Что почитать, если любите
математику? 📚

Собрали в Яндекс Книгах
подборку с задачами,
головоломками и полезными
приёмами критического
мышления. Здесь есть и
классика отечественного
научпопа, и современные
разборы того, как цифры
помогают манипулировать
людьми.

*️⃣Для любителей задачек:

🎨🎨🎨«Загадки и диковинки
🎨🎨🎨в мире чисел»
🎨🎨🎨Яков Перельман

Классика отечественного
научпопа — Перельман сто с
лишним лет назад стал одним из
основоположников жанра
занимательной математики, и
его загадки про числа до сих пор
работают. Обязательный пункт
для тех, кто интересуется
историей популяризации науки
в России.

🎨🎨🎨«Стратегии решения
🎨🎨🎨математических задач»
🎨🎨🎨Альфред Позаментье,
Стивен Крулик

На первый взгляд это достаточно
рядовой сборник задач, но
изюминка его вот в чём: авторы
разбирают классические типы
задач и для каждой показывают
два разных пути решения —
ординарный и образцовый.
Предыдущая задача и решение,
кстати, именно из этого
сборника!

🎨🎨🎨«133 вопроса на
🎨🎨🎨знание логики,
🎨🎨🎨математики и физики»
Николай Полуэктов,
Павел Полуэктов

Сборник задач-головоломок на
сообразительность — то, что
можно решать вечером вместо
кроссворда. Логика, немного
физики, немного чистой
математики: авторы явно любят,
когда решение находится не
через формулу, а через щелчок
в голове.

*️⃣Для развития критического мышления:

🎨🎨🎨«Как лгать при
🎨🎨🎨помощи статистики»
🎨🎨🎨Дарелл Хафф

Классика жанра — книга 1954
года, которая до сих пор не
устарела ни на йоту. Мы
писали о ней подробнее
здесь. Хафф на пальцах
показывает, как одни и те же
цифры превращаются в
убедительную ложь:
неудачная выборка,
обрезанный график, «средняя
температура по больнице».
После этой книги
критическое мышление уже
не даст так спокойно
смотреть на инфографику
в новостях.

🎨🎨🎨«Цифры врут. Как не
🎨🎨🎨дать статистике
🎨🎨🎨обмануть себя»
Том Чиверс, Дэвид Чиверс

Современное продолжение
разговора, начатого Хаффом,
— про то же самое, но с
поправкой на эпоху соцсетей
и статистики времён
пандемии. Авторы разбирают
конкретные громкие случаи,
когда журналисты (и учёные)
наступали на одни и те же
грабли, и объясняют, как
отличить надёжное
исследование от шумихи.

🎨🎨🎨«Числоголики»
🎨🎨🎨Микаэль Дален,
🎨🎨🎨Хельге Торбьёрнсен

И ещё одна книга о том, как
числа и статистика
используются и как ими
злоупотребляют в рекламе,
политике и повседневных
решениях. Авторы —
маркетолог и экономист —
показывают, как легко
манипулировать людьми с
помощью на первый взгляд
объективных цифр.

Книги, кстати, доступны в
аудиоформате — их читает
виртуальный рассказчик на
основе речевых технологий Яндекса.

Если понравилась подборка —
ставьте ❤️. Интересных книг
по математике ещё очень
много: соберём продолжение!

#рекомендуем

Почему нейросеть, которая распознаёт картинки, может провалиться на другой задаче?Вчера мы уже приблизились к догадке — всему виной опять математика. А точнее...

Теория сложности вычислений 👀

Это неожиданный сосед теоремы No Free Lunch. Возможно, вы слышали о проблеме равенства классов P и NP — одной из семи проблем тысячелетия. Она посвящена времени и памяти, которые требуются для решения вычислительных задач. Кстати, за её решение назначена премия в миллион долларов.

📃 В теории сложности есть понятие алгоритмического разрыва: он возникает, когда доказанная нижняя граница трудности задачи оказывается ниже, чем сложность лучшего известного алгоритма для неё.

Проще говоря, мы понимаем, что задача в теории не должна быть слишком сложной, но пока не знаем алгоритма, который решает её настолько же эффективно.

Это явление приближает учёных к ответу на вопрос, сколько ресурсов требует задача. Но нас интересует другая сторона: почему один и тот же алгоритм на похожих данных может вести себя по-разному.

Важна природа самой задачи. В ML это называют индуктивным смещением или априорными предположениями. Например:

▶️линейная регрессия предполагает, что зависимости близки к линейным
▶️деревья решений — что пространство признаков можно эффективно разделить последовательностью простых правил
▶️нейронные сети — что сложные зависимости представимы как композиция множества сравнительно простых преобразований

⠀⠀⠀Пример со свёрточными
⠀⠀⠀⠀ нейронными сетями
⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀ (CNN)

Механизм их работы довольно прост — мы изобразили его на карточке. Объясним, что происходит.

Представьте фотографию чашки. Если чашка находится в левом верхнем углу изображения, мы всё равно её узнаём. Если она окажется в центре кадра или справа, ничего не изменится: это та же чашка. Для человека это очевидно, для алгоритма — нет.

Обычная полносвязная сеть рассматривает каждый пиксель независимо: перемещение объекта по изображению меняет набор входных данных.

Свёрточная сеть устроена иначе: в неё заранее встроено предположение, что один и тот же объект должен распознаваться независимо от положения. Это свойство называют трансляционной инвариантностью.

*️⃣Важная деталь: это предположение не следует из данных. Оно заранее заложено разработчиками в архитектуру сети. Именно благодаря этому ограничению CNN работают значительно лучше универсальных полносвязных сетей на изображениях.

То есть мы снова сталкиваемся с парадоксом: сила алгоритма рождается не из универсальности, а из его «предубеждений». Чем больше алгоритм знает о структуре решаемой задачи, тем лучше он работает именно на этом классе задач — и тем хуже справляется с задачами, нарушающими эти предположения.

Эта идея выходит далеко за пределы компьютерного зрения:

▶️рекуррентные сети используют то, что данные образуют последовательности
▶️трансформеры предполагают, что элементы последовательности взаимодействуют друг с другом независимо от расстояния между ними
▶️графовые нейронные сети учитывают связи между объектами
▶️Physics-Informed Neural Networks (PINNs) напрямую встраивают в обучение известные физические законы

Во всех случаях происходит одно и то же: разработчики сознательно жертвуют универсальностью ради эффективности на интересующем их классе задач.

*️⃣Важно не путать это с теоремой об универсальной аппроксимации.

Часто можно услышать: «Нейронная сеть может выучить любую функцию». Это не совсем так. Теорема об универсальной аппроксимации утверждает лишь, что сеть достаточного размера способна представить практически любую непрерывную функцию с нужной точностью.

Но способность выразить решение и способность эффективно его обнаружить — совершенно разные вещи.

Но если под каждую задачу нужны свои предположения, почему современные большие модели выглядят всё более универсальными?

Накидайте 🔥, если интересно, и мы раскроем ответ в следующем посте. А от читателей, работающих с нейросетями, ждём догадки в комментах!

#как_устроено

Удерживаем ваше внимание, как можем, чтобы ответить на вчерашний вопрос и закрыть тему No Free Lunch...

⚡️Если теорема говорит, что универсального алгоритма не существует, почему современные нейросети всё чаще выглядят универсальными

Здесь стоит сделать важную оговорку. Сама теорема No Free Lunch требует усреднения по всем мыслимым задачам, взятым с равной вероятностью. Но что такое «случайно выбранная из всех возможных» задача?

✅ Тут нам пригодится понятие колмогоровской сложности

Если измерять сложность данных через колмогоровскую сложность — длину самой короткой программы, способной их породить, — то почти любой случайно сгенерированный набор данных окажется максимально сложным, несжимаемым шумом.

Реальные же задачи, с которыми работают люди и алгоритмы, — изображения, тексты, звук — как правило, прекрасно сжимаются, то есть обладают низкой колмогоровской сложностью.

Формально теорема остаётся верна для всего пространства задач, но интересующий нас угол этого пространства — крошечная и совсем не типичная его часть.

В 2023–2024 годах исследователи показали, что нейронные сети — причём даже необученные, со случайной инициализацией — охотнее «производят» простые, сжимаемые последовательности. Более того, архитектура, спроектированная под одну область (например, компьютерное зрение), неожиданно хорошо сжимает данные из совсем других, на первый взгляд не связанных с ней областей.

Это, по мнению авторов, отчасти объясняет происходящее сейчас в глубоком обучении: движение не в сторону зоопарка узкоспециализированных моделей, а в сторону всё более крупных и универсальных архитектур, построенных на всё меньшем числе принципов.

✅ У этой мысли есть старый философский родственник — бритва Оккама

В 2011 году Тор Латтимор и Маркус Хаттер поставили вопрос прямо: если No Free Lunch утверждает, что нельзя обойтись без знания конкретной предметной области, то как тогда вообще работает принцип «из двух объяснений выбирай более простое»? Ведь бритва Оккама претендует именно на универсальность — она не привязана к какой-то одной задаче.

Их ответ: строгая версия теоремы верна лишь тогда, когда все мыслимые задачи (включая бесструктурный шум) считаются равновероятными.

Но стоит принять в качестве предположения о мире саму идею простоты — формализованную как универсальное априорное распределение в духе индукции Соломонова, где более «сжимаемые», просто устроенные гипотезы заранее считаются более вероятными, — и парадокс снимается.

Авторы показали, что алгоритм, основанный на таком единственном предположении (простота предпочтительнее сложности), способен успешно работать на любых структурированных, то есть сжимаемых, задачах, не требуя под каждую из них отдельной, специально скроенной модели.

Иначе говоря, бритва Оккама — это не эвристика в обход No Free Lunch, а минимально необходимый «бесплатный ланч»: единственное предположение, которое стоит сделать, если вы заранее не знаете, какая перед вами задача, но подозреваете, что она не абсолютно случайна.

Именно это предположение — пусть и в неявном виде — зашито в устройство современных нейросетей.

🕊 — если вы тоже привыкли не усложнять

#как_устроено

Какой вы тип математика?

❤️ — ноль сомнений в своём деле
🤔 — а вдруг я ушёл не туда?

Поддерживайте равновесие реакциями, а мы пока приведём пример — пару противоположных типажей математиков:

Годфри Харди и Норберт Винер

Харди был одним из главных британских математиков XX века. Он занимался теорией чисел, рядами, дзета-функцией Римана и распределением простых чисел. Вместе с Джоном Литлвудом много лет работал над задачами аналитической теории чисел, а ещё именно Харди разглядел гений Сринивасы Рамануджана.

Харди хорошо известен как защитник математики «ради самой математики». В «Апологии математика» он писал о красоте математических идей как о красоте стихотворения или картины. Для него хорошая математика не обязана сразу чинить мосты, считать прибыль или запускать ракеты. Она может быть ценной просто потому, что в ней есть глубина и неожиданный ход мысли.

Ирония в том, что даже у Харди нашлось прикладное наследие. Например, закон Харди — Вайнберга теперь используют в популяционной генетике: он помогает описывать, как в большой популяции сохраняются частоты генов при определённых условиях.

Винер был другим типом математика. Он поступил в колледж в 11 лет, получил докторскую степень в Гарварде в 18, учился у Бертрана Рассела, Давида Гильберта и, кстати, у самого Харди. Его работы связывали вероятность, броуновское движение, гармонический анализ, преобразование Фурье, теорию связи и инженерные задачи.

Позже Винер стал одним из основателей кибернетики — науки об управлении и связи в машинах, организмах и обществах. Слова «обратная связь», «информация», «контроль» в современном технологическом смысле берут начало из этого круга идей.

Но важен не только масштаб его работ. Винер постоянно сомневался: в себе, в ценности текущей работы, в том, туда ли движется наука. Математик Морис Фреше вспоминал, что во время совместной работы Винер всё время спрашивал: «А стоит ли моя работа того? Не сдаю ли я позиции?»

У этого сомнения была и другая сторона. После Второй мировой войны Винер отказался участвовать в военных исследованиях и писать о работах, которые могли усилить оружие. Для него вопрос «а не туда ли мы идём?» был не только математическим, но и человеческим.

В чём же разность этих типажей?

▶️Харди говорит: чтобы сделать что-то большое, нужно заранее признать свой предмет значительным. Не ждать, пока кто-то со стороны разрешит считать задачу важной. Не извиняться за то, что тратишь силы на абстрактную идею.

▶️Винер напоминает: даже математик, который меняет язык науки, может сомневаться, туда ли он идёт.

Мы согласимся сразу с обоими. Настоящая математика начинается там, где человек достаточно уверен, чтобы продолжать, и достаточно честен, чтобы спросить себя: «А это правда работает?»

Этим сюжетом про математическую нескромность мы вдохновились в канале «Воспоминания математиков». Там можно найти много таких живых эпизодов из истории математики: не только про теоремы, но и про людей, их характеры, сомнения и странные привычки.

Очень рекомендуем — подписывайтесь!

#это_база

Рекомендация для тех, кто мыслит как Арнольд:

⚡️Яндекс Лицей запускает новый самостоятельный онлайн-курс «Математическое мышление для программистов»

Формат обучения свободный — задания можно проходить в свободном темпе, без отбора, расписания и дедлайнов. Материалы доступны круглогодично.

Напомним, что на сайте также лежат другие курсы с тегом math:

• по линейной алгебре
• по машинному обучению

Регистрируйтесь , получайте доступ к популярным библиотекам и осваивайте базу современных технологий!

#рекомендуем

Это мы пишем трактат пост о четвёртом измерении ⬆️

Надеемся, вы соскучились по лонгридам!

#меммат

В последних постах мы много говорили о восприятии времени. Такие темы наводят на вопрос: что такое будущее?

Но вместо того чтобы искать философский ответ, предлагаем приземлиться! Ведь на самом деле будущее — это не что-то далёкое и абстрактное…

🔄Будущее — это уже сейчас🔄

Этот самый момент, в котором вы создаёте новое, узнаёте полезное, задаёте вопрос, ищете решение или ошибаетесь, — вот оно, то самое будущее. До него не нужно «дорастать». Оно уже наступает благодаря вам — всем тем, кто размышляет и ищет.

13 сентября команда Яндекс Образования устраивает большой праздник будущего для школьников, студентов и всех тех, кто хочет менять мир вокруг себя.

Мы встретимся офлайн в Бойлерной на московском Хлебозаводе, чтобы вместе открыть новый учебный год.

⠀⠀⠀⠀⠀
⠀РЕГИСТРАЦИЯ НА ФЕСТ 👉
⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀
⠀
Гостей ждут:

▶️разговоры о том, каким может быть образование будущего
▶️встречи и активности со студентами, преподавателями и яндексоидами, которые каждый день создают новое
▶️зона мерча, где можно будет кастомизировать футболку и забрать её на память
▶️живое выступление Антохи МС

А если вы не из Москвы, заглядывайте в бот Яндекс Образования — там вас ждёт крутой интерактив с призами. Участвуйте и погружайтесь в новое сегодня ❤️

#рекомендуем

Какой у вас тип математического мышления?

В 2003 году исследователь педагогической психологии Илья Каплунович описал пять разных способов подходить к задаче:

1️⃣ Топологическое отвечает за связность рассуждения. Оно помогает увидеть задачу как целое: сначала понять, какие элементы между собой связаны, а потом последовательно двигаться к решению.

2️⃣ Порядковое связано с алгоритмами и последовательностью действий: разложить задачу на шаги, не потерять порядок операций и аккуратно пройти от условия к результату.

3️⃣ Метрическое работает с числами, величинами и конкретными параметрами. Благодаря ему проще сравнивать данные, оценивать ограничения и проверять, насколько решение сходится с реальностью.

4️⃣ Алгебраическое помогает видеть структуру и отношения между элементами. Оно нужно, когда задачу можно преобразовать, собрать из частей или решить не строго линейно, а через более удобную комбинацию.

5️⃣Проективное связано со сменой точки зрения. Оно помогает посмотреть на задачу с разных сторон, быстро оценить ситуацию и найти ход, который не виден при первом подходе.

Обычно эти типы развиты у каждого человека в разных пропорциях. Но если профессия связана с программированием, пригодится всё и сразу.

Как раз для этого Яндекс Лицей запустил самостоятельный онлайн-курс:

⚡️ Математическое мышление для программистов

Формат обучения свободный — задания можно проходить в свободном темпе, без отбора, расписания и дедлайнов. Материалы доступны круглогодично.

Напомним, что на сайте также лежат другие курсы с тегом math:

• по линейной алгебре
• по машинному обучению

Регистрируйтесь , получайте доступ к популярным библиотекам и осваивайте базу современных технологий!

#рекомендуем

⏩️Будущее сложно предсказать, если в формуле слишком много переменных ⏪️

Особенно когда речь про образование, технологии и генеративный ИИ. Здесь слишком много вводных, чтобы делать точный прогноз. Зато можно наблюдать, что меняется уже сейчас, и учиться думать на несколько кодов вперёд.

Дмитрий Баранчук, руководитель GenAI-команды в Yandex Research и преподаватель ШАДа, смотрит на эти изменения изнутри исследовательской работы. Смотрите видео и рассказывайте в комментариях, близок ли вам его подход.

💬 А если вы не хотите ждать перемен и жаждете создавать будущее уже сегодня, предлагаем продолжить разговор вживую.

Приходите на большой фест Back to School. 13 сентября встречаемся на Хлебозаводе в Москве!

Регистрирация по ссылке

Если вы не из Москвы, то переходите в бот Яндекс Образования. Там разыгрывают Яндекс Станции, Яндекс Дропс и другой классный мерч. Удачи!

Дорогие читатели, с 1️⃣ сентября!

Пусть в этом учебном году новые знания с арифметической точностью открывают для вас горизонты будущего: помогают думать на несколько шагов вперёд, смотреть на привычное не как положено и смелее задавать вопросы.

В качестве небольшого подарка собрали вторую подборку с математической полки Яндекс Книг. Она для тех, кто любит не только решать, но и размышлять: зачем математика нужна и как формулы становятся способом говорить о настоящем и будущем.

⠀🎨🎨 🎨🎨 🎨🎨 🎨🎨
⠀🎨🎨 🎨🎨 🎨🎨 🎨🎨
⠀🎨🎨 🎨🎨 🎨🎨 🎨🎨

1️⃣Думай как математик
⠀⠀Барбара Оакли

Книга не столько про саму математику, сколько про то, как её учить и как выстраивать своё мышление, чтобы она давалась
легче. Оакли, известная по курсу «Learning How to Learn», делится практическими приёмами для тех, кто чувствует себя не «математическим типом» и хочет это изменить.

2️⃣Четыре способа мыслить
⠀⠀Дэвид Самптер

Профессор прикладной математики в Университете Уппсалы, автор нескольких научно-популярных бестселлеров, предлагает читателям осмыслить окружающий мир, прибегнув к четырём различным способам мышления — статистическому, интерактивному, хаотическому и сложному.

3️⃣Гёдель, Эшер, Бах
⠀⠀Дуглас Хофштадтер

Эта бесконечная гирлянда — тяжеловес нашего списка. Знаменитая книга, получившая Пулитцеровскую премию, о том, что объединяет теоремы Гёделя о неполноте, литографии Эшера и фуги Баха.

Про самореференцию, формальные системы и природу сознания — читать долго, но это одна из тех книг, которые меняют оптику. Мы уже писали о ней более подробно в нашем сериале про Эшера.

4️⃣MANIAC
⠀⠀Бенхамин Лабатут

Роман-биография, вращающаяся вокруг венгерского гения Джона фон Неймана и созданного его именем компьютера — а вместе с ним и вокруг всей истории XX века, где математика встретилась с ИИ.

Лабатут, уже известный по «Когда мы перестали понимать мир», о которой мы подробно писали тут, мастерски смешивает документальную точность с почти художественным напряжением: безумие Гёделя и Улама, а также победа AlphaGo над Ли Седолем как новая точка в этой истории.

Сохраняйте, делитесь с друзьями и помните: будущее — уже сегодня!

⠀⠀🔄Предыдущая подборка🔄

#рекомендуем