Старый анекдот о Рене Декарте. Заходит как-то раз Декарт в бар и заказывает пиво. Выпил, а бармен спрашивает, не желает ли месье добавки. "Не думаю", — отвечает Рене… и исчезает.
Пояснение для тех, кто, вдруг, не понял шутку. Аллюзия к «Cogito, ergo sum» сама по себе не делает её особо смешной. Суть в том, что шутка логически ошибочна, потому что её концовка является обратной по отношению к исходному утверждению, а обратное по отношению к исходному утверждение не является логически эквивалентным ему.
Эквивалентным Декартовой философеме служит довольно банальное утверждение–контрапозиция: «Не существую, следовательно, не думаю».
Пояснение для тех, кто, вдруг, не понял шутку. Аллюзия к «Cogito, ergo sum» сама по себе не делает её особо смешной. Суть в том, что шутка логически ошибочна, потому что её концовка является обратной по отношению к исходному утверждению, а обратное по отношению к исходному утверждение не является логически эквивалентным ему.
Эквивалентным Декартовой философеме служит довольно банальное утверждение–контрапозиция: «Не существую, следовательно, не думаю».
❤14🔥4
Forwarded from Быстрые задачки по математике (Alexey Sgibnev)
Существует ли арифметическая прогрессия, содержащая все простые числа?
Anonymous Quiz
45%
да
55%
нет
🤯6👍2
Forwarded from Быстрые задачки по математике (Alexey Sgibnev)
(от подписчика) Существует ли непостоянная бесконечная целочисленная арифметическая прогрессия, не содержащая ни одного простого числа?
Anonymous Quiz
77%
да
23%
нет
👍4🔥2
Математический лимерик
Ли́мерик — это стихотворный жанр английского происхождения в форме пятистишия, основанный на обыгрывании бессмыслицы. Чаще всего лимерик написан анапестом (1-я, 2-я и 5-я строки — трёхстопным, 3-я и 4-я — двухстопным), рифма ААВВА.
Например, такие (описывающие примеры на картинках) математические лимерики:
A dozen, a gross, and a score
Plus three times the square root of four
Divided by seven
Plus five times eleven
Is nine squared and not a bit more
Integral z-squared dz
From one to the cube root of three
Times the cosine
of three pi over nine
Equals log of the cube root of e
Есть немало русскоязычных лимериков за разным авторством. Часто довольно хулиганских. Извините.
Жил в Москве математик крутой,
Разделил как-то десять на ноль!
А когда умирал он,
Никому не сказал он,
Как делить можно числа на ноль.
Говорят, математик Лаплас
как-то раз оппоненту дал в глаз.
А потом и в другой,
а потом и ногой
ещё икс в энной степени раз.
Был большим драчуном Роберт Гук —
Страшной силы имел правый хук,
Но его били скопом:
Галилей — телескопом,
Микроскопом — Антон Левенгук.
Сочинил математик Ферма
Теорему, крутую весьма,
Только не доказал.
«Не дурак я, — сказал, —
Вам доказывать всё задарма!»
Один толстый юрист из Тулузы
Многословен бывал до конфуза:
"Тра-ля-ля, тополя..." -
По печатным полям
Рассыпал интегралы и плюсы.
Натуральный философ Ньютон
Часто хаживал в местный притон —
Притяжение тел
Изучить там хотел.
Он вообще был большой моветон.
На уроке решали задачу,
вдруг Коши закричал, чуть не плача:
«Вы скажите, месье,
каков путь был в нуле
и начальная скорость в придачу!»
Факт такой отмечал Галилей:
Те, что в трюмах плывут кораблей,
Как и те, что в порту,
С бодуна, поутру,
Одинаково просят: «Налей!»
По преданию, грек Гераклит
Очень долго лечил свой колит,
А когда излечил,
Тут же на фиг почил.
Или, кажется, то был Эвклид.
Выдающийся оптик Френель
Как-то влез на высокую ель
И кричал с этой ели:
«Люди! Кольца Френеля
Очень ясно мне видно отсель!»
Говорят, как-то раз физик Ом
Спьяну сунул два пальца в разъём
И такие количества
Он провёл электричества,
Что закон назван в память о нём.
Как-то старого Планка из Киля
Об интимном процессе спросили.
— Что сказать... частота
Уж, конечно, не та,
Но энергия — как в гамадриле!
Эрвин Шрёдингер, физик из Вены
Безуспешно решал многочлены.
В уравненье тогда
Он подставил кота —
И задачка сложилась мгновенно!
Математики братья Бернулли
Год работали, глаз не сомкнули,
А потом разболтали
Это все Лопиталю,
И весь труд у них враз умыкнули.
«Что такое свободная группа?»
— за тарелкою вкусного супа
вопрошал Ляпунов.
«Это так, набор слов»
— отвечал ученик, хмурясь тупо.
Математик седой Фибоначчи
Свою жизнь и не мыслил иначе:
3 кота, в 5 обед,
8-летний сосед,
И 13 ремонтов на даче.
Как-то Тейлор с Лагранжем поспорили,
кто из них внёс вклад больший в теорию:
«Мой остаточный член!»
«Зато мой многочлен!»
Хрен поймёшь чего в этой истории.
Ли́мерик — это стихотворный жанр английского происхождения в форме пятистишия, основанный на обыгрывании бессмыслицы. Чаще всего лимерик написан анапестом (1-я, 2-я и 5-я строки — трёхстопным, 3-я и 4-я — двухстопным), рифма ААВВА.
Например, такие (описывающие примеры на картинках) математические лимерики:
A dozen, a gross, and a score
Plus three times the square root of four
Divided by seven
Plus five times eleven
Is nine squared and not a bit more
Integral z-squared dz
From one to the cube root of three
Times the cosine
of three pi over nine
Equals log of the cube root of e
Есть немало русскоязычных лимериков за разным авторством. Часто довольно хулиганских. Извините.
Жил в Москве математик крутой,
Разделил как-то десять на ноль!
А когда умирал он,
Никому не сказал он,
Как делить можно числа на ноль.
Говорят, математик Лаплас
как-то раз оппоненту дал в глаз.
А потом и в другой,
а потом и ногой
ещё икс в энной степени раз.
Был большим драчуном Роберт Гук —
Страшной силы имел правый хук,
Но его били скопом:
Галилей — телескопом,
Микроскопом — Антон Левенгук.
Сочинил математик Ферма
Теорему, крутую весьма,
Только не доказал.
«Не дурак я, — сказал, —
Вам доказывать всё задарма!»
Один толстый юрист из Тулузы
Многословен бывал до конфуза:
"Тра-ля-ля, тополя..." -
По печатным полям
Рассыпал интегралы и плюсы.
Натуральный философ Ньютон
Часто хаживал в местный притон —
Притяжение тел
Изучить там хотел.
Он вообще был большой моветон.
На уроке решали задачу,
вдруг Коши закричал, чуть не плача:
«Вы скажите, месье,
каков путь был в нуле
и начальная скорость в придачу!»
Факт такой отмечал Галилей:
Те, что в трюмах плывут кораблей,
Как и те, что в порту,
С бодуна, поутру,
Одинаково просят: «Налей!»
По преданию, грек Гераклит
Очень долго лечил свой колит,
А когда излечил,
Тут же на фиг почил.
Или, кажется, то был Эвклид.
Выдающийся оптик Френель
Как-то влез на высокую ель
И кричал с этой ели:
«Люди! Кольца Френеля
Очень ясно мне видно отсель!»
Говорят, как-то раз физик Ом
Спьяну сунул два пальца в разъём
И такие количества
Он провёл электричества,
Что закон назван в память о нём.
Как-то старого Планка из Киля
Об интимном процессе спросили.
— Что сказать... частота
Уж, конечно, не та,
Но энергия — как в гамадриле!
Эрвин Шрёдингер, физик из Вены
Безуспешно решал многочлены.
В уравненье тогда
Он подставил кота —
И задачка сложилась мгновенно!
Математики братья Бернулли
Год работали, глаз не сомкнули,
А потом разболтали
Это все Лопиталю,
И весь труд у них враз умыкнули.
«Что такое свободная группа?»
— за тарелкою вкусного супа
вопрошал Ляпунов.
«Это так, набор слов»
— отвечал ученик, хмурясь тупо.
Математик седой Фибоначчи
Свою жизнь и не мыслил иначе:
3 кота, в 5 обед,
8-летний сосед,
И 13 ремонтов на даче.
Как-то Тейлор с Лагранжем поспорили,
кто из них внёс вклад больший в теорию:
«Мой остаточный член!»
«Зато мой многочлен!»
Хрен поймёшь чего в этой истории.
👍13😁10🔥4
Шутки Бэкона: можно подтвердить, что смешная
Шутки Поппера: принципиально могут оказаться несмешными в каком-то из миров
Шутки Гёделя: какую ни придумай, всегда найдётся ещё смешнее
Шутки Банаха-Тарского: из одной можно сделать две точно такие же
Шутки Гудстейна: рано или поздно становится не до смеху
Шутки Шрёдингера: смешные и несмешные одновременно
Шутки Фибоначчи: каждая новая такая же смешная, как две предыдущие вместе взятые
Шутки Поппера: принципиально могут оказаться несмешными в каком-то из миров
Шутки Гёделя: какую ни придумай, всегда найдётся ещё смешнее
Шутки Банаха-Тарского: из одной можно сделать две точно такие же
Шутки Гудстейна: рано или поздно становится не до смеху
Шутки Шрёдингера: смешные и несмешные одновременно
Шутки Фибоначчи: каждая новая такая же смешная, как две предыдущие вместе взятые
❤🔥23👍4🔥4
Число 10958, или задача Танежи
Бразильский популяризатор математики Индер Танежа потратил годы на решение двух задач:
1) Представление натуральных чисел до 5000 с помощью одной цифры (от 1 до 9) и арифметических действий, скобок и операции конкатенации («склеивания» цифр в одно число). Разновидностью этой задачи была запись всех чисел, не зависящая от того, какая цифра используется.
2) Представление натуральных чисел до 11111 с использованием упорядоченной записи всех цифр кроме нуля и тех же операций (арифметических действий и конкатенации цифр) — в порядке возрастания и в порядке убывания.
К удивлению, во второй задаче осталось одно белое пятно: число 10958 не удалось представить в возрастающей последовательности цифр.
Пишут, что за решение этой задачи Массачусетский технологический институт готов выплатить $5000.
А есть ли вообще какой-то смысл в решении этой задачи?
Сам Индер Танежа никогда не брался за решение великих математических проблем. Однако нередко случается так, что следствия из теорем, доказательство которых было необходимо для решения некоторой частной задачи, оказываются важнее самой этой задачи. Так было, например, с формальным обоснованием невозможности построения квадратуры круга циркулем и линейкой, с малой проблемой Гольдбаха и рядом других математических проблем. Так произошло и в этот раз. Постановка задачи о представлении натуральных чисел при помощи данных операций над некоторым начальным вектором подарила миру не только красивые частные решения и загадочную константу 10958, но и особый подход к классификации трансцендентных чисел относительно замыкания конечных множеств алгебраических чисел. В частности, доказано, что радикальные числа имеют ненулевое пересечение с множеством алгебраических чисел, но не входят в последнее полностью. Проблема числа 10958 стала основой для формирования отдельной математической теории — теории конечно-трансцендентных чисел и частью нового математического аппарата в программировании и алгебраической топологии.
Бразильский популяризатор математики Индер Танежа потратил годы на решение двух задач:
1) Представление натуральных чисел до 5000 с помощью одной цифры (от 1 до 9) и арифметических действий, скобок и операции конкатенации («склеивания» цифр в одно число). Разновидностью этой задачи была запись всех чисел, не зависящая от того, какая цифра используется.
2) Представление натуральных чисел до 11111 с использованием упорядоченной записи всех цифр кроме нуля и тех же операций (арифметических действий и конкатенации цифр) — в порядке возрастания и в порядке убывания.
К удивлению, во второй задаче осталось одно белое пятно: число 10958 не удалось представить в возрастающей последовательности цифр.
Пишут, что за решение этой задачи Массачусетский технологический институт готов выплатить $5000.
А есть ли вообще какой-то смысл в решении этой задачи?
Сам Индер Танежа никогда не брался за решение великих математических проблем. Однако нередко случается так, что следствия из теорем, доказательство которых было необходимо для решения некоторой частной задачи, оказываются важнее самой этой задачи. Так было, например, с формальным обоснованием невозможности построения квадратуры круга циркулем и линейкой, с малой проблемой Гольдбаха и рядом других математических проблем. Так произошло и в этот раз. Постановка задачи о представлении натуральных чисел при помощи данных операций над некоторым начальным вектором подарила миру не только красивые частные решения и загадочную константу 10958, но и особый подход к классификации трансцендентных чисел относительно замыкания конечных множеств алгебраических чисел. В частности, доказано, что радикальные числа имеют ненулевое пересечение с множеством алгебраических чисел, но не входят в последнее полностью. Проблема числа 10958 стала основой для формирования отдельной математической теории — теории конечно-трансцендентных чисел и частью нового математического аппарата в программировании и алгебраической топологии.
👍23❤5🔥4😱2
«Не имеет значения, кто первый приходит к идее, важнее — как далеко эта идея может зайти»
«Алгебра — это всего лишь письменная геометрия, а геометрия — фигурная алгебра»
В апреле 1776 г. родилась Софи Жермен, французский математик, внесшая значительный вклад в дифференциальную геометрию, механику и теорию чисел.
Софи состояла в переписке с д’Аламбером, Фурье, Лагранжем и Гауссом, скрываясь под мужским именем «месье Ле Блан». Лагранж был под таким впечатлением от её статей, что попросил у Ле Блана встречи, и Жермен пришлось открыть ему свою личность.
Софи была первой женщиной, принятой на курсы Академии Наук.
В теории чисел простое число p называют простым числом Софи Жермен, если 2p+1 также является простым. Например, 29 — простое число Софи Жермен, т.к. 2 ∙ 29 + 1 = 59 — простое число. Сама Жермен использовала такие числа в попытках доказать Великую теорему Ферма. Она вывела результат, ныне известный как теорема Жермен, который гласит, что если p нечётное простое число и 2p + 1 также простое число, то p должно делить x, y или z. В противном случае, xⁿ + yⁿ ≠ zⁿ. Сегодня эти числа находят большое применение в криптографии. Пока не доказано, что чисел Софи Жермен бесконечно много.
Софи Жермен первая доказала, что разложить на множители можно не только разность квадратов, но и сумму квадратов. Известна школьная задачка, носящая её имя: доказать, что n⁴+4 является составным числом (при n≠1). Доказательство:
n⁴+4 = n⁴+4n²+ 4 – 4n² =
= (n²+2)² – (2n)² =
= (n²–2n +2) (n²+2n +2).
Таким образом, данное выражение представлено в виде произведения двух сомножителей, каждый из которых больше 1, а значит, не является простым.
Наш подписчик математик Leonid Koganov предложил более сложный путь доказательства, основанный на использовании комплексных чисел, связав эту задачу с задачей вычисления интеграла Лейбница.
«Алгебра — это всего лишь письменная геометрия, а геометрия — фигурная алгебра»
В апреле 1776 г. родилась Софи Жермен, французский математик, внесшая значительный вклад в дифференциальную геометрию, механику и теорию чисел.
Софи состояла в переписке с д’Аламбером, Фурье, Лагранжем и Гауссом, скрываясь под мужским именем «месье Ле Блан». Лагранж был под таким впечатлением от её статей, что попросил у Ле Блана встречи, и Жермен пришлось открыть ему свою личность.
Софи была первой женщиной, принятой на курсы Академии Наук.
В теории чисел простое число p называют простым числом Софи Жермен, если 2p+1 также является простым. Например, 29 — простое число Софи Жермен, т.к. 2 ∙ 29 + 1 = 59 — простое число. Сама Жермен использовала такие числа в попытках доказать Великую теорему Ферма. Она вывела результат, ныне известный как теорема Жермен, который гласит, что если p нечётное простое число и 2p + 1 также простое число, то p должно делить x, y или z. В противном случае, xⁿ + yⁿ ≠ zⁿ. Сегодня эти числа находят большое применение в криптографии. Пока не доказано, что чисел Софи Жермен бесконечно много.
Софи Жермен первая доказала, что разложить на множители можно не только разность квадратов, но и сумму квадратов. Известна школьная задачка, носящая её имя: доказать, что n⁴+4 является составным числом (при n≠1). Доказательство:
n⁴+4 = n⁴+4n²+ 4 – 4n² =
= (n²+2)² – (2n)² =
= (n²–2n +2) (n²+2n +2).
Таким образом, данное выражение представлено в виде произведения двух сомножителей, каждый из которых больше 1, а значит, не является простым.
Наш подписчик математик Leonid Koganov предложил более сложный путь доказательства, основанный на использовании комплексных чисел, связав эту задачу с задачей вычисления интеграла Лейбница.
👍12❤4🔥2😁2
«Во многих случаях математика — это бегство от реальности. Математик находит свою монашескую нишу и счастье в занятиях, которые не связаны с внешними делами»
«Важна не столько полезность теоремы, сколько её элегантность»
«Меня всё ещё удивляет, что несколько каракулей на доске или на листе бумаги могут изменить ход человеческих дел».
13 апреля 1909 г. родился Станислав Улам, польский и американский математик. Один из создателей термоядерной бомбы в США. Выдвинул теорию ядерного ракетного двигателя. Открыл концепцию клеточного автомата. Доказал ряд теорем и выдвинул несколько гипотез в чистой и прикладной математике.
Улам разработал численный метод Монте-Карло. Идея метода пришла ему, когда он раскладывал пасьянс Кэнфилд и задумался, какова вероятность того, что пасьянс сойдётся. Комбинаторике эта задача не поддавалась, и он решил взять да и провести, скажем, сотню экспериментов и прямо подсчитать долю успехов.
А после пасьянса учёный перешёл к тому, чем его мозг был занят на работе, — к задаче рассеивания нейтронов на ядрах. Улам сообразил, что его подход даст решение сложного дифференциального уравнения, только нужно представить его в виде случайного процесса.
Суть метода Монте-Карло проще всего пояснить на примере вычисления площади. Как вычислить площадь какой-нибудь замысловатой фигуры, нарисованной на прямоугольном листе бумаги? Равномерно напуляем на этот лист случайных точек. Теперь подсчитаем количество точек внутри фигуры и вообще всех точек, попавших в прямоугольник. Отношение этих чисел и даст приближённо отношение площадей.
Улам назвал метод таким странным образом, поскольку часто вспоминал своего дядю, который регулярно ездил в Монте-Карло играть в азартные игры.
«Важна не столько полезность теоремы, сколько её элегантность»
«Меня всё ещё удивляет, что несколько каракулей на доске или на листе бумаги могут изменить ход человеческих дел».
13 апреля 1909 г. родился Станислав Улам, польский и американский математик. Один из создателей термоядерной бомбы в США. Выдвинул теорию ядерного ракетного двигателя. Открыл концепцию клеточного автомата. Доказал ряд теорем и выдвинул несколько гипотез в чистой и прикладной математике.
Улам разработал численный метод Монте-Карло. Идея метода пришла ему, когда он раскладывал пасьянс Кэнфилд и задумался, какова вероятность того, что пасьянс сойдётся. Комбинаторике эта задача не поддавалась, и он решил взять да и провести, скажем, сотню экспериментов и прямо подсчитать долю успехов.
А после пасьянса учёный перешёл к тому, чем его мозг был занят на работе, — к задаче рассеивания нейтронов на ядрах. Улам сообразил, что его подход даст решение сложного дифференциального уравнения, только нужно представить его в виде случайного процесса.
Суть метода Монте-Карло проще всего пояснить на примере вычисления площади. Как вычислить площадь какой-нибудь замысловатой фигуры, нарисованной на прямоугольном листе бумаги? Равномерно напуляем на этот лист случайных точек. Теперь подсчитаем количество точек внутри фигуры и вообще всех точек, попавших в прямоугольник. Отношение этих чисел и даст приближённо отношение площадей.
Улам назвал метод таким странным образом, поскольку часто вспоминал своего дядю, который регулярно ездил в Монте-Карло играть в азартные игры.
❤10👍5🔥4
Один довольно забавный результат, связанный с именем учёного, — скатерть Улама. Она была открыта математиком случайно. Однажды, в 1963 г., ему пришлось присутствовать на довольно скучном докладе, и, чтобы развлечься, он начертил на листке бумаги вертикальные и горизонтальные линии, решив заняться составлением шахматных этюдов. Но вместо этого стал нумеровать клетки: в центре поставил единицу, а затем, двигаясь по спирали, двойку, тройку и т. д.
При этом он машинально отмечал все простые числа. И неожиданно оказалось, что они стали выстраиваться вдоль диагональных прямых.
Имеются разные вариации скатерти Улама. Например, в 1994 г. Роберт Сакс изобрёл вариант скатерти Улама, где числа расположены по архимедовой спирали.
Откуда берутся красивые паттерны из простых чисел при закручивании всех натуральных чисел по спирали?! Казалось бы, совершенно невероятный результат!
Однако ему есть довольно простое объяснение. Об этом хорошо рассказывает
Vert Dider и Математика с Надеждой.
При этом он машинально отмечал все простые числа. И неожиданно оказалось, что они стали выстраиваться вдоль диагональных прямых.
Имеются разные вариации скатерти Улама. Например, в 1994 г. Роберт Сакс изобрёл вариант скатерти Улама, где числа расположены по архимедовой спирали.
Откуда берутся красивые паттерны из простых чисел при закручивании всех натуральных чисел по спирали?! Казалось бы, совершенно невероятный результат!
Однако ему есть довольно простое объяснение. Об этом хорошо рассказывает
Vert Dider и Математика с Надеждой.
👍16❤3🔥3❤🔥2
«Мир — моя страна, наука — моя религия»
14 апреля 1629 г. родился Христиан Гюйгенс, голландский механик, математик, астроном. Один из основоположников теоретической механики и теории вероятностей.
Открыл кольца Сатурна и его спутник Титан.
Разработал волновую теорию света.
Является изобретателем маятниковых часов. Первым получил формулу для центростремительного ускорения: а = v²/R, для периода колебаний математического маятника: Т = 2π√(l/g). При этом так и не признал закон всемирного тяготения Ньютона, поскольку не допускал возможности действия сил на расстоянии.
Сконструировал двигатель внутреннего сгорания, в качестве топлива которого предполагал использовать порох, но так и не построил его.
Разработал теорию цепных дробей.
Разработал теорию эволют и эвольвент.
Нашёл квадратуры эллипса, гиперболы и круга.
Исследовал циклоиду и цепную линию.
14 апреля 1629 г. родился Христиан Гюйгенс, голландский механик, математик, астроном. Один из основоположников теоретической механики и теории вероятностей.
Открыл кольца Сатурна и его спутник Титан.
Разработал волновую теорию света.
Является изобретателем маятниковых часов. Первым получил формулу для центростремительного ускорения: а = v²/R, для периода колебаний математического маятника: Т = 2π√(l/g). При этом так и не признал закон всемирного тяготения Ньютона, поскольку не допускал возможности действия сил на расстоянии.
Сконструировал двигатель внутреннего сгорания, в качестве топлива которого предполагал использовать порох, но так и не построил его.
Разработал теорию цепных дробей.
Разработал теорию эволют и эвольвент.
Нашёл квадратуры эллипса, гиперболы и круга.
Исследовал циклоиду и цепную линию.
🔥17👍7❤2😱2