С началом новой недели, друзья!

Напоминаю, что простое число можно определить с помощью рекуррентной формулы 😜

Из статьи Д.Цагира "Первые 50 миллионов простых чисел"

Для решения задачи вспомните, что коллинеарные вектора могут быть сонаправленными и противоположно направленными

Когда Карлу Фридриху Гауссу было около 15 лет, он занялся, казалось бы, скучным делом — стал считать простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17...

Он заметил, что чем дальше мы идём по числовой линии, тем реже встречаются простые. Но не просто реже, а с определённым ритмом.

Тогда Гаусс задался вопросом: а сколько простых чисел меньше заданного числа x?
Это количество он обозначил как π(x) (читается «пи от икс»).

После множества вычислений он понял, что примерно это число можно оценить при помощи другой функции — интегрального логарифма, который он записал как Li(x).

И получилось знаменитое приближение:

π(x) ≈ Li(x)

Если сказать проще, Li(x) — это способ подсчитать, насколько часто встречаются простые числа до числа x.
Формально он выглядит так:

Li(x) = ∫(от 2 до x) dt / ln(t)

На деле это значит, что простые числа хоть и кажутся хаотичными, но их количество подчиняется удивительно точному правилу.

Например, если взять x = 1 000 000, то
π(1 000 000) = 78 498,
а Li(1 000 000) ≈ 78 627 — почти идеально!

И всё это Гаусс понял в подростковом возрасте.

Спустя сто лет математики доказали, что он был прав — так родилась теорема о распределении простых чисел.
Она описывает, как простые «рассыпаются» по числовой прямой, и до сих пор остаётся одной из жемчужин математики.

И еще одна задачка из этой же серии:
вы обогнали последнего бегуна в марафоне - на какой позиции оказались?

Амплитуэдр — геометрический объект, объём которого напрямую связан с вычислениями в квантовой физике. Его структура отражает, как взаимодействуют элементарные частицы при столкновениях.

Амплитуэдр предложили физики Нима Аркани-Хамед и Ярослав Трнка в 2013 году. Он появился как способ упростить расчёты амплитуд рассеяния — вероятностей различных исходов при столкновении частиц.

Некоторые особенности амплитуэдра:
Упрощение расчётов. Раньше для подобных вычислений физикам приходилось суммировать тысячи диаграмм Фейнмана, что требовало огромных вычислительных мощностей и времени. Амплитуэдр предлагает короткий путь: вместо тысяч слагаемых — одна геометрическая задача.
Намек на простую геометрию. Это указывает на то, что в основе запутанных квантовых взаимодействий может лежать простая и изящная геометрия.

В октябре 2024 года математик из Корнеллского университета Павел Галашин обнаружил связь между амплитуэдром и оригами. Он показал, что схемы сгибов бумаги можно перевести в набор точек, образующих тот же самый амплитуэдр. Иными словами, принципы складывания листа и закономерности квантовых взаимодействий описываются одной геометрией.

#Иркутск #наука

Грандиозное строительство солнечного телескопа-коронографа разворачивается на фоне живописной горы Мунку-Сардык! На площадке почти 40 тысяч квадратных метров трудятся более 230 сотрудников. Для работы используется 40 единиц спецтехники.

Источник

#огэ2026
Задачка из обновленного банка ФИПИ.

Точка O является серединой стороны CD квадрата ABCD. Радиус окружности с центром в точке O, проходящей через вершину A, равен 5 Найдите площадь квадрата ABCD.

Ищем координаты вектора

Немножко биологии

Мурмурация как динамическая топологическая сеть

Мурмурация — уникальное природное явление, при котором тысячи птиц сбиваются в огромную стаю и ведут себя при этом как единый организм. Сжимаясь и разлетаясь, синхронно меняя направление, взмывая вверх или резко падая вниз, они образуют в небе причудливые, непрерывно меняющиеся фигуры.
С математической точки зрения мурмурацию птиц можно рассматривать как объект изучения топологии движущих сетей. Ключевая модель здесь — постоянно меняющийся ориентированный граф.
Вершины графа — это отдельные птицы. Ребро от вершин A к вершине B существует, если птица B находится в поле восприятия птицы A в данный момент. Важно, что связь несимметрична: птица A может видеть птицу B, но не наоборот, что делает граф ориентированным.
Каждая птица поддерживает связь лишь с ограниченным числом ближайших соседей (обычно 5–7) — это её локальная топологическая окрестность. Критически важно, что взаимодействие определяется топологией, а не метрикой. Птица ориентируется не на фиксированный радиус, а на фиксированное число соседей, независимо от расстояния до них. Именно этот принцип обеспечивает устойчивость стаи при её растяжении или сжатии.
Исследования показывают, что слаженные структуры мурмурации не возникают, если птицы используют метрический принцип, координируя движение только с теми, кто находится в пределах фиксированного радиуса.
Несмотря на отсутствие центрального координатора, из этих локальных правил возникает глобальный порядок. Граф взаимодействий обладает свойствами сети «малого мира»: даже в стае из тысяч особей средняя длина пути между любыми двумя вершинами остается малой. Это обеспечивает почти мгновенное распространение информации: локальное возмущение за доли секунды передаётся по всей системе через цепочку соседей.
Топологическая структура стаи остаётся устойчивой, даже когда её геометрическая форма — положение вершин в пространстве — радикально меняется. Стая может изгибаться, дробиться и сливаться, но её связность сохраняется.
Таким образом, мурмурация — это реализация высокодинамичного графа, в котором простые локальные топологические ограничения порождают сложную глобальную топологию поведения.