Выход в пространство
Может ли стереометрическая интерпретация помочь в решении планиметрической задачи? Оказывается, выход в объемлющее пространство иногда позволяет лучше понять многие свойства изучаемого объекта.

Доказательство многих теорем проективной геометрии становится простым, если найти им интерпретацию в объемлющем пространстве.
Классическим примером служит теорема Дезарга. Пусть прямые, соединяющие соответственные вершины треугольников АВС и А′В′С′ пересекаются в одной точке Z; тогда точки U, V и W пересечения прямых АВ и А′В′, ВС и В′С′, АС и А′С′ соответственно коллинеарны (т.е. лежат на одной прямой).
Утверждение теоремы становится очевидным, если увидеть на рисунке трёхгранный угол, пересекаемый двумя плоскостями. Точки пересечения указанных прямых принадлежат линии пересечения этих плоскостей, и потому лежат на одной прямой.

Ещё одним ярким примером является теорема Монжа (или задача о трёх колпаках). Для трёх произвольных окружностей, каждая из которых не лежит целиком внутри другой, точки пересечения общих внешних касательных к каждой окружности лежат на одной прямой.
Замечательная анимация к этой теореме сделана на сайте Математические этюды.

Много других интересных примеров доказательства теорем и решения задач с помощью выхода в объемлющее пространство (включая 4-е измерение!) можно найти в статьях журнала «Квант»:
И.Ф. Шарыгина, 1975, № 5 и
В.Ю. Протасова, 2017, № 12; 2018, № 1; 2018, № 2.

Существуют ли восемь точек на плоскости, которые можно покрасить в два цвета так, чтобы для любых трёх точек одного цвета нашлась бы четвёртая точка другого цвета, образующая с этими тремя вершины параллелограмма?
Подсказка. Попробуйте сначала окрасить так вершины куба.

Через центр правильного треугольника ABC провели произвольную прямую l, пересекающую стороны AB и BC в точках D и E. Построили точку F такую, что AE = FE и CD = FD. Докажите, что расстояние от точки F до прямой l не зависит от выбора этой прямой.
Подсказка. Постройте на данном треугольнике правильный тетраэдр.

На плоскости даны четыре прямые общего положения. По первым двум плывут пароходы A и B, по двум другим – пароходы C и D. Все скорости постоянны. Известно, что A и B встречаются между собой, а также встречают каждый из пароходов C и D. Докажите, что C и D также встречаются между собой.
Подсказка. Нарисуйте графики движения пароходов в трёхмерной системе координат; третья координата – время.

И ещё одна задачка.
Её, конечно, можно решить чисто технически. Но для ощущения красоты задачи необходимо выйти в пространство!

Люба рисует шестиугольнички. В каждом следующем шестиугольнике на один ряд больше.
а) Чему равна сумма точек в первых 25 шестиугольниках?
б) Чему равно количество точек в 25-м шестиугольнике?
Подсказка: нужно увидеть в шестиугольнике куб.

Начиная с положения, показанного на рисунке, круг А катится без проскальзывания по кругу В. Сколько оборотов вокруг своего центра сделает круг А, когда его центр достигнет своей начальной точки?

Ответ на вопрос - 4 - объяснён в ролике Veritasium

На доске нарисовали пятиугольник. Потом его стёрли, но оставили середины всех сторон. Как по этим пяти точкам восстановить пятиугольник?

Задача Софьи Ковалевской.
На доске нарисовали квадрат. Потом его стёрли, но оставили по одной точке на каждой стороне. Как по этим четырём точкам восстановить квадрат?