Так можно ли выиграть, играя поочерёдно в две заведомо проигрышные игры?

26 мая 1667 г. родился Абрахам де Муавр, английский математик французского происхождения.
Вследствие притеснения протестантов во Франции Муавр попал в тюрьму, вынужден был эмигрировать в Англию. Но там он как иностранец не имел никаких шансов на кафедру в английском учебном заведении и зарабатывал частным преподаванием и шахматной игрой: религиозная дискриминация сменилась национальной.
Был близким другом Ньютона, помогал ему в редактировании его трудов, участвовал в комиссии, разбиравшей приоритетный спор Ньютона и Лейбница. Рассказывают, что Ньютон выпроваживал досаждавших его посетителей с помощью фразы: «Идите к де Муавру, он разбирается в этом лучше меня».
Муавр является одним из наиболее незаслуженно забытых учёных. Ему принадлежит асимптотическое представление факториала, носящее название формулы Стирлинга. Он первым ввёл функцию нормального распределения и доказал частный случай центральной предельной теоремы. Первый ввёл равномерное распределение и распределение Пуассона. Первый стал использовать возведение в степень бесконечных рядов. Первый установил связь между рекуррентными последовательностями и разностными уравнениями. Внёс значительный вклад в теорию решения однородных линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами.
Чаще всего имя Муавра сегодня вспоминают в связи с формулой возведения в степень (и извлечения корня) комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме (которую он получил задолго до открытия Эйлером показательной формы комплексного числа).

Ещё довольно популярна легенда (и она даже упомянута в английской Википедии) о том, что Муавр предсказал дату своей смерти 27 ноября 1754 г., когда вдруг заметил, что его сон увеличивается каждые сутки на 15 минут. После чего он составил арифметическую прогрессию и определил день, когда его сон займёт целые сутки, объявив его датой смерти. К сожалению, такая вот, очевидно, вымышленная, история, составляет главную память о выдающемся математике.

Как получить формулу?

Идея вывода формулы по ссылке.

Вот что писал «великий русский педагог, передовой общественный деятель, создатель научной педагогической системы» К.Д. Ушинский о занятиях математикой:

«Школьный же опыт показывает нам странное явление: молодые люди, с любовью и успехом занимающиеся математикою, чаще всего оказываются малоспособными к другим наукам, особенно к словесности и истории. На математиках-специалистах весьма часто во всю их жизнь лежит какой-то странный оттенок ограниченности, и нередко с глубоким знанием математики уживаются в голове самые дикие, уродливые фантазии и упорнейшие, ограниченнейшие предрассудки. Математика изучает только формальную сторону мира и только формальным образом развивает человека». («Педагогические идеи Н.И.Пирогова»)

«В прежнее время математика пользовалась известностью науки, исключительно развивающей рассудок, но современные германские педагоги почти совершенно отнимают у математики это достоинство, утверждая, что она развивает только математические способности… Но если математические законы примешиваются ко всему, то они далеко не обнимают собой всего и если они служат основанием многим техническим наукам, то вне этого технического приложения менее всего доставляют пользы в понимании общественной жизни, которая слагается из элементов, вовсе не подлежащих исчислению математики. Математические соображения слишком прямолинейны, тогда как всякий жизненный вопрос требует соединения в фокус одной идеи множества разнообразнейших и повсюду разбросанных данных. Вот почему исключительное занятие математикой кладет иногда особенно вредный в жизни отпечаток на человека, сообщает его мыслям именно эту математическую прямолинейность, делает его взгляды на жизнь односторонними, придает им какую-то особенную сухость и безжизненность. Привычка же доверяться верности математических выводов делает часто математиков упрямыми фантазерами или бесплодными критиками. Начав с известного или справедливого положения, не видя множества разнообразнейших жизненных влияний, они приходят иногда к самым эксцентрическим выводам или к особенно сухой и бесплодной формальности <…>
Преобладание математического и технического направления составляют, без сомнения, одну не из последних причин замечательного бессилия и бесплодия нашей администрации, которая, несмотря на свою громадность, математическую рассчитанность и вечное движение своих бесчисленных колес, дает так мало положительных результатов». («Письма о воспитании наследника русского престола».)

Согласны с «основоположником оригинальной русской педагогики»? 😊

К.Д. Ушинский, конечно, выдающийся педагог. Но в ценностях образования разбирался не очень…
В чём же он заблуждался?

1. Считал, что математика учит лишь «прямолинейным» выводам.
Однако, решение математических задач требует прежде всего не знания алгоритмов, а творческого подхода — математика развивает гибкость ума. И абстрактное мышление есть сила, а не слабость: умение строить модели помогает анализировать сложные системы.
2. Противопоставлял математику и гуманитарные науки.
В реальности они не противоположны, а нередко и взаимно дополняют друг друга. Например, лингвисты применяют статистику и алгоритмы для анализа текстов; логика и теория вероятностей объясняют, как люди принимают решения; математические модели помогают реконструировать экономику прошлого. Математика служит основой междисциплинарного взаимодействия различных наук, является языком, на котором говорят все науки.
3. Опасался, что математики «упорно доверяют формулам», «становятся упрямыми фантазёрами».
Это не соответствует действительности. Многие настоящие математики являются глубокими мыслителями, не только владеющими логикой, но и умеющими творчески подходить к задачам реального мира.
На деле математика учит скептицизму, а не догматизму, воспитывает критическое мышление, ибо любое утверждение требует доказательства. Математика приучает проверять каждое утверждение, искать ошибки, сомневаться в очевидном — это полный антипод «упрямым фантазиям». И именно это защищает от псевдонаучных мифов.
4. Упрекал математику в «сухости» и «бесплодности».
Ограниченность — следствие неумелого педагогического преподнесения, а не самой науки. Отсутствие прямой практической пользы от изучения собственно математики является скорее достоинством, чем недостатком. Сегодня мы наблюдаем в системе образования перекос в противоположную сторону — стремление во что бы то ни стало получить практическую пользу от полученных минимальных знаний.
И всё же, тут скорее имеет место критика не самой математики и приложимости её результатов к жизни, а манеры её преподавания в то время — сухой и начётнической.
5. Утверждал, что математика игнорирует «жизненные влияния» и «разнообразие данных».
Но математика не «упрощает» реальность — она помогает её структурировать, видеть связи там, где они неочевидны. Современная математика включает теорию вероятностей, статистику, теорию игр и моделирование — инструменты, которые анализируют неопределённость, случайность и сложные системы. Именно системное математическое мышление позволяет анализировать общественные процессы: как распространяется информация (графы и теория вероятностей); как работают выборы и голосования (теория игр); как формируются рынки и спрос (математическая экономика); как бороться с фейками и предсказывать кризисы (анализ данных). Математика — не «формальная сторона мира», а мощный инструмент познания сложности. Она не отрывает от жизни, а помогает её понять.
6. Связывал бюрократическую неэффективность с математическим мышлением.
Проблема здесь, конечно, не в математике, а в неумении применять её методы к сложным системам. Современный менеджмент вполне успешно использует математику (анализ данных, оптимизацию, теорию графов, машинное обучение) для повышения эффективности.

В оправдание Ушинского можно привести контекст его высказываний. Он сам был гуманитарием, специалистом по языку и психологии. А то, что человеку плохо известно, нередко кажется ему переоценённым или даже вредным. Это то, что сегодня называют когнитивным искажением компетентности.
Основоположник педагогической системы жил в эпоху промышленной революции, когда рост влияния техники вызывал опасения, а математика ассоциировалась с бездушной механизацией.
Ушинский боролся за развитие личности, гуманитарное и нравственное воспитание, противопоставляя его развитию абстрактного «рассудка», и в полемике немного зарапортовался — не учёл, что математическое мышление — тоже часть гуманитарной культуры, что развиваемая математикой способность мыслить абстрактно и критически — не менее важный элемент мышления, чем эмоциональное сопереживание и историческая эмпатия.

Представьте себе прибитое к стене колесо, на ободе которого подвижно закреплён стержень (в точке А). В точке B он проходит сквозь гильзу, также шарнирно прикреплённую к стене одной из своих образующих. Внутри гильзы стержень может свободно перемещаться туда-сюда. При вращении колеса точка А движется по окружности. Какую траекторию при этом описывает второй конец стержня — точка С?

Стержень Витгенштейна

Эту геометрическую задачу поставил Людвиг Витгенштейн. Ответ на вопрос задачи зависит от трёх параметров: радиуса колеса r, расстояния d от центра колеса О до гильзы В и длины стержня l.
В качестве небольшого упражнения я вывел уравнение траектории движения конца стержня С в декартовой системе координат с началом в центре колеса, получилось следующее уравнение 6-й степени:
(x³+xy²−dx²+dy²+r²x−l²x−r²d+l²d)²+
+(y³+x²y+r²y−l²y−2dxy)²=
=4r² (x²+y²−dx)².
И нет, это не инверсия кардиоиды, как об этом написано в русской Википедии. Это кривая, «похожая на неё» («looking like an inverted cardioid», как сказано в английской Википедии).
Во вложенном файле Геогебры можно увидеть, какие будут получаться траектории при варьировании этих трёх параметров. (Для построения траектории нужно запустить точку Р, а для её стирания — слегка подвигать экран.)
Пишут, что данная математическая конструкция применяется для облегчения понимания физических расчётов сингулярных процессов и процессов, вызванных инерционностью физических систем. Форму траектории стержня Витгенштейна принимают языки пламени, падающие капли воды, загнутый пополам лист бумаги, если зажать между двух пальцев его сведённые вместе края, листья некоторых растений. А также графики зависимостей многих физических процессов (например, зависимость скорости движения лодки по воде после броска камня из неё от времени движения; зависимость напряжения и силы тока от длины проводника замкнутой цепи при коротком замыкании; зависимость (от времени) интенсивности вторичного свечения атома при поглощении фотона).
Стержень Витгенштейна — красивый пример того, как простая механика порождает сложную траекторию.

Сам Людвиг Витгенштейн — выдающийся философ 20 в., работавший в области логики, философии математики и философии языка. Витгенштейн создал прототип языка математической логики — схему построения искусственного «идеального языка». Центральная идея его философии — отношение языка и мира. Он считал, что задача философии — это избавление от противоречий и определение правил использования слов и выражений — языковых единиц.
Интересны некоторые факты из его биографии.
Отец Витгенштейна был сталелитейным магнатом, мать — пианисткой.
Он учился в одной школе (и, вероятно, в одном классе) с А. Гитлером.
Увлекался конструированием летательных аппаратов и в 22 года получил патент на изобретения в области реактивных двигателей и пропеллеров.
Главным научным трудом учёного стал «Логико-философский трактат», который, не понял даже его учитель Рассел. Почти весь он был написан во время Первой мировой войны, когда Витгенштейн находился в лагере для военнопленных. До этого момента Витгенштейн успел поучаствовать в обороне против Брусиловского прорыва (разумеется, воюя на стороне австро-германской армии), где получил ранение и боевую награду.
Когда получил богатое наследство, принялся его транжирить, жертвуя крупные суммы австрийским архитекторам, художникам и писателям. Но после возвращения с фронта Витгенштейн разделил полученное от отца наследство между оставшимися родственниками. После войны на несколько лет перестал заниматься философией, стал садовником в монастыре, а потом сельским учителем начальных классов. Составил орфографический словарь для учеников начальной школы из 5700 слов.
Изучил русский язык и посетил СССР, где хотел стать чернорабочим.
Был архитектором дома в Вене, который получил название Haus Wittgenstein (во время Второй мировой войны он был казармой для солдат Советского Союза).
В 50 лет во время Второй мировой войны работал санитаром в госпитале Лондона.

Простые числа-близнецы и константа Бруна

Мартин Гарднер пишет: «В теории чисел нет раздела, более насыщенного загадками, чем теория простых чисел: этих раздражающих, непослушных целых чисел, которые отказываются делиться на какое-либо целое число, кроме самих себя и 1. Некоторые вопросы, касающиеся простых чисел, настолько просто формулируются, что понятны даже ребенку, и вместе с тем они настолько глубоки и далеки от решения, что многие математики теперь подозревают, что они не имеют решения... Возможно, теория чисел, как квантовая механика, имеет свой собственный принцип неопределенности, который делает необходимым, в некоторых областях, отказ от точности в пользу вероятностных формулировок».

Довольно неожиданный результат связан с простыми числами-близнецами — так называют пару последовательных простых чисел, отличающихся на 2, например, 5 и 7 или 881 и 883. На данный момент наибольшими известными числами-близнецами являются
2 996 863 034 895 · 2¹ ²⁹⁰ ⁰⁰⁰ ± 1;
они были найдены в сентябре 2016 г. Ниже 10¹⁸ существует 808 675 888 577 436 пар простых чисел-близнецов.
Предполагается, что всего пар-близнецов бесконечно много, но это ещё не доказано.
В 2014 г. было доказано, что существует бесконечно много пар простых чисел, которые отличаются не более чем на 246.

В 1737 г. Эйлер доказал, что ряд чисел, обратных простым, расходится:
½ + ⅓ + ⅕ + ¹⁄₇ + ¹⁄₁₁ + … = ∞
(отсюда, в частности, следует, что простых чисел бесконечно много, хотя этот факт умел доказывать ещё Евклид).
Удивительный факт был получен в 1919 г. норвежским математиком Вигго Бруном: ему удалось показать, что сумма обратных величин простых чисел-близнецов сходится (ну или просто конечна и рациональна, если вдруг окажется, что само их число конечно):
В = (⅓ + ⅕) + (⅕ + ¹⁄₇) + (¹⁄₁₁ + ¹⁄₁₃) + … ≈ 1,902160583104.
Это означает, что если простых близнецов и бесконечно много, то всё же они расположены в натуральном ряду довольно редко.
Ряд этот сходится чрезвычайно медленно: после суммирования первых миллиарда членов относительная погрешность всё ещё превышает 5%.
Доказательство Бруна имеет важное значение в теории чисел, поскольку вводит довольно общий метод решета. По сути идея метода решета Бруна аналогична решету Эратосфена, но вместо удаления всех кратных, Брун для оценки количества чисел, не делящихся на определённые простые, используя формулу включений-исключений. Для оценки количества чисел, не делящихся ни на одно из заданных простых, Брун из мощности данного множества сначала вычитал мощности подмножеств чисел, делящихся на 2 и делящихся на 3. Теперь, когда числа, делящиеся и на 2, и на 3, были исключены дважды, прибавлял мощность множества чисел, делящихся на 6. На следующем шаге вычитал мощность множества чисел, делящихся на 5, и снова прибавлял мощности множеств чисел, делящихся на 10 и делящихся на 15. Кроме того, теперь нужно было вычесть мощность множества чисел, делящихся на 30. И т.д.
Достоверные границы для константы Бруна сегодня известны следующие: 1,830484424658 < B < 2,347. При выполнении ещё некоторых правдоподобных, но пока не доказанных гипотез теории чисел, её значение соответствует тому приближённому (с точностью 13 значащих цифр), что приведено выше.

Интересно отметить, что именно в ходе работ по вычислению константы Бруна в 1994 г. была обнаружена ошибка в арифметике с плавающей точкой процессора Pentium. Когда дело дошло до пары 824 633 702 442±1, в машинной выдаче обнаружились странности — суммы, посчитанные до добавления в сеть новых мощных машин на базе Pentium, отличались от цифр, полученных после. Несмотря на то, что неправильный результат в среднем выдавался в одном случае из 9 миллиардов, новость о наличии бага привела к тому, что в 1995 г. корпорация Intel потратила 475 миллионов долларов на замену содержащих дефект процессоров.

Для любителей конспирологии и красивых цифр забавное наблюдение Е. Касперского за компанией Гугл:
«В ходе IPO в 2004 г. цена проданного на бирже пакета акций должна была составить $2,718281828 млрд (число e). А через год компания продала на бирже ещё один пакет акций: 14 159 265 бумаг (дробная часть числа π с точностью до восьми знаков). В ходе торгов на патенты Нортеля Гугл последовательно предлагал следующие ставки: $1 902 160 580 (константа Бруна), $2 614 972 128 (константа Майзеля-Мертенса) и $3 141 590 000 (π). Правда, в итоге победителем стал Эпл сотоварищи, отваливший охренительных размеров контейнер с деньгами — $4,5 млрд».

Решение. R и r — корни уравнения
(5 – t)²+(7 – t)² = t²,
т.е. t²– 24t + 74= 0.
По теореме Виета R+r = 24, Rr = 74.
Отсюда 1/R + 1/r = (R+r)/Rr = 12/37.

Представьте себе большой набор данных — каких-нибудь величин, взятых из реальной жизни, отличающихся друг от друга на несколько порядков (допустим, в миллион раз). Подойдёт, например, месячный доход всех граждан РФ в рублях или долларах; или, скажем, площадь зеркала всех водоёмов на Земле (прудов, озёр, морей, океанов), в кв. м или кв. футах. Для всей совокупности данных построим распределение первой цифры (от 1 до 9) в десятичной записи числа. Что можно сказать про это распределение?

Закон Бенфорда: почему цифра 1 правит миром

В 1881 г. американский астроном Саймон Ньюкомб обратил внимание на то, что в книгах, содержащих логарифмические таблицы, гораздо сильнее истёрты страницы, которые содержат логарифмы чисел, начинающихся с единицы, а страницы с числами, начинающимися на 9 — почти новые. Хотя, казалось бы, все цифры должны были встречаться примерно одинаковое количество раз.
Повторно обратил внимание на указанный феномен Фрэнк Бенфорд. Он анализировал табличные данные, касающиеся абсолютно несвязанных между собой понятий. В число анализа попали бассейны 335 крупнейших рек планеты, удельная теплоёмкость различных веществ, уличные номера домов и многое другое. После обработки массива информации стало ясно, что в качестве первой значащей цифры числа единица появляется с вероятностью 30,1%. Для числа 2 эта вероятность уменьшается до 18%, а для 9 составляет всего 4,6%.
Почему так происходит?
Если говорить совсем простыми словами, то ключ — в логарифмической шкале и порядках величин. Чтобы число увеличилось с 1 до 2, ему нужно вырасти на 100%, а чтобы с 8 до 9 — всего на 12,5%. "Пространства" для чисел, начинающихся с 1 (от 1 до 2), в логарифмической шкале гораздо больше, чем для чисел, начинающихся с 9 (от 9 до 10). Эффект проявляется сильнее, когда данные охватывают несколько порядков величин.
Более аккуратное объяснение следующее. Запишем число Х в стандартном виде:
Х = M · 10ᴱ;
M ∈ [1; 10) — называют мантиссой (нас интересует её первая цифра d), E — порядком величины (или экспонентой).
Закон Бенфорда утверждает, что мантисса M распределена равномерно в логарифмическом пространстве. Почему?
Если данные масштабно-инвариантны, смена единиц измерения (умножение Х на константу) соответствует сдвигу логарифма:
lg СХ = lg С + lg Х.
Единственное распределение, инвариантное относительно сдвига — равномерное распределение.
Пусть U = lg Х. Из масштабной инвариантности следует, что дробная часть {U} = U −⌊U⌋ распределена равномерно на интервале [0;1).
Число Х = 10ᵁ начинается с цифры d, если его мантисса M лежит в интервале:
[d; d+1) для d = 1, 2, ..., 9.
Вероятность этого P(d ≤ M < d+1) равна
P(lg d ≤ {U} < lg (d+1)).
Поскольку {U} распределена на интервале [0;1) равномерно, вероятность попадания в интервал [lg d; lg (d+1)) равна его длине:
P(d)= lg (d+1) − lg d = lg(1 + 1/d).
Это и есть закон Бенфорда.
Так, для d = 1 имеем:
P(1) = lg (1+1/1) = lg (2) ≈ 0,301;
для d = 9:
P(9) = lg (1+1/9) ≈ lg (1,111) ≈ 0,046.

Где применяется закон Бенфорда?
Если финансовая отчётность (бухгалтерские книги, налоговая декларация, данные по расходам) искусственно придумана человеком, её цифры часто не подчиняются закону Бенфорда. Люди склонны равномерно распределять цифры или избегать мелких цифр. Аудиторы и регуляторы активно применяют это для выявления подозрительных данных. Если реальные данные сильно отклоняются от Бенфорда без веской причины, это может сигнализировать об ошибках в сборе, обработке или даже о подтасовках. Также отклонения от Бенфорда могут использоваться для анализа голосования. Так что закон Бенфорда — не просто любопытный математический казус, а мощный инструмент анализа данных.

Закон Бенфорда и закон Парето

Эти два закона не являются прямыми следствиями друг друга, но имеют общим то, что они описывают неравномерность распределения ресурсов. Только Бенфорд описывает распределение первых цифр в данных, а Парето фокусируется на концентрации ресурсов.
Оба явления возникают в одних и тех же типах данных (экономические показатели, размеры объектов и т.п.).
Данные, которые подчиняются степенному распределению (как Парето), автоматически удовлетворяют закону Бенфорда при условии, что они охватывают несколько порядков величины. Но не все данные, подчиняющиеся Бенфорду, обязаны быть степенными. Достаточно выполнения масштабной инвариантности (например, логнормальное распределение также может дать Бенфорд). Парето — частный, но важный случай.
Закон Парето и закон Бенфорда — это два проявления одной фундаментальной идеи: в сложных системах неравномерность — правило, а не исключение. Парето показывает "перекос" в распределении величин, а Бенфорд раскрывает его цифровой "отпечаток". Понимание этой связи позволяет глубже анализировать данные, находить аномалии и видеть математическую гармонию в хаосе реального мира.

Канал Математика не для всех опубликовал забавные посты: здесь и здесь. В них описан трюк для сравнения дробей. Если взять случайные целые числа a, b, c, d от 1 до N, то, чтобы понять, какая дробь больше: a/b или c/d, предлагается сравнить суммы (a + d) и (b + c). Утверждается, что с вероятностью, стремящейся к 11/12 при большом N, указанные дроби и суммы имеют один знак неравенства.
Вывода результата и ссылок коллега не привёл, поэтому захотелось перепроверить ответ. В вычислительном плане задачка оказалась не столь тривиальной — потребовалось вычислить четырёхмерный интеграл. С помощью нейросети DeepSeek и численного эксперимента удалось подтвердить правильность ответа 11/12.

Я переформулировал задачу следующим образом. Имеются 4 независимые случайные величины из интервала (0; 1): a, b, c, d. Строим один прямоугольник со сторонами a и d и второй прямоугольник — со сторонами b и c. И сравниваем площади и периметры этих прямоугольников. Нужно найти вероятность того, что знак неравенства в обоих случаях будет одинаковым.
В такой интерпретации, на мой взгляд, результат задачи кажется более понятным. Множество прямоугольников является частично упорядоченным. Мы можем сказать, что один прямоугольник больше другого, если тот целиком помещается внутри первого. Тогда он будет больше второго прямоугольника и по площади, и по периметру. Однако, имеются такие прямоугольники, которые мы не можем упорядочить: ни первый не помещается во втором, ни второй в первом. В этом случае может оказаться, что их площади и периметры имеют одинаковый знак неравенства, а может оказаться, что — разный. Вот вероятность последнего события и составляет 1/12.

Возьмём два прямоугольника, совместим их в одной вершине так, чтобы большая сторона одного прямоугольника шла вдоль большей стороны другого, а меньшая сторона одного — вдоль меньшей стороны другого. Рассмотрим случай, когда ни один прямоугольник не поместился внутри другого. Может ли так оказаться, что если повернуть один из прямоугольников, то его можно будет целиком разместить внутри другого?

В комментах к прошлому посту Nikita Medved сделал одно интересное уточнение. Идёт ли речь о том, чтобы поместить один прямоугольник внутрь другого без поворота — или без всяких ограничений (можно с помощью поворота).
Прежде всего, может быть, сходу не очевидно, что прямоугольник, не помещающийся в другом (при согласовании больших и меньших сторон) может целиком оказаться внутри него при повороте на какой-нибудь острый угол. (Хотя пример построить элементарно: у первого прямоугольника стороны х и х, а у второго — 1,1х и 0,1х; ясно, что при повороте на 45⁰ второй полностью разместится в первом.)
И всё же, это уточнение о том, чтобы один прямоугольник располагался внутри другого «без поворота» является ненужным.
Почему так?
Потому что несложно показать, что если нам удалось один прямоугольник любым способом разместить внутри другого, то и его площадь, и его периметр меньше соответствующих характеристик объемлющего прямоугольника. А нас интересует случай рассогласования, когда у одной характеристики знак больше, а у другой — меньше.