Forwarded from Математическая эссенция
This media is not supported in your browser
VIEW IN TELEGRAM
Мурмурация как динамическая топологическая сеть
Мурмурация — уникальное природное явление, при котором тысячи птиц сбиваются в огромную стаю и ведут себя при этом как единый организм. Сжимаясь и разлетаясь, синхронно меняя направление, взмывая вверх или резко падая вниз, они образуют в небе причудливые, непрерывно меняющиеся фигуры.
С математической точки зрения мурмурацию птиц можно рассматривать как объект изучения топологии движущих сетей. Ключевая модель здесь — постоянно меняющийся ориентированный граф.
Вершины графа — это отдельные птицы. Ребро от вершин A к вершине B существует, если птица B находится в поле восприятия птицы A в данный момент. Важно, что связь несимметрична: птица A может видеть птицу B, но не наоборот, что делает граф ориентированным.
Каждая птица поддерживает связь лишь с ограниченным числом ближайших соседей (обычно 5–7) — это её локальная топологическая окрестность. Критически важно, что взаимодействие определяется топологией, а не метрикой. Птица ориентируется не на фиксированный радиус, а на фиксированное число соседей, независимо от расстояния до них. Именно этот принцип обеспечивает устойчивость стаи при её растяжении или сжатии.
Исследования показывают, что слаженные структуры мурмурации не возникают, если птицы используют метрический принцип, координируя движение только с теми, кто находится в пределах фиксированного радиуса.
Несмотря на отсутствие центрального координатора, из этих локальных правил возникает глобальный порядок. Граф взаимодействий обладает свойствами сети «малого мира»: даже в стае из тысяч особей средняя длина пути между любыми двумя вершинами остается малой. Это обеспечивает почти мгновенное распространение информации: локальное возмущение за доли секунды передаётся по всей системе через цепочку соседей.
Топологическая структура стаи остаётся устойчивой, даже когда её геометрическая форма — положение вершин в пространстве — радикально меняется. Стая может изгибаться, дробиться и сливаться, но её связность сохраняется.
Таким образом, мурмурация — это реализация высокодинамичного графа, в котором простые локальные топологические ограничения порождают сложную глобальную топологию поведения.
Мурмурация — уникальное природное явление, при котором тысячи птиц сбиваются в огромную стаю и ведут себя при этом как единый организм. Сжимаясь и разлетаясь, синхронно меняя направление, взмывая вверх или резко падая вниз, они образуют в небе причудливые, непрерывно меняющиеся фигуры.
С математической точки зрения мурмурацию птиц можно рассматривать как объект изучения топологии движущих сетей. Ключевая модель здесь — постоянно меняющийся ориентированный граф.
Вершины графа — это отдельные птицы. Ребро от вершин A к вершине B существует, если птица B находится в поле восприятия птицы A в данный момент. Важно, что связь несимметрична: птица A может видеть птицу B, но не наоборот, что делает граф ориентированным.
Каждая птица поддерживает связь лишь с ограниченным числом ближайших соседей (обычно 5–7) — это её локальная топологическая окрестность. Критически важно, что взаимодействие определяется топологией, а не метрикой. Птица ориентируется не на фиксированный радиус, а на фиксированное число соседей, независимо от расстояния до них. Именно этот принцип обеспечивает устойчивость стаи при её растяжении или сжатии.
Исследования показывают, что слаженные структуры мурмурации не возникают, если птицы используют метрический принцип, координируя движение только с теми, кто находится в пределах фиксированного радиуса.
Несмотря на отсутствие центрального координатора, из этих локальных правил возникает глобальный порядок. Граф взаимодействий обладает свойствами сети «малого мира»: даже в стае из тысяч особей средняя длина пути между любыми двумя вершинами остается малой. Это обеспечивает почти мгновенное распространение информации: локальное возмущение за доли секунды передаётся по всей системе через цепочку соседей.
Топологическая структура стаи остаётся устойчивой, даже когда её геометрическая форма — положение вершин в пространстве — радикально меняется. Стая может изгибаться, дробиться и сливаться, но её связность сохраняется.
Таким образом, мурмурация — это реализация высокодинамичного графа, в котором простые локальные топологические ограничения порождают сложную глобальную топологию поведения.
🔥3
Media is too big
VIEW IN TELEGRAM
«Математик и чёрт» — советский короткометражный фильм 1972 года.
Профессор математики годами пытается найти доказательство теоремы Ферма (сформулирована в 1637 году). В один момент в его доме появляется чёрт. Профессор предлагает демону пари:
Если чёрт за 24 часа докажет или опровергнет теорему Ферма, то профессор станет его рабом.
Если чёрт не справится, то он должен выплатить профессору 100 тысяч долларов.
Сначала чёрт уверен, что задача проста, но быстро понимает, насколько она сложна. Погружаясь в математику, он увлекается поиском решения. Для него доказательство теоремы превращается из способа выиграть пари в захватывающий интеллектуальный процесс.
Фильм снят по рассказу американского писателя и преподавателя математики Артура Порджеса «Саймон Флэгг и дьявол» (1954).
На момент выхода фильма (1972) теорема Ферма ещё не была доказана. Доказательство нашли лишь в конце XX века (спустя 360 лет после формулировки).
Фильм демонстрирует, как наука может увлечь даже сверхъестественные силы. Подчёркивает красоту и сложность математического поиска. Показывает, что интеллектуальное увлечение способно превзойти любые материальные ставки.
Профессор математики годами пытается найти доказательство теоремы Ферма (сформулирована в 1637 году). В один момент в его доме появляется чёрт. Профессор предлагает демону пари:
Если чёрт за 24 часа докажет или опровергнет теорему Ферма, то профессор станет его рабом.
Если чёрт не справится, то он должен выплатить профессору 100 тысяч долларов.
Сначала чёрт уверен, что задача проста, но быстро понимает, насколько она сложна. Погружаясь в математику, он увлекается поиском решения. Для него доказательство теоремы превращается из способа выиграть пари в захватывающий интеллектуальный процесс.
Фильм снят по рассказу американского писателя и преподавателя математики Артура Порджеса «Саймон Флэгг и дьявол» (1954).
На момент выхода фильма (1972) теорема Ферма ещё не была доказана. Доказательство нашли лишь в конце XX века (спустя 360 лет после формулировки).
Фильм демонстрирует, как наука может увлечь даже сверхъестественные силы. Подчёркивает красоту и сложность математического поиска. Показывает, что интеллектуальное увлечение способно превзойти любые материальные ставки.
❤6👍2
Forwarded from Кот Шрёдингера (Андрей Константинов)
Новооткрытая необычная иллюзия (ей посвящено вышедшее в сентябре исследование), - кружок на который вы смотрите, кажется фиолетовым, остальные - синевато-сиреневыми. Пишут, что ее лучше видно на смартфоне, нужен OLED-дисплей, но я и с компа ее не хуже вижу.
🔥2👀1