствии из теоремы Безу. Пусть есть некий многочлен F(x), у которого есть корень a. Поделим F(x) на (x-a), получим F(x) = (x-a)Q(x)+r, где Q(x) - некий многочлен, образовавшийся в результате деления, а r - остаток. Если мы подставим в полученное равенство x=a, то получим F(a) = (a-a)Q(x)+r = r, но ведь мы знаем, что а - корень, а значит, F(a)=0 => r=0. Таким образом, мы доказали один очень важный факт:

Если у многочлена P(x) есть корень a, то P(x) делится на (x-a) без остатка

Вы наверняка знаете про его самый распространённый частный случай, а именно разложение квадратного трёхчлена на множители: ax²+bx+c = a(x-x₁)(x-x₂), где x₁ и x₂ - его корни. Раскроем в этом выражении скобки и сгруппируем: a(x-x₁)(x-x₂) = ax²+ax(-x₁-x₂)+ax₁x₂
Присмотревшись, понимаем, что вообще-то это напоминает его каноническую форму: ax²+bx+c = ax²+ax(-x₁-x₂)+ax₁x₂
Отсюда следует, что bx=ax(-x₁-x₂) => x₁+x₂ = -b/a; c=ax₁x₂ => x₁x₂ = c/a
Узнаёте? Это и есть знаменитая теорема Виета - представление суммы и произведения корней квадратного трёхчлена через его коэффициенты. Но стоп, разве такая очевидная схема справедлива только для многочленов второй степени? Разумеется, нет. Рассмотрим, например, кубический: ax³+bx²+cx+d. Он аналогичным образом раскладывается через корни: a(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃). Раскрываем скобки и группируем: a(x³+(-x₁-x₂-x₃)x²+(x₁x₂+x₂x₃+x₁x₃)x-x₁x₂x₃) = ax³+bx²+cx+d
Значит, x₁+x₂+x₃ = -b/a, x₁x₂+x₂x₃+x₁x₃ = с/a, x₁x₂x₃ = -d/a
Как уже можно было догадаться, это работает для многочленов любой степени - нужно лишь понимать механизм раскрытия скобок: всевозможные одночлены, из каждой скобки по одному слагаемому, тут и С-шки из комбинаторики всплывают. Если хотите, можем обсудить подробнее, это тоже интересно.
#уроки@mathbotva

Финашка как обычно
За 7-8 отдельное спасибо☠

Я этого оммо рот наоборот, ближайшая площадка в 1200 км
Ну скип так скип

А может и хорошо, что я не поехал на омомо.. Что это за жесть

Подборка теории чисел с ЕГЭ последних лет (Профиматика)
#материалы