👍2🔥2🥰1
В комментах к прошлому посту Nikita Medved сделал одно интересное уточнение. Идёт ли речь о том, чтобы поместить один прямоугольник внутрь другого без поворота — или без всяких ограничений (можно с помощью поворота).
Прежде всего, может быть, сходу не очевидно, что прямоугольник, не помещающийся в другом (при согласовании больших и меньших сторон) может целиком оказаться внутри него при повороте на какой-нибудь острый угол. (Хотя пример построить элементарно:у первого прямоугольника стороны х и х, а у второго — 1,1х и 0,1х; ясно, что при повороте на 45⁰ второй полностью разместится в первом .)
И всё же, это уточнение о том, чтобы один прямоугольник располагался внутри другого «без поворота» является ненужным.
Почему так?
Потому что несложно показать, что если нам удалось один прямоугольник любым способом разместить внутри другого, то и его площадь, и его периметр меньше соответствующих характеристик объемлющего прямоугольника. А нас интересует случай рассогласования, когда у одной характеристики знак больше, а у другой — меньше.
Прежде всего, может быть, сходу не очевидно, что прямоугольник, не помещающийся в другом (при согласовании больших и меньших сторон) может целиком оказаться внутри него при повороте на какой-нибудь острый угол. (Хотя пример построить элементарно:
И всё же, это уточнение о том, чтобы один прямоугольник располагался внутри другого «без поворота» является ненужным.
Почему так?
Потому что несложно показать, что если нам удалось один прямоугольник любым способом разместить внутри другого, то и его площадь, и его периметр меньше соответствующих характеристик объемлющего прямоугольника. А нас интересует случай рассогласования, когда у одной характеристики знак больше, а у другой — меньше.
❤4👍3🔥1🥰1
Можно ли в кубе вырезать отверстие, через которое пройдёт куб большего размера?
Anonymous Quiz
68%
Да, можно
16%
Нет, нельзя
16%
Интрига, однако
👍7🔥2
This media is not supported in your browser
VIEW IN TELEGRAM
Куб Руперта
В 1693 г. принц Рупрехт Пфальцский выиграл спор, утверждая, чтов единичном кубе можно сделать отверстие, через которое можно протащить второй точно такой же куб. Решение было найдено математиком Джоном Валлисом. Валлис предположил, что такое отверстие будет параллельно пространственной диагонали куба. Проекция куба на плоскость, перпендикулярная этой диагонали, является правильным шестиугольником, а самое большое отверстие, параллельное диагонали, можно получить, нарисовав наибольший квадрат, который можно вписать в этот шестиугольник. Подсчёт размера такого квадрата показывает, что куб с длиной ребра √6 – √2 ≈ 1,035 может пройти через такое отверстие.
Спустя примерно 100 лет после выигранного спора голландский естествоиспытатель Питер Ньюланд вычислил, что лучшее (оптимальное) решение может быть получено при прорезании отверстия под другим углом, чем пространственная диагональ. Он показал, что наибольший куб, который может пройти сквозь куб с ребром 1, имеет ребро ¾ √2 ≈ 1,06066. Найти такой куб эквивалентно нахождению наибольшего квадрата, который мог бы поместиться в куб, поскольку как только такой квадрат помещён в единичный куб, остаётся лишь сделать сквозное отверстие, для которого этот квадрат является сечением куба (т. е., иными словами, надо начать двигать указанный квадрат параллельно самому себе и удалять все части куба, которые квадрат пересечёт на своём пути).
Куб не единственная фигура, которая может пройти через вырезанное отверстие в своей копии; то же верно и для правильных тетраэдра и октаэдра.
Естественным образом, задача обобщается на случай больших размерностей: например, найти наибольшие размеры обычного куба, который можно поместить внутри 4-мерного гиперкуба. В этой задаче ответ задаётся как один из корней многочлена 4-й степени с целыми коэффициентами и составляет примерно 1,0074.
А вообще, показано, что в n-мерный куб с ребром 1 мм войдёт вся наша Вселенная, если только n достигнет достаточно большой величины.
В 1693 г. принц Рупрехт Пфальцский выиграл спор, утверждая, что
Спустя примерно 100 лет после выигранного спора голландский естествоиспытатель Питер Ньюланд вычислил, что лучшее (оптимальное) решение может быть получено при прорезании отверстия под другим углом, чем пространственная диагональ. Он показал, что наибольший куб, который может пройти сквозь куб с ребром 1, имеет ребро ¾ √2 ≈ 1,06066. Найти такой куб эквивалентно нахождению наибольшего квадрата, который мог бы поместиться в куб, поскольку как только такой квадрат помещён в единичный куб, остаётся лишь сделать сквозное отверстие, для которого этот квадрат является сечением куба (т. е., иными словами, надо начать двигать указанный квадрат параллельно самому себе и удалять все части куба, которые квадрат пересечёт на своём пути).
Куб не единственная фигура, которая может пройти через вырезанное отверстие в своей копии; то же верно и для правильных тетраэдра и октаэдра.
Естественным образом, задача обобщается на случай больших размерностей: например, найти наибольшие размеры обычного куба, который можно поместить внутри 4-мерного гиперкуба. В этой задаче ответ задаётся как один из корней многочлена 4-й степени с целыми коэффициентами и составляет примерно 1,0074.
А вообще, показано, что в n-мерный куб с ребром 1 мм войдёт вся наша Вселенная, если только n достигнет достаточно большой величины.
🔥19👍7❤5
С именем принца Рупрехта Пфальцского в популяризации науки связан ещё один экспонат. Это перенапряжённая стеклянная капля Руперта.
Такие капли возникают, если капнуть расплавленным стеклом в холодную воду — стекло после начнёт застывать в форме головастика, с длинным изогнутым «хвостом». При этом «голова» капли обладает исключительной прочностью: по ней можно бить металлическим молотком в полную силу — она выдерживает усилие гидравлического пресса до 30 тонн, оставляя вмятину на стали. Но стоит надломить или просто задеть «хвост» капли, она мгновенно разлетается на мелкие осколки по направлению от «хвоста» к «голове».
Странное поведение капли сумели объяснить только в 2016 г., когда записали процесс её разрушения с помощью высокоскоростной видеосъёмки.
Довольно любопытный объект, являющий собой метафору противоречий — колоссальной прочности и одновременно уязвимости. Он как бы напоминает нам, что даже самые устойчивые системы имеют своё «слабое звено».
Такие капли возникают, если капнуть расплавленным стеклом в холодную воду — стекло после начнёт застывать в форме головастика, с длинным изогнутым «хвостом». При этом «голова» капли обладает исключительной прочностью: по ней можно бить металлическим молотком в полную силу — она выдерживает усилие гидравлического пресса до 30 тонн, оставляя вмятину на стали. Но стоит надломить или просто задеть «хвост» капли, она мгновенно разлетается на мелкие осколки по направлению от «хвоста» к «голове».
Странное поведение капли сумели объяснить только в 2016 г., когда записали процесс её разрушения с помощью высокоскоростной видеосъёмки.
Довольно любопытный объект, являющий собой метафору противоречий — колоссальной прочности и одновременно уязвимости. Он как бы напоминает нам, что даже самые устойчивые системы имеют своё «слабое звено».
🔥22👍10❤4
Меандры рек: почему реки не текут прямо
Представьте себе спокойную равнинную реку. Почему вместо того, чтобы течь по кратчайшему пути к морю, она петляет, образуя замысловатые изгибы — меандры?
Прямолинейное изначально движение потока реки является неустойчивым. В микромасштабе это означает переход от ламинарного движения потока к турбулентному. Он определяется некоторым критическим соотношением сил инерции и сил молекулярной вязкости (числом Рейнольдса). В макромасштабе в турбулентном потоке формируются возмущения. Любое, даже самое малое возмущение становится спусковым крючком: упавшее дерево, выступающий камень, неровность дна, разница в плотности грунтов берегов. Это возмущение отклоняет основной поток воды от прямой линии. Теперь воде приходится огибать возникшее препятствие или следовать за начавшимся искривлением. Так появляется первый, едва заметный изгиб.
Когда вода движется по кривой (вокруг нашего начального изгиба), на неё действует центробежная сила. Эта сила стремится «выбросить» воду наружу поворота. Но так как вода не может улететь, происходит вот что. У поверхности потока центробежная сила максимальна. Вода устремляется к внешнему (вогнутому) берегу поворота. У дна ситуация обратная. Здесь сила трения воды о дно гасит инерцию. Центробежная сила слабее, и давление воды, скопившейся у внешнего берега, «выдавливает» придонные слои обратно — к внутреннему (выпуклому) берегу.
Возникает поперечная циркуляция течения: спиралевидное движение воды. Поверхностный поток — от внутреннего берега к внешнему, придонный — от внешнего к внутреннему.
Поперечная циркуляция — главный «скульптор» меандра. К внешнему берегу устремляется быстрый поверхностный поток. Он обладает большой разрушительной силой (эрозией). Берег интенсивно подмывается, становится круче и выше. Грунт уносится течением.
К внутреннему берегу движется замедленный придонный поток. Он теряет силу и способность переносить весь захваченный у внешнего берега песок, ил, гальку. Грунт оседает (аккумулируется), формируя пологую отмель — пляж. Берег здесь намывается и становится более пологим.
В результате изгиб усиливается. Внешний берег становится ещё более вогнутым и крутым, внутренний — ещё более выпуклым и пологим. Река начинает петлять всё сильнее.
Разрушение происходит не равномерно по всей длине внешнего берега. Максимальная скорость течения и, значит, максимальная эрозия смещены немного ниже по течению от вершины изгиба. Это связано с инерцией потока. Из-за этого точка максимального подмыва перемещается вниз по реке. Вслед за ней «переползает» и весь изгиб. Меандр начинает «мигрировать» — смещаться вниз по течению, одновременно увеличивая свою кривизну. На месте старого внешнего берега могут оставаться обрывы, а новый внутренний берег намывается ниже по течению.
Наблюдения показывают, что меандры на разных реках удивительно похожи по форме. Оказывается, существует универсальное соотношение: длина волны меандра (расстояние между соседними вершинами изгибов) примерно в 10–14 раз превышает ширину реки. Эта закономерность возникает из баланса сил: центробежной силы, стремящейся усилить изгиб и вызвать поперечное течение, и силы трения о дно и берега, гасящей это поперечное движение и старающейся выпрямить поток.
Каждая извилина имеет специфическую форму — такую, которую принимает изогнутая металлическая линейка, если её согнуть, приблизив концы друг к другу. Эту форму называют кривой Эйлера. Эйлерова кривая минимизирует среднюю квадратичную кривизну линейки, то есть интеграл ∫(dѲ/ds)2ds, где Ѳ — угол между касательной и некоторым выбранным направлением, а s — длина вдоль кривой.
Название «меандр» произошло от имени фригийского речного бога Меандра и одноимённой реки в Малой Азии (ныне р. Б. Мендерес в Турции).
Представьте себе спокойную равнинную реку. Почему вместо того, чтобы течь по кратчайшему пути к морю, она петляет, образуя замысловатые изгибы — меандры?
Прямолинейное изначально движение потока реки является неустойчивым. В микромасштабе это означает переход от ламинарного движения потока к турбулентному. Он определяется некоторым критическим соотношением сил инерции и сил молекулярной вязкости (числом Рейнольдса). В макромасштабе в турбулентном потоке формируются возмущения. Любое, даже самое малое возмущение становится спусковым крючком: упавшее дерево, выступающий камень, неровность дна, разница в плотности грунтов берегов. Это возмущение отклоняет основной поток воды от прямой линии. Теперь воде приходится огибать возникшее препятствие или следовать за начавшимся искривлением. Так появляется первый, едва заметный изгиб.
Когда вода движется по кривой (вокруг нашего начального изгиба), на неё действует центробежная сила. Эта сила стремится «выбросить» воду наружу поворота. Но так как вода не может улететь, происходит вот что. У поверхности потока центробежная сила максимальна. Вода устремляется к внешнему (вогнутому) берегу поворота. У дна ситуация обратная. Здесь сила трения воды о дно гасит инерцию. Центробежная сила слабее, и давление воды, скопившейся у внешнего берега, «выдавливает» придонные слои обратно — к внутреннему (выпуклому) берегу.
Возникает поперечная циркуляция течения: спиралевидное движение воды. Поверхностный поток — от внутреннего берега к внешнему, придонный — от внешнего к внутреннему.
Поперечная циркуляция — главный «скульптор» меандра. К внешнему берегу устремляется быстрый поверхностный поток. Он обладает большой разрушительной силой (эрозией). Берег интенсивно подмывается, становится круче и выше. Грунт уносится течением.
К внутреннему берегу движется замедленный придонный поток. Он теряет силу и способность переносить весь захваченный у внешнего берега песок, ил, гальку. Грунт оседает (аккумулируется), формируя пологую отмель — пляж. Берег здесь намывается и становится более пологим.
В результате изгиб усиливается. Внешний берег становится ещё более вогнутым и крутым, внутренний — ещё более выпуклым и пологим. Река начинает петлять всё сильнее.
Разрушение происходит не равномерно по всей длине внешнего берега. Максимальная скорость течения и, значит, максимальная эрозия смещены немного ниже по течению от вершины изгиба. Это связано с инерцией потока. Из-за этого точка максимального подмыва перемещается вниз по реке. Вслед за ней «переползает» и весь изгиб. Меандр начинает «мигрировать» — смещаться вниз по течению, одновременно увеличивая свою кривизну. На месте старого внешнего берега могут оставаться обрывы, а новый внутренний берег намывается ниже по течению.
Наблюдения показывают, что меандры на разных реках удивительно похожи по форме. Оказывается, существует универсальное соотношение: длина волны меандра (расстояние между соседними вершинами изгибов) примерно в 10–14 раз превышает ширину реки. Эта закономерность возникает из баланса сил: центробежной силы, стремящейся усилить изгиб и вызвать поперечное течение, и силы трения о дно и берега, гасящей это поперечное движение и старающейся выпрямить поток.
Каждая извилина имеет специфическую форму — такую, которую принимает изогнутая металлическая линейка, если её согнуть, приблизив концы друг к другу. Эту форму называют кривой Эйлера. Эйлерова кривая минимизирует среднюю квадратичную кривизну линейки, то есть интеграл ∫(dѲ/ds)2ds, где Ѳ — угол между касательной и некоторым выбранным направлением, а s — длина вдоль кривой.
Название «меандр» произошло от имени фригийского речного бога Меандра и одноимённой реки в Малой Азии (ныне р. Б. Мендерес в Турции).
❤9👍7🔥6
В математике меандром называют незамкнутую прямую на плоскости, пересекающую данную прямую трансверсально в конечном числе точек. Например, шоссе, идущее с запада на восток, пересекает несколько раз реку, текущую с северо-запада на юго-восток. Занумеруем мосты в порядке их следования. Проплывая под мостами вниз по реке, мы будем встречать, вообще говоря, их в другом порядке. Например, в таком: 3, 2, 1, 4, 7, 6, 5. Таким образом, эта река определяет перестановку чисел (3 2 1 4 7 6 5). Ясно, что другая река могла бы протекать иначе и задавать другую перестановку. Но далеко не всякая перестановка может быть реализована таким образом. Саму перестановку называют меандром, если она может быть осуществлена с помощью подходящей реки.
Задача подсчёта числа неэквивалентных меандров — сложная открытая проблема. Более того, неизвестна даже асимптотика роста этих чисел.
Многочисленные рисунки меандров содержатся в работе А. Пуанкаре «Ободной геометрической теореме», где он пытался доказать с их помощью, что отображение кольца в себя, сохраняющее площади и сдвигающее граничные окружности в разные стороны, имеет не менее двух неподвижных точек. Теорема Пуанкаре была доказана Биркгофом в 1913 г. другим методом, но её обобщение на отображение сферы с ручками было доказано в 1978 г. Я.М. Элиашбергом на основе теории меандров.
Из теории меандров вытекают, например, такие теоремы:
1. Нестягиваемая несамопересекающаяся гладкая замкнутая кривая на проективной плоскости имеет не менее трёх точек перегиба.
2. Замкнутая плоская кривая имеет не менее 4 экстремальных точек кривизны.
Задача подсчёта числа неэквивалентных меандров — сложная открытая проблема. Более того, неизвестна даже асимптотика роста этих чисел.
Многочисленные рисунки меандров содержатся в работе А. Пуанкаре «Ободной геометрической теореме», где он пытался доказать с их помощью, что отображение кольца в себя, сохраняющее площади и сдвигающее граничные окружности в разные стороны, имеет не менее двух неподвижных точек. Теорема Пуанкаре была доказана Биркгофом в 1913 г. другим методом, но её обобщение на отображение сферы с ручками было доказано в 1978 г. Я.М. Элиашбергом на основе теории меандров.
Из теории меандров вытекают, например, такие теоремы:
1. Нестягиваемая несамопересекающаяся гладкая замкнутая кривая на проективной плоскости имеет не менее трёх точек перегиба.
2. Замкнутая плоская кривая имеет не менее 4 экстремальных точек кривизны.
❤6👍6🔥5
Меандром ещё называют распространённый со времён палеолита ленточный орнамент, образуемый ломаной под прямым углом линией. По одной из версий, элемент меандра происходит от схематического изображения капкана, охотничьей ловушки для зверя, что согласуется с археологическими источниками. Особое распространение этот орнамент получил в Древней Греции, где он олицетворял бесконечное обновление человеческой жизни и её извилистое течение.
Задача из ВПР (5 класс). На рисунке показан фрагмент меандра, длина которого по горизонтали равна 47 клеток. Сколько клеток составляет вся извилистая линия меандра, если её толщина везде одинакова и равна ширине белых промежутков.
Ответ:167.
Задача из ВПР (5 класс). На рисунке показан фрагмент меандра, длина которого по горизонтали равна 47 клеток. Сколько клеток составляет вся извилистая линия меандра, если её толщина везде одинакова и равна ширине белых промежутков.
Ответ:
👍6❤4🔥3
Игра-головоломка «Меандр»
Игра предложена Аланом Тьюрингом. Играется на квадрате, сторона которого состоит из нечётного количества плиток.
Например, для квадрата 5×5 используют 24 квадратные плитки, которые выкладываются на игровое поле, состоящее из 25 клеток, так, чтобы одна клетка осталась свободной (рисунок слева). На двенадцати плитках изображён узор одного типа, а на других двенадцати — узор другого типа.
Из начального положения два игрока по очереди передвигают по одной фишке на пустую клеточку, как в игре «15». При смещении фишек круги размыкаются и объединяются в куски извилистых линий, действительно напоминающие меандры. Побеждает тот, кто первый замкнёт своим ходом эти куски в непрерывную линию, соединяющую два края игрового поля. Такой узор показан на рисунке справа (линия соединяет левый и нижний края доски).
Есть усложнённый вариант игры — за каждый ход передвигается не по одной фишке, а сдвигается на одну клетку целый столбец или ряд из одной–четырёх фишек.
Игра предложена Аланом Тьюрингом. Играется на квадрате, сторона которого состоит из нечётного количества плиток.
Например, для квадрата 5×5 используют 24 квадратные плитки, которые выкладываются на игровое поле, состоящее из 25 клеток, так, чтобы одна клетка осталась свободной (рисунок слева). На двенадцати плитках изображён узор одного типа, а на других двенадцати — узор другого типа.
Из начального положения два игрока по очереди передвигают по одной фишке на пустую клеточку, как в игре «15». При смещении фишек круги размыкаются и объединяются в куски извилистых линий, действительно напоминающие меандры. Побеждает тот, кто первый замкнёт своим ходом эти куски в непрерывную линию, соединяющую два края игрового поля. Такой узор показан на рисунке справа (линия соединяет левый и нижний края доски).
Есть усложнённый вариант игры — за каждый ход передвигается не по одной фишке, а сдвигается на одну клетку целый столбец или ряд из одной–четырёх фишек.
🔥11👍1
23 июня 1912 г. родился Алан Тьюринг, британский математик, логик и криптограф, чьи работы заложили основы современной информатики и ИИ.
Сам термин "компьютер" в современном понимании пустил в обращение Алан Тьюринг. До этого так называли тех, кто занимался вычислениями, например, банковских служащих, работавших на арифмометре.
Алан Тьюринг внёс фундаментальный вклад в теоретическую информатику, предложив в 1936 г. абстрактную математическую модель, которая формально определила понятие алгоритма и вычислимости. Эта модель доказала существование принципиально неразрешимых задач (как проблема остановки) и лежит в основе всех современных компьютеров.
Как называется эта ключевая концепция?
Сам термин "компьютер" в современном понимании пустил в обращение Алан Тьюринг. До этого так называли тех, кто занимался вычислениями, например, банковских служащих, работавших на арифмометре.
Алан Тьюринг внёс фундаментальный вклад в теоретическую информатику, предложив в 1936 г. абстрактную математическую модель, которая формально определила понятие алгоритма и вычислимости. Эта модель доказала существование принципиально неразрешимых задач (как проблема остановки) и лежит в основе всех современных компьютеров.
Как называется эта ключевая концепция?
❤11❤🔥6👍2
👍3🔥3
Тест Тьюринга. Этот знаменитый тест (1950 г.) определяет, может ли машина демонстрировать разумное поведение, неотличимое от человеческого. Это важнейший вклад в философию ИИ, но не формальная модель вычислений, лежащая в основе теории алгоритмов.
Криптографическая "Бомба" — реальное электромеханическое устройство, разработанное Тьюрингом и командой для взлома шифров немецкой шифровальной мащины "Энигма". Это гениальное инженерное решение времен Второй мировой войны, а не абстрактная математическая модель вычислений.
ACE — проект реального физического компьютера. Он был вдохновлён идеями машины Тьюринга (как и все компьютеры), но сама машина Тьюринга — это теоретическая абстракция, а ACE — её возможная инженерная реализация.
Машина Тьюринга (правильный ответ!). Предложенная в 1936 г., эта абстрактная модель вычислений с бесконечной лентой, считывающей/записывающей головкой и таблицей правил формально определила, что значит "вычислить" что-либо. Она доказала неразрешимость проблемы остановки и стала основой всей современной информатики.
"Колосс". Первый в мире программируемый электронный цифровой компьютер, созданный для решения одной практической задачи (взлома немецкого шифра "Лоренц"). Тьюринг внёс важный вклад в теоретические аспекты взлома "Лоренца", но не был его главным конструктором. Эту роль сыграл М. Ньюман и Т. Флауэрс.
Тезис Чёрча-Тьюринга. Этот тезис утверждает, что любая интуитивно вычислимая функция может быть вычислена машиной Тьюринга (или другими эквивалентными моделями). Сам тезис — это принцип, а не сама конкретная модель вычислений, как машина Тьюринга.
Машина Поста. Это абстрактно-вычислительная машина, предложенная Эмилем Постом независимо от Тьюринга, на несколько месяцев позже его. Алгоритмически "эквивалентна" машине Тьюринга.
Квантовая криптография. Тьюринг не работал в области квантовой физики.
Морфогенез. К проблемам вычислимомти и алгоритмам эта тема не имеет никакого отношения. Но Тьюринг действительно построил важную для биологии математическую модель возникновения и развития органов. Он предположил, что любые неоднородности в живом мире (полосы, спирали, пятна) могут возникать из некоторых однородных состояний, и предложил для объяснения так называемую реакционно-диффузионную модель. Согласно этой модели, два вещества — активатор и ингибитор — распространяются в тканях с разной скоростью и взаимодействуют друг с другом. Активатор усиливает собственное производство и активирует ингибитор, который, напротив, подавляет действие активатора. Благодаря этому образуются сложные узоры из пятен и полос.
Вот тут можно на основе модели Тьюринга вырастить свой узор шерсти на шкуре леопарда!
О Тьюринге написаны книги, поставлена пьеса, снят кинофильм, выпущена почтовая марка с его изображением, создан язык программирования «Тьюринг». Но всё это было уже после его смерти. При жизни Тьюринга ждали унизительные обвинения и уголовное дело...
Криптографическая "Бомба" — реальное электромеханическое устройство, разработанное Тьюрингом и командой для взлома шифров немецкой шифровальной мащины "Энигма". Это гениальное инженерное решение времен Второй мировой войны, а не абстрактная математическая модель вычислений.
ACE — проект реального физического компьютера. Он был вдохновлён идеями машины Тьюринга (как и все компьютеры), но сама машина Тьюринга — это теоретическая абстракция, а ACE — её возможная инженерная реализация.
Машина Тьюринга (правильный ответ!). Предложенная в 1936 г., эта абстрактная модель вычислений с бесконечной лентой, считывающей/записывающей головкой и таблицей правил формально определила, что значит "вычислить" что-либо. Она доказала неразрешимость проблемы остановки и стала основой всей современной информатики.
"Колосс". Первый в мире программируемый электронный цифровой компьютер, созданный для решения одной практической задачи (взлома немецкого шифра "Лоренц"). Тьюринг внёс важный вклад в теоретические аспекты взлома "Лоренца", но не был его главным конструктором. Эту роль сыграл М. Ньюман и Т. Флауэрс.
Тезис Чёрча-Тьюринга. Этот тезис утверждает, что любая интуитивно вычислимая функция может быть вычислена машиной Тьюринга (или другими эквивалентными моделями). Сам тезис — это принцип, а не сама конкретная модель вычислений, как машина Тьюринга.
Машина Поста. Это абстрактно-вычислительная машина, предложенная Эмилем Постом независимо от Тьюринга, на несколько месяцев позже его. Алгоритмически "эквивалентна" машине Тьюринга.
Квантовая криптография. Тьюринг не работал в области квантовой физики.
Морфогенез. К проблемам вычислимомти и алгоритмам эта тема не имеет никакого отношения. Но Тьюринг действительно построил важную для биологии математическую модель возникновения и развития органов. Он предположил, что любые неоднородности в живом мире (полосы, спирали, пятна) могут возникать из некоторых однородных состояний, и предложил для объяснения так называемую реакционно-диффузионную модель. Согласно этой модели, два вещества — активатор и ингибитор — распространяются в тканях с разной скоростью и взаимодействуют друг с другом. Активатор усиливает собственное производство и активирует ингибитор, который, напротив, подавляет действие активатора. Благодаря этому образуются сложные узоры из пятен и полос.
Вот тут можно на основе модели Тьюринга вырастить свой узор шерсти на шкуре леопарда!
О Тьюринге написаны книги, поставлена пьеса, снят кинофильм, выпущена почтовая марка с его изображением, создан язык программирования «Тьюринг». Но всё это было уже после его смерти. При жизни Тьюринга ждали унизительные обвинения и уголовное дело...
❤10👍4🔥4❤🔥2😢1
Forwarded from Vital Math
📉 Смещение Чебышёва: почему простые чаще дают остаток 3, чем 1
Простые числа, на первый взгляд, должны распределяться равномерно. Например, если смотреть на простые числа по модулю 4, половина должна быть вида 4k + 1, а другая половина — 4k + 3. Это следует из расширенной теоремы о распределении простых.
🔍 Но Пафнутий Чебышёв ещё в 1853 году заметил странность: если начать считать, то простых чисел вида 4k+3 чаще оказывается больше, чем 4k+1. Это наблюдение вошло в историю как смещение Чебышёва или гипотеза Чебышёва .
📈 Например до x = 26 861 это неравенство выполняется почти всегда, кроме нескольких исключений, при x = 5, 17, 41 и 461.
Чтобы отслеживать счёт, вводят функцию π(x; n, m), которая говорит: сколько простых чисел ≤ x имеют вид nk + m. Логично ожидать, что две такие функции — π(x; 4, 1) и π(x; 4, 3) — будут по очереди вырываться вперёд. Но увы. Почти весь забег выигрывает одна команда — та, где остаток 3.
Почему так происходит?
🧠 На первый взгляд, это нарушает равномерность. Но причина — в тонкой алгебраической структуре: 1 является квадратичным вычетом по модулю 4 (то есть можно получить как квадрат какого-то целого числа по модулю 4), а 3 — нет. Оказывается простые чаще «предпочитают» числа, которые не являются вычетами.
📌 Что ещё интересней, в 1992 году Михаиэль Рубинштейн доказал эту гипотезу! Правда с одним условием. Доказательство работает только при условии выполнения усиленной формы знаменитой гипотезы Римана о нулях дзета-функции. То есть — строгое математическое объяснение смещения Чебышёва возможно, если гипотеза Римана и её обобщения верны.
🎯 Вывод: простые числа — это не просто случайный хаос. Они подчиняются глубоким законам, в которых даже такие «мелочи», как остатки по модулю, показывают удивительную асимметрию. И чтобы объяснить это строго — нужно дотянуться до самой гипотезы Римана.
@vitalmath
Простые числа, на первый взгляд, должны распределяться равномерно. Например, если смотреть на простые числа по модулю 4, половина должна быть вида 4k + 1, а другая половина — 4k + 3. Это следует из расширенной теоремы о распределении простых.
🔍 Но Пафнутий Чебышёв ещё в 1853 году заметил странность: если начать считать, то простых чисел вида 4k+3 чаще оказывается больше, чем 4k+1. Это наблюдение вошло в историю как смещение Чебышёва или гипотеза Чебышёва .
📈 Например до x = 26 861 это неравенство выполняется почти всегда, кроме нескольких исключений, при x = 5, 17, 41 и 461.
Чтобы отслеживать счёт, вводят функцию π(x; n, m), которая говорит: сколько простых чисел ≤ x имеют вид nk + m. Логично ожидать, что две такие функции — π(x; 4, 1) и π(x; 4, 3) — будут по очереди вырываться вперёд. Но увы. Почти весь забег выигрывает одна команда — та, где остаток 3.
Почему так происходит?
🧠 На первый взгляд, это нарушает равномерность. Но причина — в тонкой алгебраической структуре: 1 является квадратичным вычетом по модулю 4 (то есть можно получить как квадрат какого-то целого числа по модулю 4), а 3 — нет. Оказывается простые чаще «предпочитают» числа, которые не являются вычетами.
📌 Что ещё интересней, в 1992 году Михаиэль Рубинштейн доказал эту гипотезу! Правда с одним условием. Доказательство работает только при условии выполнения усиленной формы знаменитой гипотезы Римана о нулях дзета-функции. То есть — строгое математическое объяснение смещения Чебышёва возможно, если гипотеза Римана и её обобщения верны.
🎯 Вывод: простые числа — это не просто случайный хаос. Они подчиняются глубоким законам, в которых даже такие «мелочи», как остатки по модулю, показывают удивительную асимметрию. И чтобы объяснить это строго — нужно дотянуться до самой гипотезы Римана.
@vitalmath
👍13❤3❤🔥2🔥2🤔1
Важное уточнение: речь идёт не о том, что чисел 4k+3 вообще больше в бесконечности (теорема Дирихле гарантирует их асимптотически равное количество!). Речь о том, что функция π(x; 4, 3) почти для всех x больше, чем π(x; 4, 1). Они бесконечно меняются местами, но "команда 3" лидирует на астрономически больших дистанциях, уступая лишь в считанных точках (как x = 5, 17, 41, 461).
Почему "3" преобладает?
Ключ действительно в квадратичных вычетах (1 — квадратичный вычет mod 4, а 3 — нет). Но как это реально влияет на счёт? Представьте:
Числа вида 4k+1 могут свободно перемножаться: (4a+1)·(4b+1) = 16ab + 4a + 4b + 1 = 4(4ab+a+b) + 1 — снова 4k+1.
Числа вида 4k+3 ведут себя строже: (4a+3)·(4b+3) = ... + 9 = ... + 8 + 1 = 4(...) + 1 — внезапно дают 4k+1! Чтобы получить 4k+3, нужно умножить нечётное количество чисел вида 4k+3.
Получается, класс 4k+1 "притягивает" больше составных чисел. Он является мультипликативно замкнутым по отношению к произведениям любого количества множителей.
А класс 4k+3 "притягивает" меньше составных чисел, особенно с малым количеством простых множителей. Он "замкнут" только для произведений нечётного числа множителей вида 4k+3.
Эта алгебраическая асимметрия означает, что класс 4k+1 содержит больше составных чисел (относительно своего размера). Следовательно, доля чисел в классе 4k+3, которые являются простыми, статистически выше, чем доля простых в классе 4k+1. Это и создаёт изначальный перекос в пользу π(x; 4, 3).
Доказательство Рубинштейна и Сарнака (1994 г.) — не просто технический трюк. Оно показывает, что смещение Чебышёва — не локальный феномен, а глобальное свойство распределения простых чисел, закодированное в нулях дзета-функции Римана и её аналогов (L-функций Дирихле). Распределение простых по прогрессиям (вроде 4k+1 и 4k+3) управляется фазами (аргументами) этих нулей. Смещение возникает из-за конструктивной интерференции фаз, отвечающих за модуль 4. Усиленная гипотеза Римана (предполагающая расположение нулей на Re(s) = ½ и их линейную независимость) гарантирует, что эти фазы ведут себя "достаточно случайно", но не настолько случайно, чтобы скомпенсировать изначальный алгебраический перекос, и позволяет строго доказать преобладание 4k+3.
Простые числа, хоть и непредсказуемы в отдельности, демонстрируют потрясающую статистическую закономерность на групповом уровне, управляемую глубинной гармонией комплексного анализа. Их "предпочтение" невычетов — следствие этой тонкой, но мощной математической структуры.
Математика постоянно напоминает нам, что наши эстетические ожидания (равномерность, симметрия) часто расходятся с глубокой реальностью. Смещение Чебышёва — яркий пример естественной, неустранимой асимметрии, встроенной в самые основы арифметики.
Почему "3" преобладает?
Ключ действительно в квадратичных вычетах (1 — квадратичный вычет mod 4, а 3 — нет). Но как это реально влияет на счёт? Представьте:
Числа вида 4k+1 могут свободно перемножаться: (4a+1)·(4b+1) = 16ab + 4a + 4b + 1 = 4(4ab+a+b) + 1 — снова 4k+1.
Числа вида 4k+3 ведут себя строже: (4a+3)·(4b+3) = ... + 9 = ... + 8 + 1 = 4(...) + 1 — внезапно дают 4k+1! Чтобы получить 4k+3, нужно умножить нечётное количество чисел вида 4k+3.
Получается, класс 4k+1 "притягивает" больше составных чисел. Он является мультипликативно замкнутым по отношению к произведениям любого количества множителей.
А класс 4k+3 "притягивает" меньше составных чисел, особенно с малым количеством простых множителей. Он "замкнут" только для произведений нечётного числа множителей вида 4k+3.
Эта алгебраическая асимметрия означает, что класс 4k+1 содержит больше составных чисел (относительно своего размера). Следовательно, доля чисел в классе 4k+3, которые являются простыми, статистически выше, чем доля простых в классе 4k+1. Это и создаёт изначальный перекос в пользу π(x; 4, 3).
Доказательство Рубинштейна и Сарнака (1994 г.) — не просто технический трюк. Оно показывает, что смещение Чебышёва — не локальный феномен, а глобальное свойство распределения простых чисел, закодированное в нулях дзета-функции Римана и её аналогов (L-функций Дирихле). Распределение простых по прогрессиям (вроде 4k+1 и 4k+3) управляется фазами (аргументами) этих нулей. Смещение возникает из-за конструктивной интерференции фаз, отвечающих за модуль 4. Усиленная гипотеза Римана (предполагающая расположение нулей на Re(s) = ½ и их линейную независимость) гарантирует, что эти фазы ведут себя "достаточно случайно", но не настолько случайно, чтобы скомпенсировать изначальный алгебраический перекос, и позволяет строго доказать преобладание 4k+3.
Простые числа, хоть и непредсказуемы в отдельности, демонстрируют потрясающую статистическую закономерность на групповом уровне, управляемую глубинной гармонией комплексного анализа. Их "предпочтение" невычетов — следствие этой тонкой, но мощной математической структуры.
Математика постоянно напоминает нам, что наши эстетические ожидания (равномерность, симметрия) часто расходятся с глубокой реальностью. Смещение Чебышёва — яркий пример естественной, неустранимой асимметрии, встроенной в самые основы арифметики.
❤12👍8❤🔥2🔥2🤔1
Математика возникновения военных конфликтов
Хотя причины войн глубоко укоренены в человеческой психологии, политике, истории и культуре, математика предоставляет мощные модели и концептуальные рамки для понимания логики решений, ведущих к конфликту. Рассмотрим несколько ключевых подходов, проливающих свет на эту трагическую закономерность.
1. Теория игр: Ловушка недоверия
Суть: Страны (игроки), не доверяя друг другу, попадают в ситуацию, где взаимовыгодное сотрудничество становится невозможным, а агрессия – рациональным выбором.
Аналогия: "Дилемма заключённого". Представим себе, что два рыцаря стоят у узкого моста. Каждый хочет пройти первым и выбирает: уступить или атаковать.
Если А уступает, а Б атакует → А летит в реку (худший исход для А!).
Если А атакует, а Б уступает → А проходит первым (лучший исход для А!).
Если оба атакуют → оба ранены (плохо, но терпимо).
Если оба уступают → проходят по очереди (хорошо, но не идеально).
Рациональный выбор (Доминирующая стратегия):
Если Б уступит: А выгодно атаковать (получить лучший исход).
Если Б атакует: А выгодно атаковать (избежать худшего исхода).
Вывод: Независимо от действий Б, атаковать – лучшая стратегия для А! То же рассуждение верно для Б.
Равновесие Нэша: Единственный устойчивый исход – оба атакуют (война), хотя мир ("оба уступают") был бы лучше для обоих.
Ключевое понимание: Рациональный страх быть обманутым заставляет стороны выбирать агрессию, даже зная, что мир выгоднее. Это ловушка недоверия, из которой трудно вырваться без внешнего арбитра или механизмов принуждения к сотрудничеству.
Хотя причины войн глубоко укоренены в человеческой психологии, политике, истории и культуре, математика предоставляет мощные модели и концептуальные рамки для понимания логики решений, ведущих к конфликту. Рассмотрим несколько ключевых подходов, проливающих свет на эту трагическую закономерность.
1. Теория игр: Ловушка недоверия
Суть: Страны (игроки), не доверяя друг другу, попадают в ситуацию, где взаимовыгодное сотрудничество становится невозможным, а агрессия – рациональным выбором.
Аналогия: "Дилемма заключённого". Представим себе, что два рыцаря стоят у узкого моста. Каждый хочет пройти первым и выбирает: уступить или атаковать.
Если А уступает, а Б атакует → А летит в реку (худший исход для А!).
Если А атакует, а Б уступает → А проходит первым (лучший исход для А!).
Если оба атакуют → оба ранены (плохо, но терпимо).
Если оба уступают → проходят по очереди (хорошо, но не идеально).
Рациональный выбор (Доминирующая стратегия):
Если Б уступит: А выгодно атаковать (получить лучший исход).
Если Б атакует: А выгодно атаковать (избежать худшего исхода).
Вывод: Независимо от действий Б, атаковать – лучшая стратегия для А! То же рассуждение верно для Б.
Равновесие Нэша: Единственный устойчивый исход – оба атакуют (война), хотя мир ("оба уступают") был бы лучше для обоих.
Ключевое понимание: Рациональный страх быть обманутым заставляет стороны выбирать агрессию, даже зная, что мир выгоднее. Это ловушка недоверия, из которой трудно вырваться без внешнего арбитра или механизмов принуждения к сотрудничеству.
👍17❤4🔥2😱1
2. Теория ожидаемой полезности: Расчёт риска
Суть: Рациональный лидер сравнивает ожидаемую "полезность" войны с текущим положением.
Решение лидера:
V – Ценность победы (территория, ресурсы, безопасность, идеология, месть).
p – Вероятность успеха (сила армии, союзники, слабость врага).
C – Издержки войны (жизни солдат, экономический крах, репутация).
S – Полезность статус-кво (насколько плохо текущее положение: бедность, унижение, угрозы).
Сравнение: Ожидаемая полезность войны равна pV – C.
Если pV – C >> S, война кажется выгодной;
если pV – C << S, мир выглядит лучше;
Если S крайне низка или отрицательна → Война может казаться меньшим злом даже при скромных ожиданиях победы.
Почему начинается война? Лидер ошибается в расчётах:
Переоценка p: "Наша армия непобедима!", "Они сдадутся!"
Сверхценность V: "Эта земля священна!", "Мы должны уничтожить зло!"
Недооценка C: "Потери будут минимальны!", "Они не посмеют сопротивляться!"
Невыносимость S: "Терпеть больше невозможно!" (война как единственный выход).
Безвыходность: Поражение (U поражения) не страшнее текущего S ("Терять нечего").
Ключевое понимание: Война видится как стратегический риск – опасный прыжок, который в момент решения кажется лидеру лучшим выходом, чем сохранение статус-кво.
Суть: Рациональный лидер сравнивает ожидаемую "полезность" войны с текущим положением.
Решение лидера:
V – Ценность победы (территория, ресурсы, безопасность, идеология, месть).
p – Вероятность успеха (сила армии, союзники, слабость врага).
C – Издержки войны (жизни солдат, экономический крах, репутация).
S – Полезность статус-кво (насколько плохо текущее положение: бедность, унижение, угрозы).
Сравнение: Ожидаемая полезность войны равна pV – C.
Если pV – C >> S, война кажется выгодной;
если pV – C << S, мир выглядит лучше;
Если S крайне низка или отрицательна → Война может казаться меньшим злом даже при скромных ожиданиях победы.
Почему начинается война? Лидер ошибается в расчётах:
Переоценка p: "Наша армия непобедима!", "Они сдадутся!"
Сверхценность V: "Эта земля священна!", "Мы должны уничтожить зло!"
Недооценка C: "Потери будут минимальны!", "Они не посмеют сопротивляться!"
Невыносимость S: "Терпеть больше невозможно!" (война как единственный выход).
Безвыходность: Поражение (U поражения) не страшнее текущего S ("Терять нечего").
Ключевое понимание: Война видится как стратегический риск – опасный прыжок, который в момент решения кажется лидеру лучшим выходом, чем сохранение статус-кво.
👍14❤2🔥2
3. Системная динамика: Снежный ком эскалации
Суть: Малые причины накапливаются и усиливают друг друга через самоусиливающиеся (положительные) петли обратной связи, приводя систему к коллапсу (войне).
Механизм войны.
– Гонка вооружений:
Страна А наращивает армию → Страна Б чувствует угрозу → Б наращивает армию → А видит подтверждение угрозы → А наращивает еще больше → ...
– Эскалация ненависти:
Пропаганда ("Враг X ненавидит нас!") → Мелкие стычки → Рост взаимной ненависти → Еще больше пропаганды → ...
Точка невозврата: Модель показывает, когда отношения становятся неустойчивыми. Тогда малейший толчок (покушение, провокация) запускает неконтролируемую эскалацию в полномасштабную войну.
Ключевое понимание: Война – результат неконтролируемого роста напряженности, где каждый шаг противников лишь усугубляет конфликт, делая мирное решение всё менее достижимым.
Суть: Малые причины накапливаются и усиливают друг друга через самоусиливающиеся (положительные) петли обратной связи, приводя систему к коллапсу (войне).
Механизм войны.
– Гонка вооружений:
Страна А наращивает армию → Страна Б чувствует угрозу → Б наращивает армию → А видит подтверждение угрозы → А наращивает еще больше → ...
– Эскалация ненависти:
Пропаганда ("Враг X ненавидит нас!") → Мелкие стычки → Рост взаимной ненависти → Еще больше пропаганды → ...
Точка невозврата: Модель показывает, когда отношения становятся неустойчивыми. Тогда малейший толчок (покушение, провокация) запускает неконтролируемую эскалацию в полномасштабную войну.
Ключевое понимание: Война – результат неконтролируемого роста напряженности, где каждый шаг противников лишь усугубляет конфликт, делая мирное решение всё менее достижимым.
👍12🔥2
4. Нелинейная динамика: Катастрофический обрыв
Суть: Плавное нарастание напряженности может внезапно привести к катастрофическому скачку (войне), после которого возврат к миру крайне труден. Система становится сверхчувствительной к случайностям.
Аналогия с шариком:
– "Ложбина мира": Шарик (отношения стран) устойчиво лежит в мирном состоянии. Мелкие толчки (инциденты) не выводят его.
– Наклон плоскости: Напряженность растет (гонка вооружений, кризис) – шарик катится к краю.
– Точка бифуркации: Критический порог, где "ложбина мира" исчезает или сливается с "пропастью войны". Мирное равновесие становится невозможным.
– "Мах крыла бабочки": В точке бифуркации система крайне чувствительна. Малейшее случайное событие (техническая неполадка, убийство политика, ошибка), незначительное в иное время, становится спусковым крючком.
– Падение в пропасть: Шарик (система) стремительно скатывается в войну.
– Гистерезис: Вернуть шарик обратно (заключить мир) невероятно трудно и требует иного пути/огромных усилий (победа, капитуляция, истощение).
Ключевое понимание: Война – это внезапный обрыв стабильности, а не плавное усиление конфликта. Предсказать точный момент начала войны из-за роли случайности в критической точке невозможно. Предотвратить войну легче до точки бифуркации.
Суть: Плавное нарастание напряженности может внезапно привести к катастрофическому скачку (войне), после которого возврат к миру крайне труден. Система становится сверхчувствительной к случайностям.
Аналогия с шариком:
– "Ложбина мира": Шарик (отношения стран) устойчиво лежит в мирном состоянии. Мелкие толчки (инциденты) не выводят его.
– Наклон плоскости: Напряженность растет (гонка вооружений, кризис) – шарик катится к краю.
– Точка бифуркации: Критический порог, где "ложбина мира" исчезает или сливается с "пропастью войны". Мирное равновесие становится невозможным.
– "Мах крыла бабочки": В точке бифуркации система крайне чувствительна. Малейшее случайное событие (техническая неполадка, убийство политика, ошибка), незначительное в иное время, становится спусковым крючком.
– Падение в пропасть: Шарик (система) стремительно скатывается в войну.
– Гистерезис: Вернуть шарик обратно (заключить мир) невероятно трудно и требует иного пути/огромных усилий (победа, капитуляция, истощение).
Ключевое понимание: Война – это внезапный обрыв стабильности, а не плавное усиление конфликта. Предсказать точный момент начала войны из-за роли случайности в критической точке невозможно. Предотвратить войну легче до точки бифуркации.
👍11🔥2❤1🤡1