Математик, современник Гаусса, автор «воображаемой геометрии», Николай Лобачевский жил и работал в Казани, где за 19 лет ректорства многое сделал для Императорского Казанского университета в целом, и для его математического факультета в частности. Как ректора Лобачевского уважали, а вот как учёного поняли не сразу.

Будущий создатель неевклидовой геометрии родился в Нижнем Новгороде в 1792 году. Он рос с двумя братьями без отца. Мать Лобачевского была женщиной энергичной и смогла дать сыновьям хорошее образование за казенный счет. Все трое Лобачевских окончили единственную на тот момент в Поволжье и Сибири Казанскую гимназию и поступили в недавно открывшийся на ее основе Императорский университет — тогда самый восточный в России.

Здесь Лобачевский сделал стремительную карьеру. В 19 лет он уже читал лекции, в 21 год стал адъюнктом (доцентом по сегодняшним меркам), в 23 — профессором, в 28 — деканом физико-математического факультета, а в 34 — ректором. Ректоров в те времена избирали университетские советы; за Лобачевского ученые мужи голосовали шесть раз.

Лобачевский был не единственным математиком, приблизившимся к открытию неевклидовой геометрии. Параллельно и независимо от него схожие идеи развивали Карл Фридрих Гаусс (1777–1855), Фердинанд Карл Швейкарт (1780–1857), Франц Адольф Тауринус (1794–1874) и Янош Бойяи (1802–1860). Последний считается первооткрывателем неевклидовой геометрии наряду с российским ученым. Но именно Лобачевский первым опубликовал труд, который бросил вызов всем бытовавшим до этого в математике представлениям. Кроме того, он единственный активно продолжил работать над неевклидовой геометрией и печатать труды по ней, несмотря на обрушившуюся критику.

Главный вывод Лобачевского: евклидова геометрия не абсолютна. Она не всегда способна точно отражать свойства пространства, так как возможно существование пространства, в котором сумма углов треугольника меньше 180°. Поэтому в «воображаемой», как ее называл сам Лобачевский, геометрии выполнялись все аксиомы Евклида, кроме пятой.

Открытие неевклидовой геометрии стало большим шагом вперед в физико-математических дисциплинах. Например, существование теории относительности, показавшей, что пространство значительно сложнее того, каким его представлял себе Лобачевский, было бы невозможно без неевклидовой геометрии.

Именно к дню рождения выдающегося русского математика и одного из первооткрывателей неевклидовой геометрии Николая Лобачевского – 1 декабря 1792 года – был приурочен молодой праздник – день математика. В этом году он будет отмечаться второй раз.

Классический холивар. В чем ошибка? Помните про тождественные преобразования. Не всегда деление является равносильным. В данном случае такое сокращение - деление на ноль, а делить на ноль нельзя!

В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,02 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя
бы один автомат исправен.

Система стандартных бумажных форматов ISO 216 представляет собой не просто удобный каталог размеров, но продуманное математическое решение. Интересно, что ещё в 1923 г., как видно на фото советского свидетельства о рождении, в углу документа уже стояла пометка о формате A5 и размерах 210×148 мм.
Исторически эта идея была предложена в 1786 г. немецким учёным Георгом Кристофом Лихтенбергом и впервые начала применяться во Франции в конце XVIII в. Сейчас она распространена по всему миру, за исключением США и Канады, где используют формат Letter с соотношением сторон 8,5×11 дюймов (примерно 216×279 мм). Такой лист немного шире и короче привычного нам А4. В отличие от научного подхода, лежащего в основе формата А4, размер US Letter был обусловлен производственными процессами и сложившейся практикой — США не перешли на метрическую систему мер, что позволило сохранить традиционные дюймовые размеры.
Основная идея метрического формата ISO 216 заключается в том, чтобы при сложении листа пополам получались два меньших листа с одинаковыми пропорциями. Это условие описывается функциональным уравнением: если исходный лист имеет стороны a и b (где a — длинная сторона), то после сгиба получается лист со сторонами b и a/2. Условие сохранения пропорций приводит к уравнению a/b = b/(a/2), которое упрощается до a² = 2b², откуда получается соотношение a/b = √2. Это число является неподвижной точкой данного преобразования — единственной пропорцией, обладающей свойством самоподобия.
Существует несколько способов построения иерархии таких форматов. Серия A основана на конструктивном принципе: лист A0 имеет площадь 1 м² при сохранении пропорции √2. Решение системы уравнений для площади и пропорции даёт точные размеры A0: 2⁻¹ᐟ⁴ × 2¹ᐟ⁴ метров. Все последующие форматы получаются последовательным делением пополам с сохранением той же пропорции.
Серия B строится на другом принципе — среднего геометрического. Каждый формат Bn является средним геометрическим между An и A(n–1). Например, B1 = √(A0 × A1). Этот подход создает плавную шкалу промежуточных размеров.
Серия C, используемая для конвертов, идёт ещё дальше: каждый её формат представляет собой среднее геометрическое между соответствующими форматами A и B. Именно поэтому лист A4 идеально помещается в конверт C4 — математическое соотношение гарантирует оптимальный зазор.