Составителям Высшей пробы по матеше: пользуйтесь почаще 👉🧠
Ну или кто там за проходные ответственен

📝 ОКРУЖНОСТЬ. ЧАСТЬ 2: УГЛЫ И КАСАТЕЛЬНЫЕ
Продолжаем разносить окружности. Мы разобрали несколько определений, но это, разумеется, лишь вершина айсберга. Сейчас копнём чуть глубже.
• Вписанный угол - это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. В терминах градусной меры равен половине дуги, на которую он опирается. Отсюда сразу же вытекает несколько очевидных следствий:
1) все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу (или на равные дуги), равны
2) любой вписанный угол, опирающийся на диаметр - прямой. И, кстати, один из вариантов определения окружности - как геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под прямым углом
• Центральный угол - это угол с вершиной в центре окружности. Равен дуге, на которую он опирается (на самом деле сами дуги по определению измеряются через опирающиеся на них центральные углы)
Теперь немного о касательной. В прошлый раз вскользь было упомянуто про самое известное свойство касательной о том, что радиус в точке касания перпендикулярен ей. А что, если мы проведём две касательные из одной точки (см. изображение выше)? В силу равенства всех радиусов окружности OB=OC получаем равенство двух образовавшихся треугольников AOB и AOC (фигура, состоящая из них, называется дельтоид), а значит, и равенство всех соответствующих элементов. В частности это означает, что:
1) AB=AC => отрезки касательных, проведённые из одной точки, равны
2) AO - биссектриса угла A. А это ещё интереснее, ведь выходит, что:
2.1) Центр вписанной в угол окружности лежит на его биссектрисе
2.2) Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон. Только что мы открыли альтернативное определение биссектрисы как геометрическое место точек внутри угла, равноудалённых от его сторон
Пока хватит. В следующий раз продолжаем дальше или взять другую тему?
#уроки@mathbotva

Ну что ж, господа и дамы, вот и подходит к своему логическому завершению MMXXIV, то есть 2024 год. Он был довольно насыщенным на события как лично для меня, так и, я думаю, для многих из вас. Я заметно поменялся внутренне, познакомился с интересными людьми, сделал немало открытий и узнал много нового, так что надеюсь, что подрос интеллектуально, и начал намного активнее развиваться. Можете делиться своими итогами, если таковые имеются, в комментариях.
А ещё в сентябре я по приколу создал этот канал, где уже каким-то макаром набралось больше 150 душ, и я надеюсь, что всё только начинается. Спасибо каждому, кто вообще это всё читает, особенная благодарность активящим в нашем мини-чате и отдельно личная - вам, если этот пост был переслан вам в лс. Спасибо, что остаётесь со мной, вам я особенно признателен)
С Наступающим, друзья! Каждый Новый год мы надеемся, что следующий год будет лучше, но как-то не особо и этот не должен стать исключением! Не забудьте отдохнуть хотя бы в праздники (постарайтесь при этом не утонуть в оливье) и с новыми силами берите эту жизнь в свои руки. Всего вам наилучшего!
P.S. Вжарим тут ёлок вот прям по максимуму, а?🎄

Почему-то никогда не кидал сюда ролики Бориса Трушина, исправляюсь, легендарный дядя
Замечательные точки треугольника
#материалы

Неравенства (Профиматика)
#материалы

Все формулы для ЕГЭ (Математик МГУ)
#материалы

📝 ОКРУЖНОСТЬ. ЧАСТЬ 3: СНОВА УГЛЫ И КАСАТЕЛЬНЫЕ!?
Ну что ж, пора наконец доставать лица из салатов и продолжать обсуждать окружность, раз уж вы так хотите.
1) Свойство пересекающихся хорд (изображение 1)
Пусть произвольные хорды AB и CD пересекаются в точке Х. Из равенства углов, отмеченных на изображении α и β, как вписанных, опирающихся на одну дугу (а это мы уже знаем) сразу же следует подобие треугольников XAD и XCB. Как мы знаем, для подобных треугольников справедлива пропорциональность соответствующих сторон, чем сейчас мы и воспользуемся. AD/BC = AX/XC = XD/XB. Первое соотношение нас не шибко интересует, а вот перемножив равенство AX/XC = XD/XB крест-накрест, получаем симпатичное равенство AX•XB=CX•XD, справедливое для любых пересекающихся хорд окружности.
2) Угол между касательной и хордой (изображение 2)
Пусть некая прямая касается окружности в точке А, из которой выходит произвольная хорда AB. Может быть, мы можем как-то красиво выразить уголок между ними?
Отметим центр окружности (точка О) и проведём из него радиусы к точкам А и В. Отметим интересующий нас угол как α. Мы знаем, что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, а значит, наш искомый угол α и угол OAB дополняют друг друга до прямого угла => ∠OAB = 90°-α. Т.к. △OAB - равнобедренный, то ∠OBA=∠OAB=90°-α, а значит, ∠AOB=2α по сумме углов треугольника. Градусная мера дуги, на которую опирается этот угол, также равна 2α. Опаньки, а что это мы получили? Это же дуга, заключённая между касательной и хордой, а интересующий наш угол равен её половине. Так и формулируется эта теорема:

Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине градусной меры дуги, заключённой между ними.

Есть и другая формулировка, по очевидным причинам равносильная этой:

Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на дугу, заключённую между ними.

3) Теорема о касательной и секущей (изображение 3)
Пусть какая-то прямая касается окружности в точке B, а помимо этого на прямой отмечена точка А, из которой проведена секущая, пересекающая окружность в точках C и D. Хотелось бы как-то связать длины этой касательной и секущей, и это можно сделать! Проведём отрезки BC и BD. Теперь мы уже знаем, что ∠ABC=∠ADB как угол между касательной и хордой. Из этого следует, что треугольники ACB и ABD подобны по двум углам (∠A - общий). Опять же, запишем соотношение для их подобия: AC/AB=AB/AD=BC/BD. Из первых двух отношений получаем AB²=AC•AD, что и называется теоремой о касательной и секущей:

Если из одной точки вне окружности к ней проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной равен произведению всей секущей на её внешнюю часть.

На этот раз хватит, уже неплохо. Продолжаем бомбить окружности дальше?
#уроки@mathbotva

Кто-то еще и отписался после этого поста😶‍🌫

Абсолютная база: формулы и преобразования (Математик МГУ)
#материалы

Подборка параметров с ФИПИ (Профиматика)
#материалы