Кубирование куба, то есть разбиение куба на конечное число попарно неравных между собой кубов, невозможно.
Доказательство. Допустим, что искомое разбиение куба существует.
Рассмотрим одну из граней куба, очевидно, не уменьшая общность, можно выбрать нижнюю грань.
На нижней грани стоят неравновеликие кубы, своими нижними рёбрами разбивающие грань на неравновеликие квадраты.
Найдём самый маленький квадрат разбиения нижней грани. Очевидно, что этот квадрат не может примыкать к ребру куба, будучи ограничен сторонами бо́льших квадратов, следовательно, он должен располагаться где-то внутри грани.
Теперь рассмотрим верхнюю грань этого малого кубика. Поскольку по предположению это самый маленький кубик на нижней грани куба, он окружен более высокими кубами. Поэтому на его верхнюю грань не заступает ни один соседний куб. Следовательно, стоящие на этой грани кубики меньшего размера снова разбивают верхнюю грань этого кубика на неравновеликие квадраты, причём самый малый квадрат разбиения верхней грани рассматриваемого кубика снова не может принадлежать ребру кубика и находится внутри грани.
Продолжая этот процесс рассуждения, получаем бесконечную последовательность кубов, каждый из которых меньше предыдущего и примыкает к его верхней грани. Это противоречит начальному предположению.
Такое рассуждение называют методом бесконечного спуска.

Как законы электротехники помогли решить задачу квадрирования квадрата

В 1903 г. Макс Ден задал вопрос: «Можно ли разрезать квадрат на конечное число меньших квадратов, все разных размеров?». Долгое время задача считалась нерешаемой — до 1939 г., когда первые примеры такого разбиения всё же были найдены (четырьмя студентами Тринити-колледжа Кембриджского университета). Удивительным образом, эта задача оказалась тесно связанной с теорией графов, комбинаторикой и... правилами Кирхгофа из физики.
Они предложили представлять квадраты разбиения как элементы электрической цепи: линейный размер квадрата — сопротивление резистора; горизонтальные границы между квадратами — узлы цепи; вертикальные границы — контуры.
Как это работает? Каждый квадрат «втекает» током в свои границы.
По первому правилу Кирхгофа: сумма токов, втекающих в узел, равна сумме вытекающих. В терминах квадратов это означает, что сумма длин сторон, сходящихся в узле, должна быть одинаковой.
По второму правилу Кирхгофа: сумма падений напряжений в замкнутом контуре равна нулю. Для квадратов это условие сохранения размеров при обходе контура.
Таким образом, задача сводится к решению системы линейных уравнений, где неизвестные — длины сторон квадратов. Решение этой системы даёт искомое разбиение.
В 1978 г. было найдено минимальное разбиение из 21 квадрата (его размеры — корни системы из 26 уравнений!). Кстати, его нашёл студент-архитектор из Нидерландов — не математик.
Задача о квадрировании квадрата — яркий пример того, как идеи из одной области науки (электротехники) могут неожиданно решить проблему в другой (геометрии). Она напоминает: математика — это не набор изолированных тем, а единый организм, где всё взаимосвязано. Кажущиеся абстракции могут оказаться ключом к решению практических проблем — даже если для этого нужно представить квадраты резисторами!

Прочитать о квадрировании квадрата с помощью электрических цепей можно в книгах [Возможность разбиения на 21 квадрат на тот момент ещё не была известна!]:
Яглом И.М. «Как разрезать квадрат», 1968;
Гарднер М. «Математические головоломки и развлечения», 1971.

Задача И.Ф. Шарыгина. Из реалий 90-х.
Многочисленные бомжи, появившиеся в наших городах, чтобы покурить, собирают окурки. Из трёх окурков бомжи наловчились делать одну самокрутку. Сколько самокруток сможет выкурить бомж, собравший 24 окурка?

Предлагается такое решение задачи. Наш герой сделает и выкурит 8 самокруток. После этого у него будет 8 окурков: из 6 окурков он сделает и выкурит ещё 2 самокрутки, и у него останется 4 окурка. Из трёх окурков он сделает и выкурит ещё одну самокрутку. (Для математической строгости стоит упомянуть, что относительно последовательности действий результат инвариантен: на каждом шаге создания и выкуривания одной самокрутки количество окурков уменьшается на 2.) И вот наконец у него осталось 2 окурка…
А теперь самое интересное: одолжив у другого бомжа один окурок, он сделает ещё одну самокрутку и, выкурив её, вернёт долг! Таким образом, всего он сможет выкурить 8+2+1+1=12 самокруток.

Считаете ли вы это решение математически корректным?

На рисунке изображён квадрат. Найдите сумму площадей зелёных треугольников.

Решение задачи по ссылке.

В июне стартует онлайн-курс по теории вероятностей от автора «Кроссворда Тьюринга» Вани Яковлева. Это двухмесячный курс для тех, кто хочет разобраться в теорвере с нуля на глубоком уровне — через решение практических задач. Подробности в посте ниже.

Имеется две игры, каждая из которых в долговременной перспективе ведёт к разорению. Например, такие:
Игра А: Немного нечестная монета: вероятность выигрыша 49%, а проигрыша — 51%. (Матожидание отрицательное: –2% от ставки.)
Игра Б: Зависит от вашего капитала: если он кратен 3, используем монету с шансом выигрыша 9%, а если не кратен 3, то с шансом выигрыша 74%. (Здесь матожидание тоже отрицательное: –1,5% от ставки.)
Вам разрешено установить порядок, в котором вы будете играть в эти игры, как-то их чередуя по своему разумению, например: AББAБAББAБ... или, скажем, так: при чётном текущем капитале играть в игру А, а при нечётном — в игру Б.

Вопрос: Можно ли, играя таким образом, в долгосрочном плане выиграть?

Так можно ли выиграть, играя поочерёдно в две заведомо проигрышные игры?

26 мая 1667 г. родился Абрахам де Муавр, английский математик французского происхождения.
Вследствие притеснения протестантов во Франции Муавр попал в тюрьму, вынужден был эмигрировать в Англию. Но там он как иностранец не имел никаких шансов на кафедру в английском учебном заведении и зарабатывал частным преподаванием и шахматной игрой: религиозная дискриминация сменилась национальной.
Был близким другом Ньютона, помогал ему в редактировании его трудов, участвовал в комиссии, разбиравшей приоритетный спор Ньютона и Лейбница. Рассказывают, что Ньютон выпроваживал досаждавших его посетителей с помощью фразы: «Идите к де Муавру, он разбирается в этом лучше меня».
Муавр является одним из наиболее незаслуженно забытых учёных. Ему принадлежит асимптотическое представление факториала, носящее название формулы Стирлинга. Он первым ввёл функцию нормального распределения и доказал частный случай центральной предельной теоремы. Первый ввёл равномерное распределение и распределение Пуассона. Первый стал использовать возведение в степень бесконечных рядов. Первый установил связь между рекуррентными последовательностями и разностными уравнениями. Внёс значительный вклад в теорию решения однородных линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами.
Чаще всего имя Муавра сегодня вспоминают в связи с формулой возведения в степень (и извлечения корня) комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме (которую он получил задолго до открытия Эйлером показательной формы комплексного числа).

Ещё довольно популярна легенда (и она даже упомянута в английской Википедии) о том, что Муавр предсказал дату своей смерти 27 ноября 1754 г., когда вдруг заметил, что его сон увеличивается каждые сутки на 15 минут. После чего он составил арифметическую прогрессию и определил день, когда его сон займёт целые сутки, объявив его датой смерти. К сожалению, такая вот, очевидно, вымышленная, история, составляет главную память о выдающемся математике.

Как получить формулу?

Идея вывода формулы по ссылке.

Вот что писал «великий русский педагог, передовой общественный деятель, создатель научной педагогической системы» К.Д. Ушинский о занятиях математикой:

«Школьный же опыт показывает нам странное явление: молодые люди, с любовью и успехом занимающиеся математикою, чаще всего оказываются малоспособными к другим наукам, особенно к словесности и истории. На математиках-специалистах весьма часто во всю их жизнь лежит какой-то странный оттенок ограниченности, и нередко с глубоким знанием математики уживаются в голове самые дикие, уродливые фантазии и упорнейшие, ограниченнейшие предрассудки. Математика изучает только формальную сторону мира и только формальным образом развивает человека». («Педагогические идеи Н.И.Пирогова»)

«В прежнее время математика пользовалась известностью науки, исключительно развивающей рассудок, но современные германские педагоги почти совершенно отнимают у математики это достоинство, утверждая, что она развивает только математические способности… Но если математические законы примешиваются ко всему, то они далеко не обнимают собой всего и если они служат основанием многим техническим наукам, то вне этого технического приложения менее всего доставляют пользы в понимании общественной жизни, которая слагается из элементов, вовсе не подлежащих исчислению математики. Математические соображения слишком прямолинейны, тогда как всякий жизненный вопрос требует соединения в фокус одной идеи множества разнообразнейших и повсюду разбросанных данных. Вот почему исключительное занятие математикой кладет иногда особенно вредный в жизни отпечаток на человека, сообщает его мыслям именно эту математическую прямолинейность, делает его взгляды на жизнь односторонними, придает им какую-то особенную сухость и безжизненность. Привычка же доверяться верности математических выводов делает часто математиков упрямыми фантазерами или бесплодными критиками. Начав с известного или справедливого положения, не видя множества разнообразнейших жизненных влияний, они приходят иногда к самым эксцентрическим выводам или к особенно сухой и бесплодной формальности <…>
Преобладание математического и технического направления составляют, без сомнения, одну не из последних причин замечательного бессилия и бесплодия нашей администрации, которая, несмотря на свою громадность, математическую рассчитанность и вечное движение своих бесчисленных колес, дает так мало положительных результатов». («Письма о воспитании наследника русского престола».)

Согласны с «основоположником оригинальной русской педагогики»? 😊

К.Д. Ушинский, конечно, выдающийся педагог. Но в ценностях образования разбирался не очень…
В чём же он заблуждался?

1. Считал, что математика учит лишь «прямолинейным» выводам.
Однако, решение математических задач требует прежде всего не знания алгоритмов, а творческого подхода — математика развивает гибкость ума. И абстрактное мышление есть сила, а не слабость: умение строить модели помогает анализировать сложные системы.
2. Противопоставлял математику и гуманитарные науки.
В реальности они не противоположны, а нередко и взаимно дополняют друг друга. Например, лингвисты применяют статистику и алгоритмы для анализа текстов; логика и теория вероятностей объясняют, как люди принимают решения; математические модели помогают реконструировать экономику прошлого. Математика служит основой междисциплинарного взаимодействия различных наук, является языком, на котором говорят все науки.
3. Опасался, что математики «упорно доверяют формулам», «становятся упрямыми фантазёрами».
Это не соответствует действительности. Многие настоящие математики являются глубокими мыслителями, не только владеющими логикой, но и умеющими творчески подходить к задачам реального мира.
На деле математика учит скептицизму, а не догматизму, воспитывает критическое мышление, ибо любое утверждение требует доказательства. Математика приучает проверять каждое утверждение, искать ошибки, сомневаться в очевидном — это полный антипод «упрямым фантазиям». И именно это защищает от псевдонаучных мифов.
4. Упрекал математику в «сухости» и «бесплодности».
Ограниченность — следствие неумелого педагогического преподнесения, а не самой науки. Отсутствие прямой практической пользы от изучения собственно математики является скорее достоинством, чем недостатком. Сегодня мы наблюдаем в системе образования перекос в противоположную сторону — стремление во что бы то ни стало получить практическую пользу от полученных минимальных знаний.
И всё же, тут скорее имеет место критика не самой математики и приложимости её результатов к жизни, а манеры её преподавания в то время — сухой и начётнической.
5. Утверждал, что математика игнорирует «жизненные влияния» и «разнообразие данных».
Но математика не «упрощает» реальность — она помогает её структурировать, видеть связи там, где они неочевидны. Современная математика включает теорию вероятностей, статистику, теорию игр и моделирование — инструменты, которые анализируют неопределённость, случайность и сложные системы. Именно системное математическое мышление позволяет анализировать общественные процессы: как распространяется информация (графы и теория вероятностей); как работают выборы и голосования (теория игр); как формируются рынки и спрос (математическая экономика); как бороться с фейками и предсказывать кризисы (анализ данных). Математика — не «формальная сторона мира», а мощный инструмент познания сложности. Она не отрывает от жизни, а помогает её понять.
6. Связывал бюрократическую неэффективность с математическим мышлением.
Проблема здесь, конечно, не в математике, а в неумении применять её методы к сложным системам. Современный менеджмент вполне успешно использует математику (анализ данных, оптимизацию, теорию графов, машинное обучение) для повышения эффективности.

В оправдание Ушинского можно привести контекст его высказываний. Он сам был гуманитарием, специалистом по языку и психологии. А то, что человеку плохо известно, нередко кажется ему переоценённым или даже вредным. Это то, что сегодня называют когнитивным искажением компетентности.
Основоположник педагогической системы жил в эпоху промышленной революции, когда рост влияния техники вызывал опасения, а математика ассоциировалась с бездушной механизацией.
Ушинский боролся за развитие личности, гуманитарное и нравственное воспитание, противопоставляя его развитию абстрактного «рассудка», и в полемике немного зарапортовался — не учёл, что математическое мышление — тоже часть гуманитарной культуры, что развиваемая математикой способность мыслить абстрактно и критически — не менее важный элемент мышления, чем эмоциональное сопереживание и историческая эмпатия.

Представьте себе прибитое к стене колесо, на ободе которого подвижно закреплён стержень (в точке А). В точке B он проходит сквозь гильзу, также шарнирно прикреплённую к стене одной из своих образующих. Внутри гильзы стержень может свободно перемещаться туда-сюда. При вращении колеса точка А движется по окружности. Какую траекторию при этом описывает второй конец стержня — точка С?