Сам Людвиг Витгенштейн — выдающийся философ 20 в., работавший в области логики, философии математики и философии языка. Витгенштейн создал прототип языка математической логики — схему построения искусственного «идеального языка». Центральная идея его философии — отношение языка и мира. Он считал, что задача философии — это избавление от противоречий и определение правил использования слов и выражений — языковых единиц.
Интересны некоторые факты из его биографии.
Отец Витгенштейна был сталелитейным магнатом, мать — пианисткой.
Он учился в одной школе (и, вероятно, в одном классе) с А. Гитлером.
Увлекался конструированием летательных аппаратов и в 22 года получил патент на изобретения в области реактивных двигателей и пропеллеров.
Главным научным трудом учёного стал «Логико-философский трактат», который, не понял даже его учитель Рассел. Почти весь он был написан во время Первой мировой войны, когда Витгенштейн находился в лагере для военнопленных. До этого момента Витгенштейн успел поучаствовать в обороне против Брусиловского прорыва (разумеется, воюя на стороне австро-германской армии), где получил ранение и боевую награду.
Когда получил богатое наследство, принялся его транжирить, жертвуя крупные суммы австрийским архитекторам, художникам и писателям. Но после возвращения с фронта Витгенштейн разделил полученное от отца наследство между оставшимися родственниками. После войны на несколько лет перестал заниматься философией, стал садовником в монастыре, а потом сельским учителем начальных классов. Составил орфографический словарь для учеников начальной школы из 5700 слов.
Изучил русский язык и посетил СССР, где хотел стать чернорабочим.
Был архитектором дома в Вене, который получил название Haus Wittgenstein (во время Второй мировой войны он был казармой для солдат Советского Союза).
В 50 лет во время Второй мировой войны работал санитаром в госпитале Лондона.

Простые числа-близнецы и константа Бруна

Мартин Гарднер пишет: «В теории чисел нет раздела, более насыщенного загадками, чем теория простых чисел: этих раздражающих, непослушных целых чисел, которые отказываются делиться на какое-либо целое число, кроме самих себя и 1. Некоторые вопросы, касающиеся простых чисел, настолько просто формулируются, что понятны даже ребенку, и вместе с тем они настолько глубоки и далеки от решения, что многие математики теперь подозревают, что они не имеют решения... Возможно, теория чисел, как квантовая механика, имеет свой собственный принцип неопределенности, который делает необходимым, в некоторых областях, отказ от точности в пользу вероятностных формулировок».

Довольно неожиданный результат связан с простыми числами-близнецами — так называют пару последовательных простых чисел, отличающихся на 2, например, 5 и 7 или 881 и 883. На данный момент наибольшими известными числами-близнецами являются
2 996 863 034 895 · 2¹ ²⁹⁰ ⁰⁰⁰ ± 1;
они были найдены в сентябре 2016 г. Ниже 10¹⁸ существует 808 675 888 577 436 пар простых чисел-близнецов.
Предполагается, что всего пар-близнецов бесконечно много, но это ещё не доказано.
В 2014 г. было доказано, что существует бесконечно много пар простых чисел, которые отличаются не более чем на 246.

В 1737 г. Эйлер доказал, что ряд чисел, обратных простым, расходится:
½ + ⅓ + ⅕ + ¹⁄₇ + ¹⁄₁₁ + … = ∞
(отсюда, в частности, следует, что простых чисел бесконечно много, хотя этот факт умел доказывать ещё Евклид).
Удивительный факт был получен в 1919 г. норвежским математиком Вигго Бруном: ему удалось показать, что сумма обратных величин простых чисел-близнецов сходится (ну или просто конечна и рациональна, если вдруг окажется, что само их число конечно):
В = (⅓ + ⅕) + (⅕ + ¹⁄₇) + (¹⁄₁₁ + ¹⁄₁₃) + … ≈ 1,902160583104.
Это означает, что если простых близнецов и бесконечно много, то всё же они расположены в натуральном ряду довольно редко.
Ряд этот сходится чрезвычайно медленно: после суммирования первых миллиарда членов относительная погрешность всё ещё превышает 5%.
Доказательство Бруна имеет важное значение в теории чисел, поскольку вводит довольно общий метод решета. По сути идея метода решета Бруна аналогична решету Эратосфена, но вместо удаления всех кратных, Брун для оценки количества чисел, не делящихся на определённые простые, используя формулу включений-исключений. Для оценки количества чисел, не делящихся ни на одно из заданных простых, Брун из мощности данного множества сначала вычитал мощности подмножеств чисел, делящихся на 2 и делящихся на 3. Теперь, когда числа, делящиеся и на 2, и на 3, были исключены дважды, прибавлял мощность множества чисел, делящихся на 6. На следующем шаге вычитал мощность множества чисел, делящихся на 5, и снова прибавлял мощности множеств чисел, делящихся на 10 и делящихся на 15. Кроме того, теперь нужно было вычесть мощность множества чисел, делящихся на 30. И т.д.
Достоверные границы для константы Бруна сегодня известны следующие: 1,830484424658 < B < 2,347. При выполнении ещё некоторых правдоподобных, но пока не доказанных гипотез теории чисел, её значение соответствует тому приближённому (с точностью 13 значащих цифр), что приведено выше.

Интересно отметить, что именно в ходе работ по вычислению константы Бруна в 1994 г. была обнаружена ошибка в арифметике с плавающей точкой процессора Pentium. Когда дело дошло до пары 824 633 702 442±1, в машинной выдаче обнаружились странности — суммы, посчитанные до добавления в сеть новых мощных машин на базе Pentium, отличались от цифр, полученных после. Несмотря на то, что неправильный результат в среднем выдавался в одном случае из 9 миллиардов, новость о наличии бага привела к тому, что в 1995 г. корпорация Intel потратила 475 миллионов долларов на замену содержащих дефект процессоров.

Для любителей конспирологии и красивых цифр забавное наблюдение Е. Касперского за компанией Гугл:
«В ходе IPO в 2004 г. цена проданного на бирже пакета акций должна была составить $2,718281828 млрд (число e). А через год компания продала на бирже ещё один пакет акций: 14 159 265 бумаг (дробная часть числа π с точностью до восьми знаков). В ходе торгов на патенты Нортеля Гугл последовательно предлагал следующие ставки: $1 902 160 580 (константа Бруна), $2 614 972 128 (константа Майзеля-Мертенса) и $3 141 590 000 (π). Правда, в итоге победителем стал Эпл сотоварищи, отваливший охренительных размеров контейнер с деньгами — $4,5 млрд».

Решение. R и r — корни уравнения
(5 – t)²+(7 – t)² = t²,
т.е. t²– 24t + 74= 0.
По теореме Виета R+r = 24, Rr = 74.
Отсюда 1/R + 1/r = (R+r)/Rr = 12/37.

Представьте себе большой набор данных — каких-нибудь величин, взятых из реальной жизни, отличающихся друг от друга на несколько порядков (допустим, в миллион раз). Подойдёт, например, месячный доход всех граждан РФ в рублях или долларах; или, скажем, площадь зеркала всех водоёмов на Земле (прудов, озёр, морей, океанов), в кв. м или кв. футах. Для всей совокупности данных построим распределение первой цифры (от 1 до 9) в десятичной записи числа. Что можно сказать про это распределение?

Закон Бенфорда: почему цифра 1 правит миром

В 1881 г. американский астроном Саймон Ньюкомб обратил внимание на то, что в книгах, содержащих логарифмические таблицы, гораздо сильнее истёрты страницы, которые содержат логарифмы чисел, начинающихся с единицы, а страницы с числами, начинающимися на 9 — почти новые. Хотя, казалось бы, все цифры должны были встречаться примерно одинаковое количество раз.
Повторно обратил внимание на указанный феномен Фрэнк Бенфорд. Он анализировал табличные данные, касающиеся абсолютно несвязанных между собой понятий. В число анализа попали бассейны 335 крупнейших рек планеты, удельная теплоёмкость различных веществ, уличные номера домов и многое другое. После обработки массива информации стало ясно, что в качестве первой значащей цифры числа единица появляется с вероятностью 30,1%. Для числа 2 эта вероятность уменьшается до 18%, а для 9 составляет всего 4,6%.
Почему так происходит?
Если говорить совсем простыми словами, то ключ — в логарифмической шкале и порядках величин. Чтобы число увеличилось с 1 до 2, ему нужно вырасти на 100%, а чтобы с 8 до 9 — всего на 12,5%. "Пространства" для чисел, начинающихся с 1 (от 1 до 2), в логарифмической шкале гораздо больше, чем для чисел, начинающихся с 9 (от 9 до 10). Эффект проявляется сильнее, когда данные охватывают несколько порядков величин.
Более аккуратное объяснение следующее. Запишем число Х в стандартном виде:
Х = M · 10ᴱ;
M ∈ [1; 10) — называют мантиссой (нас интересует её первая цифра d), E — порядком величины (или экспонентой).
Закон Бенфорда утверждает, что мантисса M распределена равномерно в логарифмическом пространстве. Почему?
Если данные масштабно-инвариантны, смена единиц измерения (умножение Х на константу) соответствует сдвигу логарифма:
lg СХ = lg С + lg Х.
Единственное распределение, инвариантное относительно сдвига — равномерное распределение.
Пусть U = lg Х. Из масштабной инвариантности следует, что дробная часть {U} = U −⌊U⌋ распределена равномерно на интервале [0;1).
Число Х = 10ᵁ начинается с цифры d, если его мантисса M лежит в интервале:
[d; d+1) для d = 1, 2, ..., 9.
Вероятность этого P(d ≤ M < d+1) равна
P(lg d ≤ {U} < lg (d+1)).
Поскольку {U} распределена на интервале [0;1) равномерно, вероятность попадания в интервал [lg d; lg (d+1)) равна его длине:
P(d)= lg (d+1) − lg d = lg(1 + 1/d).
Это и есть закон Бенфорда.
Так, для d = 1 имеем:
P(1) = lg (1+1/1) = lg (2) ≈ 0,301;
для d = 9:
P(9) = lg (1+1/9) ≈ lg (1,111) ≈ 0,046.

Где применяется закон Бенфорда?
Если финансовая отчётность (бухгалтерские книги, налоговая декларация, данные по расходам) искусственно придумана человеком, её цифры часто не подчиняются закону Бенфорда. Люди склонны равномерно распределять цифры или избегать мелких цифр. Аудиторы и регуляторы активно применяют это для выявления подозрительных данных. Если реальные данные сильно отклоняются от Бенфорда без веской причины, это может сигнализировать об ошибках в сборе, обработке или даже о подтасовках. Также отклонения от Бенфорда могут использоваться для анализа голосования. Так что закон Бенфорда — не просто любопытный математический казус, а мощный инструмент анализа данных.

Закон Бенфорда и закон Парето

Эти два закона не являются прямыми следствиями друг друга, но имеют общим то, что они описывают неравномерность распределения ресурсов. Только Бенфорд описывает распределение первых цифр в данных, а Парето фокусируется на концентрации ресурсов.
Оба явления возникают в одних и тех же типах данных (экономические показатели, размеры объектов и т.п.).
Данные, которые подчиняются степенному распределению (как Парето), автоматически удовлетворяют закону Бенфорда при условии, что они охватывают несколько порядков величины. Но не все данные, подчиняющиеся Бенфорду, обязаны быть степенными. Достаточно выполнения масштабной инвариантности (например, логнормальное распределение также может дать Бенфорд). Парето — частный, но важный случай.
Закон Парето и закон Бенфорда — это два проявления одной фундаментальной идеи: в сложных системах неравномерность — правило, а не исключение. Парето показывает "перекос" в распределении величин, а Бенфорд раскрывает его цифровой "отпечаток". Понимание этой связи позволяет глубже анализировать данные, находить аномалии и видеть математическую гармонию в хаосе реального мира.

Канал Математика не для всех опубликовал забавные посты: здесь и здесь. В них описан трюк для сравнения дробей. Если взять случайные целые числа a, b, c, d от 1 до N, то, чтобы понять, какая дробь больше: a/b или c/d, предлагается сравнить суммы (a + d) и (b + c). Утверждается, что с вероятностью, стремящейся к 11/12 при большом N, указанные дроби и суммы имеют один знак неравенства.
Вывода результата и ссылок коллега не привёл, поэтому захотелось перепроверить ответ. В вычислительном плане задачка оказалась не столь тривиальной — потребовалось вычислить четырёхмерный интеграл. С помощью нейросети DeepSeek и численного эксперимента удалось подтвердить правильность ответа 11/12.

Я переформулировал задачу следующим образом. Имеются 4 независимые случайные величины из интервала (0; 1): a, b, c, d. Строим один прямоугольник со сторонами a и d и второй прямоугольник — со сторонами b и c. И сравниваем площади и периметры этих прямоугольников. Нужно найти вероятность того, что знак неравенства в обоих случаях будет одинаковым.
В такой интерпретации, на мой взгляд, результат задачи кажется более понятным. Множество прямоугольников является частично упорядоченным. Мы можем сказать, что один прямоугольник больше другого, если тот целиком помещается внутри первого. Тогда он будет больше второго прямоугольника и по площади, и по периметру. Однако, имеются такие прямоугольники, которые мы не можем упорядочить: ни первый не помещается во втором, ни второй в первом. В этом случае может оказаться, что их площади и периметры имеют одинаковый знак неравенства, а может оказаться, что — разный. Вот вероятность последнего события и составляет 1/12.

Возьмём два прямоугольника, совместим их в одной вершине так, чтобы большая сторона одного прямоугольника шла вдоль большей стороны другого, а меньшая сторона одного — вдоль меньшей стороны другого. Рассмотрим случай, когда ни один прямоугольник не поместился внутри другого. Может ли так оказаться, что если повернуть один из прямоугольников, то его можно будет целиком разместить внутри другого?

В комментах к прошлому посту Nikita Medved сделал одно интересное уточнение. Идёт ли речь о том, чтобы поместить один прямоугольник внутрь другого без поворота — или без всяких ограничений (можно с помощью поворота).
Прежде всего, может быть, сходу не очевидно, что прямоугольник, не помещающийся в другом (при согласовании больших и меньших сторон) может целиком оказаться внутри него при повороте на какой-нибудь острый угол. (Хотя пример построить элементарно: у первого прямоугольника стороны х и х, а у второго — 1,1х и 0,1х; ясно, что при повороте на 45⁰ второй полностью разместится в первом.)
И всё же, это уточнение о том, чтобы один прямоугольник располагался внутри другого «без поворота» является ненужным.
Почему так?
Потому что несложно показать, что если нам удалось один прямоугольник любым способом разместить внутри другого, то и его площадь, и его периметр меньше соответствующих характеристик объемлющего прямоугольника. А нас интересует случай рассогласования, когда у одной характеристики знак больше, а у другой — меньше.

Куб Руперта

В 1693 г. принц Рупрехт Пфальцский выиграл спор, утверждая, что в единичном кубе можно сделать отверстие, через которое можно протащить второй точно такой же куб. Решение было найдено математиком Джоном Валлисом. Валлис предположил, что такое отверстие будет параллельно пространственной диагонали куба. Проекция куба на плоскость, перпендикулярная этой диагонали, является правильным шестиугольником, а самое большое отверстие, параллельное диагонали, можно получить, нарисовав наибольший квадрат, который можно вписать в этот шестиугольник. Подсчёт размера такого квадрата показывает, что куб с длиной ребра √6 – √2 ≈ 1,035 может пройти через такое отверстие.
Спустя примерно 100 лет после выигранного спора голландский естествоиспытатель Питер Ньюланд вычислил, что лучшее (оптимальное) решение может быть получено при прорезании отверстия под другим углом, чем пространственная диагональ. Он показал, что наибольший куб, который может пройти сквозь куб с ребром 1, имеет ребро ¾ √2 ≈ 1,06066. Найти такой куб эквивалентно нахождению наибольшего квадрата, который мог бы поместиться в куб, поскольку как только такой квадрат помещён в единичный куб, остаётся лишь сделать сквозное отверстие, для которого этот квадрат является сечением куба (т. е., иными словами, надо начать двигать указанный квадрат параллельно самому себе и удалять все части куба, которые квадрат пересечёт на своём пути).
Куб не единственная фигура, которая может пройти через вырезанное отверстие в своей копии; то же верно и для правильных тетраэдра и октаэдра.
Естественным образом, задача обобщается на случай больших размерностей: например, найти наибольшие размеры обычного куба, который можно поместить внутри 4-мерного гиперкуба. В этой задаче ответ задаётся как один из корней многочлена 4-й степени с целыми коэффициентами и составляет примерно 1,0074.
А вообще, показано, что в n-мерный куб с ребром 1 мм войдёт вся наша Вселенная, если только n достигнет достаточно большой величины.

С именем принца Рупрехта Пфальцского в популяризации науки связан ещё один экспонат. Это перенапряжённая стеклянная капля Руперта.
Такие капли возникают, если капнуть расплавленным стеклом в холодную воду — стекло после начнёт застывать в форме головастика, с длинным изогнутым «хвостом». При этом «голова» капли обладает исключительной прочностью: по ней можно бить металлическим молотком в полную силу — она выдерживает усилие гидравлического пресса до 30 тонн, оставляя вмятину на стали. Но стоит надломить или просто задеть «хвост» капли, она мгновенно разлетается на мелкие осколки по направлению от «хвоста» к «голове».
Странное поведение капли сумели объяснить только в 2016 г., когда записали процесс её разрушения с помощью высокоскоростной видеосъёмки.
Довольно любопытный объект, являющий собой метафору противоречий — колоссальной прочности и одновременно уязвимости. Он как бы напоминает нам, что даже самые устойчивые системы имеют своё «слабое звено».

В математике меандром называют незамкнутую прямую на плоскости, пересекающую данную прямую трансверсально в конечном числе точек. Например, шоссе, идущее с запада на восток, пересекает несколько раз реку, текущую с северо-запада на юго-восток. Занумеруем мосты в порядке их следования. Проплывая под мостами вниз по реке, мы будем встречать, вообще говоря, их в другом порядке. Например, в таком: 3, 2, 1, 4, 7, 6, 5. Таким образом, эта река определяет перестановку чисел (3 2 1 4 7 6 5). Ясно, что другая река могла бы протекать иначе и задавать другую перестановку. Но далеко не всякая перестановка может быть реализована таким образом. Саму перестановку называют меандром, если она может быть осуществлена с помощью подходящей реки.
Задача подсчёта числа неэквивалентных меандров — сложная открытая проблема. Более того, неизвестна даже асимптотика роста этих чисел.
Многочисленные рисунки меандров содержатся в работе А. Пуанкаре «Ободной геометрической теореме», где он пытался доказать с их помощью, что отображение кольца в себя, сохраняющее площади и сдвигающее граничные окружности в разные стороны, имеет не менее двух неподвижных точек. Теорема Пуанкаре была доказана Биркгофом в 1913 г. другим методом, но её обобщение на отображение сферы с ручками было доказано в 1978 г. Я.М. Элиашбергом на основе теории меандров.
Из теории меандров вытекают, например, такие теоремы:
1. Нестягиваемая несамопересекающаяся гладкая замкнутая кривая на проективной плоскости имеет не менее трёх точек перегиба.
2. Замкнутая плоская кривая имеет не менее 4 экстремальных точек кривизны.

Меандром ещё называют распространённый со времён палеолита ленточный орнамент, образуемый ломаной под прямым углом линией. По одной из версий, элемент меандра происходит от схематического изображения капкана, охотничьей ловушки для зверя, что согласуется с археологическими источниками. Особое распространение этот орнамент получил в Древней Греции, где он олицетворял бесконечное обновление человеческой жизни и её извилистое течение.


Задача из ВПР (5 класс). На рисунке показан фрагмент меандра, длина которого по горизонтали равна 47 клеток. Сколько клеток составляет вся извилистая линия меандра, если её толщина везде одинакова и равна ширине белых промежутков.
Ответ: 167.