«Не имеет значения, кто первый приходит к идее, важнее — как далеко эта идея может зайти»

«Алгебра — это всего лишь письменная геометрия, а геометрия — фигурная алгебра»

В апреле 1776 г. родилась Софи Жермен, французский математик, внесшая значительный вклад в дифференциальную геометрию, механику и теорию чисел.
Софи состояла в переписке с д’Аламбером, Фурье, Лагранжем и Гауссом, скрываясь под мужским именем «месье Ле Блан». Лагранж был под таким впечатлением от её статей, что попросил у Ле Блана встречи, и Жермен пришлось открыть ему свою личность.
Софи была первой женщиной, принятой на курсы Академии Наук.

В теории чисел простое число p называют простым числом Софи Жермен, если 2p+1 также является простым. Например, 29 — простое число Софи Жермен, т.к. 2 ∙ 29 + 1 = 59 — простое число. Сама Жермен использовала такие числа в попытках доказать Великую теорему Ферма. Она вывела результат, ныне известный как теорема Жермен, который гласит, что если p нечётное простое число и 2p + 1 также простое число, то p должно делить x, y или z. В противном случае, xⁿ + yⁿ ≠ zⁿ. Сегодня эти числа находят большое применение в криптографии. Пока не доказано, что чисел Софи Жермен бесконечно много.

Софи Жермен первая доказала, что разложить на множители можно не только разность квадратов, но и сумму квадратов. Известна школьная задачка, носящая её имя: доказать, что n⁴+4 является составным числом (при n≠1). Доказательство:
n⁴+4 = n⁴+4n²+ 4 – 4n² =
= (n²+2)² – (2n)² =
= (n²–2n +2) (n²+2n +2).
Таким образом, данное выражение представлено в виде произведения двух сомножителей, каждый из которых больше 1, а значит, не является простым.

Наш подписчик математик Leonid Koganov предложил более сложный путь доказательства, основанный на использовании комплексных чисел, связав эту задачу с задачей вычисления интеграла Лейбница.

«Во многих случаях математика — это бегство от реальности. Математик находит свою монашескую нишу и счастье в занятиях, которые не связаны с внешними делами»

«Важна не столько полезность теоремы, сколько её элегантность»

«Меня всё ещё удивляет, что несколько каракулей на доске или на листе бумаги могут изменить ход человеческих дел».

13 апреля 1909 г. родился Станислав Улам, польский и американский математик. Один из создателей термоядерной бомбы в США. Выдвинул теорию ядерного ракетного двигателя. Открыл концепцию клеточного автомата. Доказал ряд теорем и выдвинул несколько гипотез в чистой и прикладной математике.

Улам разработал численный метод Монте-Карло. Идея метода пришла ему, когда он раскладывал пасьянс Кэнфилд и задумался, какова вероятность того, что пасьянс сойдётся. Комбинаторике эта задача не поддавалась, и он решил взять да и провести, скажем, сотню экспериментов и прямо подсчитать долю успехов.
А после пасьянса учёный перешёл к тому, чем его мозг был занят на работе, — к задаче рассеивания нейтронов на ядрах. Улам сообразил, что его подход даст решение сложного дифференциального уравнения, только нужно представить его в виде случайного процесса.
Суть метода Монте-Карло проще всего пояснить на примере вычисления площади. Как вычислить площадь какой-нибудь замысловатой фигуры, нарисованной на прямоугольном листе бумаги? Равномерно напуляем на этот лист случайных точек. Теперь подсчитаем количество точек внутри фигуры и вообще всех точек, попавших в прямоугольник. Отношение этих чисел и даст приближённо отношение площадей.
Улам назвал метод таким странным образом, поскольку часто вспоминал своего дядю, который регулярно ездил в Монте-Карло играть в азартные игры.

Один довольно забавный результат, связанный с именем учёного, — скатерть Улама. Она была открыта математиком случайно. Однажды, в 1963 г., ему пришлось присутствовать на довольно скучном докладе, и, чтобы развлечься, он начертил на листке бумаги вертикальные и горизонтальные линии, решив заняться составлением шахматных этюдов. Но вместо этого стал нумеровать клетки: в центре поставил единицу, а затем, двигаясь по спирали, двойку, тройку и т. д.
При этом он машинально отмечал все простые числа. И неожиданно оказалось, что они стали выстраиваться вдоль диагональных прямых.
Имеются разные вариации скатерти Улама. Например, в 1994 г. Роберт Сакс изобрёл вариант скатерти Улама, где числа расположены по архимедовой спирали.
Откуда берутся красивые паттерны из простых чисел при закручивании всех натуральных чисел по спирали?! Казалось бы, совершенно невероятный результат!
Однако ему есть довольно простое объяснение. Об этом хорошо рассказывает
Vert Dider и Математика с Надеждой.

«Мир — моя страна, наука — моя религия»

14 апреля 1629 г. родился Христиан Гюйгенс, голландский механик, математик, астроном. Один из основоположников теоретической механики и теории вероятностей.
Открыл кольца Сатурна и его спутник Титан.
Разработал волновую теорию света.
Является изобретателем маятниковых часов. Первым получил формулу для центростремительного ускорения: а = v²/R, для периода колебаний математического маятника: Т = 2π√(l/g). При этом так и не признал закон всемирного тяготения Ньютона, поскольку не допускал возможности действия сил на расстоянии.
Сконструировал двигатель внутреннего сгорания, в качестве топлива которого предполагал использовать порох, но так и не построил его.
Разработал теорию цепных дробей.
Разработал теорию эволют и эвольвент.
Нашёл квадратуры эллипса, гиперболы и круга.
Исследовал циклоиду и цепную линию.

Задача Гюйгенса о вращающемся шарике

Шарик массы m, подвешенный на невесомой и нерастяжимой нити, вращается по окружности в вертикальной плоскости. Какую минимальную силу натяжения должна выдерживать нить, чтобы не оборваться?

Сначала проголосуйте ⤴️

Решение задачи по ссылке.

15 апреля 1707 г. родился Леонард Эйлер. Один из величайших математиков в истории. Имя Эйлера упоминается во всех разделах современной математики: теории чисел, топологии, алгебраической геометрии, комбинаторике, теории графов, анализе, теории обыкновенных дифференциальных уравнений и динамических систем, гидродинамике, механике, теории упругости и проч. Он автор многих понятий, которые по тем или иным причинам связывают с именами других учёных; вот лишь два примера: дзета-функция Римана, гипергеометрический ряд Гаусса — это изобретения Эйлера.
С именем Эйлера связано первое использование обозначения f(x) для функции, буквы i для выражения мнимой единицы, греческой буквы Σ для записи суммы, греческой буквы Δ для обозначения конечных разностей, строчных букв для обозначения сторон треугольника при представлении углов заглавными буквами. Он дал текущее определение константы e, основания натурального логарифма, ныне известного как число Эйлера. Благодаря ему стало общеупотребимым обозначение числа π.
Эйлер считается едва ли не самым плодовитым математиком. По различным оценкам ему принадлежит более 800 названий научных работ, статей, книг, при этом прижизненных публикаций около 500; издание и переиздание его опубликованных и неопубликованных работ растянулось на столетия и далеко до своего завершения; полное собрание сочинений рассчитано более чем на 70 томов. Его рукописи хранятся в Библиотеке РАН в Санкт-Петербурге.
Покоится учёный в Лазаревском некрополе Александро-Невской Лавры СПб.

Знаменитая формула Эйлера для выпуклых многогранников:
В – Р + Г = 2,
где В — количество вершин многогранника, Р — количество его рёбер, а Г — граней.
Напомним возможную идею доказательства.
Будем склеивать наш многогранник из отдельных граней, на каждом шаге приклеивая (по смежным рёбрам) очередную грань к уже склеенным. Сначала возьмём одну из граней в качестве первой. У неё число вершин равно числу рёбер (В – Р = 0), число граней сейчас равно единице, так что на первом шаге имеем В – Р + Г = 1.
Теперь приклеим вторую грань по смежному ребру. Заметим, что число добавленных вершин на единицу меньше числа добавленных рёбер, поэтому разность В – Р уменьшилась на 1; однако число граней увеличилось на 1, так что после второго шага величина В – Р + Г снова равна 1.
На третьем шаге приклеиваем третью грань по смежным рёбрам. Ситуация повторяется: число добавленных вершин на единицу меньше числа добавленных рёбер (разность В – Р уменьшилась на 1), число Г увеличилось на 1, и потому В – Р + Г опять равно 1. Так будет продолжаться вплоть до последнего шага приклеивания последней грани многогранника. Последняя грань не добавит ни новых вершин, ни новых рёбер, но увеличит число Г на единицу. В итоге получим В – Р + Г = 2, что и требовалось.

Идея другого изящного доказательства состоит в построении стереографической проекции многогранника. Можно наглядно представить себе многогранник резиновым, причём одну грань у него вынули (открыли крышку). А затем развернули его на плоскости. Не умаляя общности, можно считать, что деформированные ребра, лежащие в плоскости, являются отрезками. При этом число вершин, рёбер и граней не изменится, если считать, что внешняя для полученного планарного графа часть плоскости соответствует удалённой грани.
Подсчитаем теперь сумму углов всех полученных многоугольников (считая и удалённую грань) двумя способами.
Сумма углов n-угольника равна π(n – 2). Сумма членов вида πn равна общему числу всех граней, т.е. 2Р, ведь каждое из Р рёбер принадлежит двум граням. А так как у нас всего Г слагаемых, получаем π (2Р – 2Г).
С другой стороны, легко видеть, что эта сумма равна 2π(В – 2). Приравнивая результаты и сокращая на 2π, получаем формулу Эйлера.

Используя формулу Эйлера В – Р + Г = 2, можно решить многие задачи.


Задача 1. В стране 30 озёр, соединённых между собой 40 каналами так, что от каждого озера можно доплыть до любого другого. Сколько в этой стране островов?
Ответ: 11.

Задача 2. Внутри квадрата отметили n точек и соединили их непересекающимися отрезками друг с другом и вершинами квадрата так, что квадрат разбился на треугольники. Сколько провели отрезков и сколько получилось треугольников?
Ответ: 3n+1 отрезков, 2n+2 треугольников.

Задача 3. Три соседа имеют три общих колодца. Можно ли провести непересекающиеся дорожки от каждого дома к каждому колодцу?

Решение задачи по ссылке.

Задача 4. В многограннике чёрные грани — правильные пятиугольники, а белые — правильные шестиугольники. В каждой вершине сходится по три грани. Сколько в этом многограннике чёрных граней?

Ответ: 12.

Решение задачи по ссылке.

Задача 5. Теорема. Докажите, что существует ровно 5 типов правильных многогранников.

Решение задачи по ссылке.

Найдите значение выражения.

Основное свойство дроби как метод решения уравнений

Сперва вспомним старый анекдот. В бар заходит довольно большое количество математиков — n человек. Первый из них просит налить пинту пива, второй просит налить полпинты, третий — четверть пинты… Тут бармен и говорит: «Стоп-стоп, ребята. Вот вам на всех 2 – 2¹⁻ⁿ пинты и делите как хотите».

При решении некоторых уравнений полезно иметь в виду приём домножения обеих частей уравнения на выражение, содержащее переменную. Это действие стоит попробовать в том случае, если в его результате при помощи алгебраических формул некое чудовище превратится в красавицу.

Пример 1. Решить систему уравнений:
y = x + 1,
(y + x)(y² + x²) (y⁴ + x⁴) = 255x⁸.

Решение. Домножим второе уравнение на выражение (y – x), равное 1 в силу первого уравнения. После трёхкратного применения формулы разности квадратов получим:
y⁸ – x⁸ = 255x⁸.
Отсюда найдём: y = 2x или y = –2x.
С учётом первого уравнения получим решение:
(x; y) ∈ {(1; 2); (–⅓; ⅔)}.


Пример 2. Решить уравнение:
(1 + x + … + x⁷)(1 + x + … + x⁵) =
= (1 + x + … + x⁶)².

Решение. Домножим обе части равенства на (1 – x)² и применим к каждому множителю формулу сокращённого умножения (или, если угодно, формулу суммы геометрической прогрессии), получим:
(1 – x⁸) (1 – x⁶) = (1 – x⁷)².
Тут важно сразу отметить, что это уравнение не равносильно исходному, а отличается от него наличием лишнего корня x = 1, приобретённого в результате умножения обеих частей равенства на множитель (1 – x).
Последнее уравнение сводится к равенству
x⁶(1 – x)² = 0, имеющему корни 0 и 1. Но корень 1 — посторонний, ответ: x ∈ {0}.


Пример 3. Решить уравнение:
4 cos x cos 2x cos 3x = cos 6x.

Решение. Домножим обе части уравнения на sin x, сразу заметив, что корни уравнения sin x = 0 не являются корнями данного уравнения. Это означает, что из ответа, который мы получим, их придётся исключить.
После двукратного применения формулы синуса двойного угла уравнение примет вид:
sin 4x cos 3x = sin x cos 6x.
Применив формулу произведения синуса и косинуса, придём к уравнению
sin 7x + sin x = sin 7x – sin 5x, или
sin x = sin (–5x).
Отсюда получим совокупность решений:
x = πn/3,
x = π/4 + πn/2.
Из первой серии решений осталось исключить корни уравнения sin x = 0, т.е. значения x = πk, k∈ℤ.
Окончательно получим:
x ∈ {± π/3 + πn; π/4 + πn/2 | n∈ℤ}.